高壓油管壓力控制分析與研究
——以2019年全國大學生數(shù)學建模競賽A題為背景

(南通大學，南通 226000)

0 引 言

根據(jù)燃油壓力的變化量與密度變化量成正比的關(guān)系可知，當容積為定值的高壓油管內(nèi)燃油的質(zhì)量改變時，高壓油管內(nèi)的壓力就會發(fā)生改變，如果保持高壓油管內(nèi)的燃油質(zhì)量不變，那么高壓油管內(nèi)的壓力就會保持穩(wěn)定的狀態(tài)，因此根據(jù)進出高壓油管的燃油質(zhì)量守恒就能夠求解出單向閥每次開啟的時長。而當需要在一定的時間內(nèi)將高壓油管內(nèi)的壓力增加到150 MPa時，高壓油管內(nèi)燃油的密度為變值，進入高壓油管的質(zhì)量和噴出高壓油管的質(zhì)量也在時刻改變。所以采用微元法分析每個時刻的質(zhì)量的變化，然后通過積分的方法計算調(diào)整時長內(nèi)進油質(zhì)量和噴油質(zhì)量的累加值。根據(jù)調(diào)整時長內(nèi)進油量的累加值與噴油量累加值和高壓油管增加的油量之和相等求出單向閥開啟的時間。

1 模型的建立與求解

1.1 高壓油管穩(wěn)壓時單向閥開啟時長的確定

高壓油管的示意圖如下，其中A點為燃油進入高壓油管的入口，B點為噴射器的噴油口。

圖1 高壓油管示意圖

為了使高壓油管內(nèi)的壓力穩(wěn)定在100 MPa，根據(jù)質(zhì)量守恒定律，單位時間的進油量和噴油量應(yīng)該相等。假設(shè)1 s內(nèi)進入高壓油管的燃油質(zhì)量為MA，噴油器噴出的燃油質(zhì)量為MB，則根據(jù)質(zhì)量守恒定律建立單位時間長度為1 s時高壓油管進油質(zhì)量和噴油質(zhì)量相等的模型：

MA=MB

(1)

由于問題一已知噴油嘴每次工作時噴油速率v(mm3/ms)和噴油時間t(ms)的關(guān)系以及噴油嘴每秒工作次數(shù)k，且已知當壓力為100 MPa時燃油的密度，所以可以計算出壓力為100 MPa時每秒噴出燃油質(zhì)量；根據(jù)提供的燃油進出高壓油管的流量公式，以及壓力變化量與密度變化量的關(guān)系求解單向閥開啟時每1 ms進入油管的燃油質(zhì)量，從而可知1 s時間內(nèi)單向閥開啟的總時間，進而可得單向閥每次開啟的時長，具體的計算過程如下：

(a)噴油質(zhì)量的計算

噴油嘴在噴油的瞬間可認為燃油的密度等于高壓油管內(nèi)的密度，則根據(jù)燃油質(zhì)量的計算公式可得1 s內(nèi)的噴油量為：

MB=kρ0VB

(2)

其中,ρ0表示當壓力為100 MPa時燃油的密度，即ρ0=0.850 mg/mm3；VB表示噴油嘴每工作一次所噴出的油量容積；k表示1 s內(nèi)噴油嘴工作次數(shù)，即k=10。

根據(jù)已知噴油器的噴嘴口從B處噴油的速率v(mm3/ms)與時間t(ms)的關(guān)系如下：

圖2 噴油速率示意圖

根據(jù)噴油嘴噴油速率示意圖可求出一次工作時間內(nèi)的噴油體積為：

再根據(jù)公式得到1 s內(nèi)高壓油管噴出的燃油質(zhì)量：

MB=kρ0VB=10×0.85×44=374 mg

即單位時間(1 s)內(nèi)高壓油管噴出的燃油質(zhì)量為374 mg。

(b)進油流量的計算

已知進出高壓油管的流量計算公式為：

(3)

其中,Q表示單位時間流過小孔的燃油量(mm3/ms)，C=0.85為流量系數(shù)；A為燃油進入高壓油管的小孔橫截面積(mm3)；ΔP為進出油兩邊的壓力差；ρA為高壓側(cè)燃油的密度(mg/mm3)，則可以得到單向閥開啟時每ms進入高壓油管的燃油流量為：

(3)

其中，PA=160 MPa為高壓油泵提供的壓力，P0=100 MPa為高壓油管內(nèi)的初始壓力。

為了求解Q，則需計算進油量的橫截面積和高壓側(cè)燃油的密度，由于進油口處的小孔橫截面為圓形，則根據(jù)圓的計算面積可得：

(4)

其中，d為小孔的直徑，d=1.4 mm。

由于燃油從高壓油泵進入高壓油管時壓力發(fā)生了變化，所以高壓側(cè)燃油的密度不等于高壓油管內(nèi)的密度，需根據(jù)燃料壓力差關(guān)于密度差的計算公式進行求解，公式如下：

(5)

已知彈性模量和壓力之間存在一定的對應(yīng)關(guān)系，可記為E(P)，對附件3的數(shù)據(jù)進行擬合則可得到任意一個壓力對應(yīng)的彈性模量為E，以壓力P為自變量、E(P)為因變量進行擬合。擬合得到E(P)關(guān)于P的函數(shù)關(guān)系式為：

E(P)=1.003 8×10-4P3+1.082 5×10-3P2+

5.474 4P+1.531 9×103

(6)

則對公式(5)進行推導，得到任意壓力下燃油的密度ρ，推導過程如下：

(7)

則可得高壓側(cè)的燃油密度：

由于附件3給出了當壓力為160 MPa時，E=2 786.4 MPa，那么可以直接計算得到高壓側(cè)的燃油密度為0.868 7 mg/mm3，則單向閥開啟時每ms進油流量Q為：

(c)單向閥開啟時長

假設(shè)單向閥每次開啟的時長為t0(單位為ms)，1 s內(nèi)開啟的總時長為t，則根據(jù)每s內(nèi)流進高壓油管內(nèi)的燃油質(zhì)量和噴出高壓油管的燃油質(zhì)量相等，可得每1 s內(nèi)單向閥開啟的總時長t為：

由于單向閥每工作一次都需要關(guān)閉10 ms，即兩次工作之間的間隔時間為10 ms，則可通過單向閥關(guān)閉的時長求出1 s內(nèi)單向閥工作的次數(shù)n為：

從而根據(jù)總工作時長和工作次數(shù)的比值得到每次單向閥開啟的時長為：

1.2 單向閥開啟時長的調(diào)整

通過調(diào)整單向閥開啟的時長，在分別經(jīng)過2、5和10 s的時間長度后使得高壓油管內(nèi)的壓力從100 MPa增大到150 MPa，并在調(diào)整過程后使高壓油管的壓力穩(wěn)定在150 MPa。對于容積一定的高壓油管，管內(nèi)燃油質(zhì)量的增加會導致壓力的增大，當高壓油管內(nèi)的壓力增大50 MPa時，高壓油管中需要增加一定的燃油質(zhì)量。由于在調(diào)整時長內(nèi)，燃油的密度為變值，進入高壓油管的質(zhì)量和噴出高壓油管的質(zhì)量也時刻在改變。因此采用微元法分析每個時刻的質(zhì)量的變化，然后通過積分的方法計算調(diào)整時長內(nèi)進油質(zhì)量和噴油質(zhì)量的累加值。

(a)調(diào)整時間內(nèi)高壓油管內(nèi)增加的燃油質(zhì)量

當經(jīng)過一定的調(diào)整時間后，高壓油管內(nèi)的壓力穩(wěn)定在150 MPa，則此時燃油的密度可由壓力變化量和密度變化量之間的關(guān)系求出，由(7)可得：

其中,P′=150 MPa,ρ′表示燃油在150 MPa壓力下的密度，計算可得ρ′=0.853 2 mg/mm3。則高壓油管內(nèi)的壓力增大50 MPa時，高壓油管中需要增加的燃油質(zhì)量為：

ΔM=M2-M1=ρ′V-ρ0V

(8)

其中,V表示高壓油管的容積，其計算公式為：

(9)

其中,D為高壓油管的內(nèi)直徑;L表示高壓油管的內(nèi)腔長度，聯(lián)立公式(8)和(9)求得ΔM=125.756 mg。

(b)進油質(zhì)量和噴油質(zhì)量積分公式的推導。假設(shè)在調(diào)控時間內(nèi)某個時刻高壓油管內(nèi)的壓力為PB，進油時燃油進入高壓油管的質(zhì)量為dMA,則對任意時刻的進油質(zhì)量計算公式為：

dMA=QAρAdt

(10)

其中,ρA=0.868 7 mg/mm3;QA表示進油口的流速，根據(jù)進出高壓油管油量的流量公式(3)可知：

(11)

將公式(11)代入公式(10)可得：

(12)

假設(shè)當壓力為PB時燃油的密度為ρB，根據(jù)公式(5)和公式(6)可得任意時刻壓力PB和初始壓力的關(guān)系：

(13)

其中,E(ρB)表示燃油密度為ρB時的彈性模量，將公式(13)代入(12)則可得：

(14)

對該公式進行積分得到調(diào)整時間內(nèi)進油質(zhì)量的累加值MA為：

(15)

其中,Pi、ρBi分別表示調(diào)整時間內(nèi)任意時刻i高壓油管內(nèi)的壓力和密度；E(PBi表示壓力為Pi時的彈性模量。假設(shè)任意時刻噴油質(zhì)量為dMB，同理可得噴油口在調(diào)整時間內(nèi)累加噴出的燃油質(zhì)量的積分公式推導如下：

根據(jù)圖1可知噴油口在2.4 ms內(nèi)的噴油速率與時間的關(guān)系為：

(16)

所以可知噴油時噴油速率是關(guān)于時間t的分段函數(shù)，可記為v(t)，那么：

dMB=v(t)ρBdt

(17)

(c)求解單向閥的開啟時長

根據(jù)質(zhì)量守恒定律可知在調(diào)整時間內(nèi)壓力增加50 MPa時，進油的質(zhì)量需滿足出油質(zhì)量和高壓油管增加質(zhì)量之和，即：

MA=MB+ΔM

(18)

采用變步長搜索算法對積分公式進行求解，具體的算法步驟如下：

Step 1.定義變量p1,ρ1,ma,mb,i,M，分別表示高壓油管內(nèi)的燃油的壓強、密度、進油總質(zhì)量、出油總質(zhì)量、A處單次開啟時長和高壓油管內(nèi)燃油總質(zhì)量，并給p1賦初值100 MPa,給ρ1賦初值0.850 mg/mm2,給ma和mb賦初值為0，給M1賦初值為33 379.4 mm3，給i賦初值為0.1 ms，以0.1 ms為步長，1 ms為終點遍歷每一個i進行搜索。

Step 2.將調(diào)整時間2 s離散化為2 000個等長時間段，定義變量j表示離散化的調(diào)整時間，j的范圍為[1,2 000]。

Step 3.利用公式(3)、公式(5)計算p1,ρ1,ma,mb，進行迭代搜索，記錄到每一個離散化時間的進油質(zhì)量和出油質(zhì)量，并計算高壓油管內(nèi)燃油總質(zhì)量M1。

Step 4.若高壓油管內(nèi)燃油總質(zhì)量M1大于等于高壓油管內(nèi)壓強為150 MPa時高壓油管內(nèi)燃油總質(zhì)量或j達到2 000，記錄此時高壓油管內(nèi)燃油總質(zhì)量M1與壓強為150 MPa時高壓油管內(nèi)燃油總質(zhì)量的誤差，結(jié)束遍歷，否則轉(zhuǎn)Step 3。

Step 5.求出誤差的絕對值最小的i，以0.01為步長對[i-0.1,i+0.1]范圍內(nèi)的每一個值進行搜索，記錄誤差絕對值最小的i即為開啟時長的優(yōu)解。

根據(jù)上述算法求解得到：

當調(diào)整時間為2 s時，單向閥每次開啟時長需為0.87 ms；當調(diào)整時間為5 s時，單向閥每次開啟時長應(yīng)為0.76 ms；當調(diào)整時間為10 s時，每次開啟時長為0.75 ms。

2 結(jié)束語

文中根據(jù)質(zhì)量守恒定律，建立單位時間內(nèi)(ms)進出高壓油管燃油質(zhì)量守恒模型，計算出單向閥單次開啟時長。在質(zhì)量守恒模型基礎(chǔ)上，利用變步長搜索法分別計算出經(jīng)過2、5和10 s的時間長度后使得高壓油管內(nèi)的壓力從100 MPa增大到150 MPa，并穩(wěn)定在150 MPa時單向閥單次開啟時長。該模型還可以推廣用于解決其他工程管道的控制和決策問題。