基于最小二乘法的改進(jìn)卡爾曼濾波算法

符 強(qiáng)， 陳孝倩， 孫希延， 任風(fēng)華， 嚴(yán)素清

(1.桂林電子科技大學(xué) 廣西精密導(dǎo)航技術(shù)與應(yīng)用重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,廣西 桂林 541004；2.桂林電子科技大學(xué) 電子工程與自動化學(xué)院，廣西 桂林 541004)

在室內(nèi)、密集街區(qū)、山地、森林等微弱衛(wèi)星導(dǎo)航信號環(huán)境中，由于遮擋和反射，衛(wèi)星信號功率衰減并伴有多徑干擾和噪聲干擾，從而降低了碼環(huán)的跟蹤性能[1-2]。針對這些問題，現(xiàn)有的解決方案主要有3類：1)信號接收天線的空域處理方法，如扼流圈天線可以削弱來自地面和低仰角的多徑信號[3-4]；2)對跟蹤環(huán)路的相關(guān)器和碼鑒相器進(jìn)行改進(jìn)，如窄相關(guān)[5]和Strobe鑒相器[6-7]，這類方法雖然可提高抑制多徑干擾的性能，但也減弱了環(huán)路的跟蹤性能和噪聲抑制性能；3)基于估計(jì)原理的多徑估計(jì)方法，如Townsend等[8]采用多相關(guān)器結(jié)構(gòu)得到多組相關(guān)值，通過迭代計(jì)算，得到估計(jì)的直達(dá)信號相關(guān)參數(shù)，以達(dá)到抑制多徑的目的。通過借鑒多徑估計(jì)延遲鎖定環(huán)路(MEDLL)中信號估計(jì)的方法，崔艷等[9]提出最大似然估計(jì)算法，利用最大似然估計(jì)原理在相關(guān)前估計(jì)出直達(dá)信號和多徑信號的各項(xiàng)參數(shù)，雖能很好地抑制了多徑，但也降低了噪聲抑制性能，且有計(jì)算量過大的問題?；诳柭鼮V波的方法很多，其主要有2種實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)：1)在碼環(huán)鑒別器和環(huán)路濾波器之間加入卡爾曼濾波器；2)用卡爾曼濾波器代替原有的鑒別器?？柭鼮V波主要有線性卡爾曼濾波[10](Kalman filter，簡稱KF)、擴(kuò)展卡爾曼濾波[11-12](extended Kalman filter，簡稱EKF)和平淡卡爾曼濾波[13](unscented Kalman filter，簡稱UKF)3種，其中EKF和UKF都是非線性的。采用非線性卡爾曼濾波雖然效果相對較好，但計(jì)算量很大；而采用線性卡爾曼濾波，計(jì)算量小，但存在濾波器發(fā)散的問題。

雖然研究者提出了很多基于卡爾曼濾波的碼跟蹤方法，但不管采用線性卡爾曼濾波還是非線性卡爾曼濾波，在這種濾波估計(jì)中，觀測值是唯一的信息源，但信息源中的噪聲誤差、系統(tǒng)誤差、觀測誤差、設(shè)備誤差等會降低濾波器的估計(jì)性能，使得采用現(xiàn)有卡爾曼濾波技術(shù)的碼跟蹤環(huán)的性能較差。為此，提出一種最小二乘算法與卡爾曼濾波相結(jié)合的改進(jìn)算法。

1 衛(wèi)星導(dǎo)航信號模型與構(gòu)造

衛(wèi)星導(dǎo)航接收機(jī)中，載波跟蹤環(huán)和碼跟蹤環(huán)共同組成接收機(jī)的跟蹤環(huán)路。載波跟蹤環(huán)對載波頻率和載波相位進(jìn)行跟蹤。碼環(huán)對碼相位進(jìn)行精確的估計(jì)和跟蹤，這是實(shí)現(xiàn)偽距測量和定位的基礎(chǔ)[14]。在存在多徑效應(yīng)的弱信號環(huán)境中，全球定位系統(tǒng)(global position system，簡稱GPS)衛(wèi)星信號可表示為

(1)

其中：i為各路信號分量；ai為信號幅度；ω為載波頻率；θi為第i路信號的載波初相位；c(t)為偽碼；τi為第i路信號與本地偽碼的碼相位差；D(t)為導(dǎo)航電文；n(t)為高斯白噪聲。這里τ0為直達(dá)信號與本地偽碼的碼相位差，是估計(jì)的目標(biāo)參數(shù)。

設(shè)I路本地載波為sin(ω0t+θ0)，不考慮導(dǎo)航電文，則I路解擴(kuò)后的相干積分值為

(2)

其中：

(3)

φi=(ω-ω0)Tcoh+(θi-θ0)；

(4)

(5)

其中：p(t)為服從N(0，σ2)的高斯白噪聲；Tcoh為相干積分時(shí)長；fe為載波頻率差；φi為載波相位差；Rc(·)為偽碼自相關(guān)函數(shù)。實(shí)際接收機(jī)中，由于載波跟蹤環(huán)對載波頻率差fe和載波相位差φi的精確跟蹤，將fe、φi看作已知的常數(shù)參數(shù)。

采用卡爾曼濾波器代替?zhèn)鹘y(tǒng)碼環(huán)鑒別器處理多徑問題，通常建立狀態(tài)方程和觀測方程，對直達(dá)信號和多徑信號的碼相位等目標(biāo)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，抑制多徑效應(yīng)。在這種方法中，由各相關(guān)支路解擴(kuò)后的相干積分值組成的觀測值是卡爾曼濾波的唯一信息源。從式(2)可知，偽碼自相關(guān)函數(shù)是相干積分值的一個(gè)因子，這個(gè)因子包含噪聲誤差、系統(tǒng)誤差、觀測誤差、設(shè)備誤差等各種誤差，這些誤差會被帶入卡爾曼濾波對目標(biāo)參數(shù)的估計(jì)中。如何尋求一種方法抑制或消除這些誤差，對自相關(guān)函數(shù)因子進(jìn)行修正，使得觀測值更接近真實(shí)值，從而對直達(dá)信號和多徑信號的碼相位、幅度等目標(biāo)參數(shù)進(jìn)行更精確的跟蹤。

2 對相關(guān)函數(shù)因子的修正

為了便于推導(dǎo)，以接收到的衛(wèi)星信號只包含一路直達(dá)信號和一路多徑信號的情形為例，推導(dǎo)的結(jié)果很容易推廣到更多路徑的情況。設(shè)某一I路相關(guān)支路的相關(guān)器與本地即時(shí)碼相關(guān)器的碼相位間距為δ，由式(2)可知，該支路的相干積分值為

R(t)=a0sinc(feTcoh)cos(φ0)Rc(τ0-δ)+

a1sinc(feTcoh)cos(φ1)Rc(τ1-δ)+p(t)，

(6)

每次相干積分值作為一個(gè)觀測值緩存于緩存模塊中，每M次相干積分進(jìn)行一次環(huán)路更新。式(6)可寫成矢量形式

R=G·B+P。

(7)

其中：P為噪聲矢量；R為該相關(guān)支路的M次相干積分值組成的觀測矢量；G為量測矩陣；B為待估計(jì)的狀態(tài)矩陣。

R=[R1,R2,…,RM]Τ，

(8)

(9)

(10)

由最小二乘估計(jì)原理[15]可知，B的最小二乘估計(jì)為

(11)

(12)

得到一個(gè)修正后的相干積分。對每條相關(guān)支路的相干積分中的自相關(guān)函數(shù)因子都用最小二乘算法進(jìn)行修正，并得到修正后的相干積分，則可得一組無偏、均方誤差和最小的新的觀測值，組成觀測矢量zk，用于后續(xù)的濾波估計(jì)。

(13)

3 改進(jìn)后的卡爾曼濾波在碼跟蹤中的應(yīng)用

3.1 基于改進(jìn)卡爾曼濾波的信號跟蹤模型

利用最小二乘算法修正相關(guān)函數(shù)因子的思想，構(gòu)造一組無偏、均方誤差和最小的修正觀測值。改進(jìn)卡爾曼濾波算法的碼跟蹤環(huán)實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)如圖1所示。與傳統(tǒng)卡爾曼濾波算法不同，改進(jìn)卡爾曼濾波算法在卡爾曼濾波器前加入最小二乘模塊，并在最小二乘模塊與積分累加器之間加入緩存模塊，用于緩存各支路解擴(kuò)后的相干積分。為解決卡爾曼濾波器的發(fā)散問題，改進(jìn)卡爾曼濾波算法加入了發(fā)散判斷控制模塊。

圖1 改進(jìn)卡爾曼濾波算法的碼跟蹤環(huán)實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)

設(shè)各相關(guān)支路的相關(guān)器相對即時(shí)碼相關(guān)器的碼相位間距為±δj，為了能夠估計(jì)多徑信號，并對直達(dá)信號進(jìn)行精確碼跟蹤，選擇濾波器狀態(tài)量為

x=[a0a1τ0τ1]Τ。

(14)

其中：a0為直達(dá)信號的幅度；a1為多徑信號的幅度；τ0、τ1分別為直達(dá)信號和多徑信號相對本地偽碼的碼相位差?？柭鼮V波器的狀態(tài)方程為

(15)

其中：wk為過程噪聲向量，其為零均值白高斯噪聲。設(shè)Qk是wk的協(xié)方差矩陣，Qk一般取對角矩陣，建立修正觀測矢量與狀態(tài)量之間的線性方程為

zk=Hk·xk+vk。

(16)

其中：Hk為測量矩陣,Hk的維數(shù)為4N×4；vk為測量噪聲向量。Hk的第i列(i=1,2,3,4)可由下述公式求得，

(17)

a1sinc(feTcoh)cos(φ1)Rc(τ1+δj)。

(18)

a1sinc(feTcoh)cos(φ1)Rc(τ1-δj)。

(19)

a1sinc(feTcoh)sin(φ1)Rc(τ1+δj)。

(20)

a1sinc(feTcoh)sin(φ1)Rc(τ1-δj)。

(21)

3.2 卡爾曼濾波器模塊

設(shè)I和Q支路分別采用了N組超前-滯后相關(guān)器，考慮下線性系統(tǒng)：

xk=F·xk-1+wk；

(22)

zk=Hk·xk+vk。

(23)

根據(jù)系統(tǒng)模型構(gòu)建卡爾曼濾波基本方程：

(24)

Pk|k-1=FPk-1FΤ+Qk-1，

(25)

Kk=Pk|k-1HkΤ(HkPk|k-1HkΤ+Rk)-1，

(26)

(27)

Pk=(I-KkHk)Pk|k-1。

(28)

在卡爾曼濾波的實(shí)現(xiàn)過程中，測量噪聲的預(yù)測是非常關(guān)鍵的一步，很大程度上決定了卡爾曼濾波器的性能。此外，如何進(jìn)行發(fā)散的判斷和修正也是至關(guān)重要的步驟。只有這樣，所設(shè)計(jì)的卡爾曼濾波器才能帶來預(yù)想的效果。

1)噪聲的理論分析。接收機(jī)中噪聲是白高斯噪聲，白高斯噪聲通過積分累加器的過程可近似為通過低通濾波器的過程，故接收機(jī)噪聲方差σ2=N0Bn/2，其中N0為雙邊帶頻譜功率密度，Bn=1/Tcoh為積分累加器的帶寬。測量噪聲協(xié)方差陣Rk由各測量之間的協(xié)方差組成。設(shè)n1、n2為I路上2條相關(guān)支路的信號，n3、n4為Q路上2條相關(guān)支路的信號，vn1、vn2、vn3、vn4為4條支路的噪聲，|ni-nj|為2個(gè)信號所在支路相關(guān)器之間的碼相位間距，

E[vn12]=E[vn22]=E[vn32]=E[vn42]=σ2。

(29)

由于I支路與Q支路的不相關(guān)性，有

E[vn1,vn3]=E[vn1,vn4]=E[vn2,vn3]=

E[vn2,vn4]=0。

(30)

設(shè)偽碼碼元長為Tchip，不同信號間的協(xié)方差為：

(31)

(32)

4 仿真結(jié)果與分析

采用GPS的1號衛(wèi)星的偽碼，中頻為4.092 MHz，采樣頻率為16.368 MHz，相干積分時(shí)間為5 ms，每10次相干積分組成最小二乘模塊的觀測量。仿真有兩路信號，一路直達(dá)，一路多徑，多徑信號相對直達(dá)信號的碼相位時(shí)延為0.3碼片，幅度相對比例為0.5。

圖2為信噪比RSN=-25 dB時(shí)傳統(tǒng)卡爾曼濾波算法[10]和改進(jìn)卡爾曼濾波算法的碼相位跟蹤誤差。從圖2可看出，當(dāng)RSN=-25 dB時(shí)，傳統(tǒng)卡爾曼濾波的碼相位跟蹤誤差為-0.028～0.031碼片，改進(jìn)卡爾曼濾波算法的碼相位跟蹤誤差為-0.022～0.018碼片，改進(jìn)卡爾曼濾波算法的碼相位跟蹤精度稍高于傳統(tǒng)卡爾曼濾波算法。

圖2 2種算法在信噪比為-25 dB時(shí)碼相位誤差對比

圖3為典型低信噪比RSN=-45 dB時(shí)2種算法的碼相位跟蹤誤差。從圖3可看出，隨著信噪比降至-45 dB，傳統(tǒng)卡爾曼濾波算法[10]的碼相位跟蹤誤差為-0.14～0.17碼片，而改進(jìn)卡爾曼濾波算法的碼相位誤差為-0.06～0.08碼片，改進(jìn)卡爾曼濾波算法的碼跟蹤精度明顯高于傳統(tǒng)卡爾曼濾波算法。

圖4為2種算法不同信噪比的碼相位均方根誤差(root mean square error，簡稱RMSE)。從圖4可看出，在信噪比為-45 dB時(shí)，改進(jìn)卡爾曼濾波算法和傳統(tǒng)卡爾曼濾波算法[10]的碼相位RMSE分別為0.002 7碼片和0.043碼片，前者比后者要小很多。隨著信噪比的增加，2種算法的碼相位RMSE都有減小的趨勢。當(dāng)信噪比增加到-24 dB時(shí)，改進(jìn)卡爾曼濾波和傳統(tǒng)卡爾曼濾波的碼相位RMSE分別為0.001和0.004，相比于信噪比-45 dB的情形，2種算法的碼相位RMSE的差值減小，但前者仍然小于后者。其結(jié)果充分表明了改進(jìn)卡爾曼濾波算法較傳統(tǒng)卡爾曼濾波算法的碼跟蹤性能更穩(wěn)定。

圖4 2種算法在不同信噪比下的碼相位跟蹤RMSE對比

為了進(jìn)一步分析2種算法在不同多徑時(shí)延下的性能，仿真的2路信號中，多徑信號相對直達(dá)信號的幅度為1/2。圖5為2種算法在信噪比-45 dB和-25 dB時(shí)不同多徑時(shí)延下的碼相位RMSE跟蹤誤差。從圖5可看出，在多徑時(shí)延相同信噪比條件下，改進(jìn)卡爾曼濾波算法比傳統(tǒng)卡爾曼濾波算法[10]的碼相位RMSE更小。改進(jìn)卡爾曼濾波算法比傳統(tǒng)卡爾曼濾波算法具有更優(yōu)的跟蹤性能。

圖5 2種算法在不同多徑時(shí)延下碼相位RMSE對比

5 結(jié)束語

為了解決卡爾曼濾波處理伴有多徑干擾的微弱衛(wèi)星導(dǎo)航信號的碼跟蹤時(shí)相干積分值組成的觀測量誤差較大的問題，利用最小二乘算法對相關(guān)函數(shù)因子進(jìn)行修正的思想，構(gòu)造一組無偏、均方誤差和最小的修正觀測值，建立數(shù)學(xué)模型，通過卡爾曼濾波得到更優(yōu)的碼跟蹤性能，減小了相干積分中包含的多種誤差，且采用線性卡爾曼濾波器，具有計(jì)算量小的特點(diǎn)。本算法加入了發(fā)散判斷控制模塊，控制了卡爾曼濾波器的發(fā)散。仿真結(jié)果表明，與文獻(xiàn)[10]的算法相比，本算法對碼相位跟蹤具有更高的精度，特別是在低信噪比條件下，本算法的碼相位跟蹤誤差精度與強(qiáng)信號條件保持在同一個(gè)數(shù)量級,同時(shí)具有更穩(wěn)定的跟蹤性能。在多徑時(shí)延變化的統(tǒng)計(jì)意義上，本算法的碼相位RMSE跟蹤誤差更小，具有更優(yōu)的跟蹤性能。