基于壓縮感知的醫(yī)學(xué)圖像重建方法

張國(guó)平，牟忠德

江蘇省腫瘤醫(yī)院，江蘇省腫瘤防治研究所，南京醫(yī)科大學(xué)附屬腫瘤醫(yī)院(南京，210009)

1 壓縮感知

壓縮感知基本構(gòu)成通常包括稀疏表示、編碼測(cè)量、重構(gòu)算法等內(nèi)容[1-3]，其理論框架詳見(jiàn)圖1，該理論適合對(duì)信號(hào)的采樣和編碼，對(duì)原始的信號(hào)線性投影以后，獲得測(cè)量信號(hào)值，然后通過(guò)重構(gòu)算法，對(duì)該測(cè)量值進(jìn)行重構(gòu)，進(jìn)而得到重建的信號(hào)[4-5]。

圖1 壓縮感知框架示意圖

(1)

其中，φ表示對(duì)信號(hào)的稀疏變換域，Y表示信號(hào)X在φ域上的投影值。如果Y向量中只有K個(gè)系數(shù)，不為零或遠(yuǎn)大于其它的系數(shù)，則稱X是K稀疏的，或者是可壓縮的，即可得信號(hào)X的稀疏表達(dá)如式(2)[6-7]。

Y=φTX

(2)

2)根據(jù)壓縮感知理論中的非相關(guān)性準(zhǔn)則，使用矩陣ψ對(duì)信號(hào)Y進(jìn)行觀測(cè)，經(jīng)式(3)可得測(cè)量矩陣。

S=ψφTX

(3)

3)假設(shè)Θ=ψφT，則有S=ΘX，最后在l0范數(shù)框架下優(yōu)化求解X，結(jié)果如下：

min‖φTX‖0s.t.ΘX=S

(4)

對(duì)于這個(gè)欠定方程(M

2 重構(gòu)算法分析

在壓縮感知理論中，從稀疏系數(shù)中重構(gòu)出原始信號(hào)就是信號(hào)的重構(gòu)過(guò)程，重構(gòu)算法可以轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃(Linear Programming，LP)問(wèn)題的求解，直接求解方法即轉(zhuǎn)換為求解最小l0范數(shù)問(wèn)題[8-9]。

2.1 BP算法

通過(guò)求解最小l0范數(shù)，來(lái)解決信號(hào)重構(gòu)問(wèn)題，即求解最小l0范數(shù)下的最優(yōu)化問(wèn)題，以求得最優(yōu)化的重構(gòu)結(jié)果，但是其計(jì)算復(fù)雜度較高。但是找到合適的稀疏信號(hào)，也就等于解決了式(4)的問(wèn)題

(4)

其中，‖c‖0是序列{Ck}中非零項(xiàng)的個(gè)數(shù)。利用BP算法來(lái)解決式(5)的問(wèn)題

(5)

BP算法的求解過(guò)程中，原始信號(hào)記為x，φ，為觀測(cè)矩陣，基矩陣φ已知，求解s等同于求解x，其中s，xRN，yRM，M

2.2 OMP算法

OMP算法是基于匹配追蹤算法的正交匹配追蹤算法，來(lái)解決信號(hào)重構(gòu)問(wèn)題[10-12]，該算法的具體步驟如下：

1)尋找殘值r和矩陣ψj積中的最大元素的索引λ；

2)將索引集更新，記錄經(jīng)由傳感矩陣φ進(jìn)行重構(gòu)后的原子集合，詳細(xì)表示方式如下：

Λt=Λt-1∪{λt}

(6)

φt=[φt-1，ψλt]

(7)

3)實(shí)現(xiàn)式(8)中的最小二乘法；

(8)

4)借助式(9)，更新殘值，t=t+1；

(9)

5)對(duì)Step 4中t進(jìn)行判斷，滿足條件t>K，則迭代停止；如果不滿足，則繼續(xù)執(zhí)行步驟 1。

2.3 StOMP算法

StOMP算法是由Donoho等對(duì)正交匹配算法進(jìn)行改進(jìn)，并提出了分段正交匹配追蹤算法，該算法在正交匹配追蹤算法的基礎(chǔ)上做了簡(jiǎn)化[13-14]。StOMP算法具體步驟如下：

1)對(duì)數(shù)值進(jìn)行初始化設(shè)置，設(shè)定最大的迭代步長(zhǎng)，求解最大的迭代誤差e，s=1;

2)將小波變換后，獲得的變換系數(shù)，記為稀疏矩陣y，然后隨機(jī)選取測(cè)量數(shù)據(jù)，得式(10)：

Θs=φTrs-1

(10)

3)對(duì)Θ進(jìn)行如式(11)的規(guī)范化處理，其中K為Θ信號(hào)的長(zhǎng)度

(11)

4)對(duì)Θ進(jìn)行閾值處理，如式(12)：

∑S={j:|ΘS(j)|>λS}

(12)

5)最新合并兩次變換所得的坐標(biāo)索引，并對(duì)IS集合進(jìn)行一致化處理如式(13)，得IS：

IS=IS-1∪ ∑S

(13)

6)求解線性方程組，min(‖xs‖1)s.t.y=φXS，計(jì)算公式如(14)。

(14)

7)計(jì)算殘差rS，如式(15)：

rs=y-sS

(15)

8)稀疏解的精度判定，如rs

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

3.1 使用Shepp Logan的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為了比較不同的壓縮感知圖像重構(gòu)算法，我們選擇Shepp Logan模型來(lái)作為測(cè)試圖像，對(duì)其取Haar小波變換并進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，分別采用BP算法、OMP算法、StOMP算法進(jìn)行圖像重構(gòu)，在相同的采樣頻率下，比較其重構(gòu)時(shí)間和重構(gòu)效果如圖2所示。

圖2 采樣率為10%的Shepp Logan重構(gòu)結(jié)果

3.2 使用真實(shí)MRI圖像的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為比較不同采樣頻率，在實(shí)際的臨床MRI醫(yī)學(xué)圖像條件下，觀察壓縮感知算法的重建效果，在欠采樣率為10%-50%范圍內(nèi)，分別選擇15%和25%兩種采樣情形下，觀察這三種算法對(duì)實(shí)際的臨床MRI醫(yī)學(xué)圖像的重構(gòu)效果如圖3和圖4所示。

4 結(jié)論

綜上所述，可以得到如下結(jié)論：(1)借助壓縮感知理論，通過(guò)合理的算法設(shè)計(jì)，是可以近似重構(gòu)出醫(yī)學(xué)圖像的，并且整體圖像質(zhì)量不會(huì)明顯下降。(2)在相同欠采樣率的情況下，BP算法的重構(gòu)結(jié)果是最好的，但運(yùn)算時(shí)間最長(zhǎng)；OMP算法的重構(gòu)結(jié)果次之，是運(yùn)算時(shí)間比BP算法少；StOMP結(jié)果最差，不適用于精確的圖像重建。

圖3 采樣率15%的MRI重構(gòu)結(jié)果

圖4 采樣率25%的MRI-Brain重構(gòu)結(jié)果