中學(xué)數(shù)學(xué)解題中聯(lián)想思維法的應(yīng)用

(上饒中學(xué)， 江西 上饒 334000)

心理學(xué)認(rèn)為聯(lián)想是通過(guò)感知目前的事物想起與之相關(guān)的其他事物的現(xiàn)象。在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，聯(lián)想是一種幫助我們建立數(shù)學(xué)對(duì)象與有關(guān)知識(shí)間聯(lián)系的橋梁。而人們?cè)趯?duì)事物發(fā)生認(rèn)識(shí)時(shí)，聯(lián)想思維是會(huì)在事物聯(lián)系的基礎(chǔ)上，形成一種由此及彼的思維活動(dòng)，它在這過(guò)程中起著至關(guān)重要的關(guān)聯(lián)作用。在探索一些未明的知識(shí)時(shí)，腦海中已有的知識(shí)會(huì)和這些知識(shí)發(fā)生關(guān)聯(lián)，進(jìn)而解決這些問(wèn)題。在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，需要先分析題目中已知的條件和想要得到的結(jié)果，進(jìn)而思索到可以使用的法則、定理、公式，并在此基礎(chǔ)上尋得解題的方法。文獻(xiàn)[1-4]對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)如何解題進(jìn)行了分析,文獻(xiàn)[5]對(duì)如何教和學(xué)數(shù)學(xué)進(jìn)行了討論。本文將對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)中聯(lián)想思維的培養(yǎng)方式及作用進(jìn)行深入的研究。

1 中學(xué)數(shù)學(xué)題解題過(guò)程中聯(lián)想思維法的作用

1.1 能使數(shù)學(xué)問(wèn)題化表為里

數(shù)學(xué)知識(shí)是由很多基礎(chǔ)知識(shí)構(gòu)成的，但很多時(shí)候，解決問(wèn)題的要點(diǎn)就在于這些基礎(chǔ)知識(shí)上。

1.2 能使數(shù)學(xué)問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)

在解析幾何中，書(shū)本上定義了平面上兩點(diǎn)A(x1,y2),B(x1,y2)的距離:

1.3 能使數(shù)學(xué)問(wèn)題化堵為暢

愛(ài)因斯坦認(rèn)為：科學(xué)研究最可貴的要素之一是直覺(jué)思維，與之類(lèi)似的，直覺(jué)思維在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)能幫助聯(lián)想思維源源不斷地涌出，使得我們?cè)谠敿?xì)地分析問(wèn)題后，不需要完整的推理，就能夠觸及問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，進(jìn)而能夠預(yù)判。可以說(shuō)聯(lián)想是靈感誘發(fā)而產(chǎn)生的。當(dāng)然，在碰到一些難以下手的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，我們也需要靠聯(lián)想思維產(chǎn)生的靈感來(lái)將原本受阻的題目解決。

例2已知

首先我們能很快看出這是一道在已知三者(a,b,c)關(guān)系的基礎(chǔ)上，要求三者之間比例的題目。

最后，我們?cè)偻ㄟ^(guò)觀察這個(gè)方程還有個(gè)根是1。故根據(jù)此思想,由韋達(dá)定理得到：

通過(guò)例2，我們可以發(fā)現(xiàn)在求解一些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),在聯(lián)想思維的啟發(fā)下，馬上就能水落石出,撥云見(jiàn)日。

上述例子告訴我們，聯(lián)想思維在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中發(fā)揮著重要的作用。但聯(lián)想思維并不是憑空而來(lái)的，是需要在具體解題中培養(yǎng)出來(lái)的。如何培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)想思維解決數(shù)學(xué)問(wèn)題是數(shù)學(xué)老師的主要任務(wù)之一。但學(xué)生之間，教學(xué)內(nèi)容之間都存在著巨大的差異，要因材施教，我們要使用不同的教學(xué)方法。那么，怎樣的教學(xué)才是有效的呢？下面介紹幾種方法。

2 在中學(xué)數(shù)學(xué)解題過(guò)程中培養(yǎng)聯(lián)想思維的方法

聯(lián)想法拉近了數(shù)學(xué)題目中條件和結(jié)論的關(guān)系，它在解中學(xué)數(shù)學(xué)題時(shí)起著承上啟下的作用。由于中學(xué)生思維發(fā)展還不太成熟，也就不能全面地看待問(wèn)題。因此，我們需要合理地引導(dǎo)學(xué)生在解題時(shí)使用聯(lián)想思維，把問(wèn)題簡(jiǎn)單化。

2.1 舉一反三，拓寬聯(lián)想的空間

聯(lián)想是產(chǎn)生直覺(jué)的先導(dǎo)。猜想則是在直覺(jué)的引導(dǎo)下產(chǎn)生的結(jié)果。而直覺(jué)是一種不需要在腦中進(jìn)行復(fù)雜地思索，就能快速關(guān)聯(lián)和整合已知的零星、單獨(dú)的信息的一種思維活動(dòng)，每個(gè)人關(guān)聯(lián)和整合的能力各不相同，取決于個(gè)人的聯(lián)想空間。因此，我們需要經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想自己將要面臨的問(wèn)題。

看到例題，我們能很快發(fā)現(xiàn)等式結(jié)構(gòu)和三角不等式非常相似，在此基礎(chǔ)上，我們可以聯(lián)想到

cos(x+y)+cos(x-y)=2cosx·cosy。

再由f(x)聯(lián)想到cosx,又由cos(π/2)聯(lián)想到f(a/2)=0，最后，我們就能猜想π是類(lèi)似于a，f(x)則是以2a為周期的函數(shù)。由此我們可以看出，合適的聯(lián)想帶來(lái)的直覺(jué)常常可以幫助我們更快地解決問(wèn)題。這給我們數(shù)學(xué)教學(xué)帶來(lái)啟示——在教學(xué)中應(yīng)充分注重培養(yǎng)學(xué)生思維的形式。

2.2 啟迪直覺(jué)，探求數(shù)學(xué)美

數(shù)學(xué)簡(jiǎn)單性、對(duì)稱(chēng)性、統(tǒng)一性就是我們常說(shuō)的數(shù)學(xué)美。我們?cè)谧鲱}時(shí)如果能夠?qū)?shù)學(xué)問(wèn)題的特征與數(shù)學(xué)美感相結(jié)合，大腦就能在已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上不假思索地產(chǎn)生審美直覺(jué)，幫助我們大致地確定解題的基本方向。

例4如實(shí)數(shù)x,y滿足等式(x-2)2+y2=3。那么y/x的最大值是多少？

圖1 y/x與直線y/kx的關(guān)系

3 幾種常用的聯(lián)想思維方法的應(yīng)用

聯(lián)想思維是求解數(shù)學(xué)題的基本思考方法之一。已知和未知間的聯(lián)想就是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題思維本質(zhì)。但這種聯(lián)想并不能清楚地推理出，因此，我們?cè)诮忸}時(shí)，需要先進(jìn)行觀察，有時(shí)還需要畫(huà)出相應(yīng)的示意圖，再根據(jù)條件聯(lián)想到與解題相關(guān)的解題方法，進(jìn)而找出條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，最終得到解題的思路。下面舉例說(shuō)明。

3.1 貼近聯(lián)想

從問(wèn)題或者問(wèn)題中的部分想象到與之同樣或相近的思維方法叫做接近聯(lián)想。例如，從“雙曲線上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離”聯(lián)想到使用“雙曲線的定義”。

例5設(shè)雙曲線x2-y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為A1、A2，點(diǎn)P在雙曲線上，且滿足∠A1PA2=900，則ΔA1PA2的面積是( )?A．1 B．2 C．3 D. 4

(1)通過(guò)分析可以看到：點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)A1和A2距離是ΔA1PA2上的兩邊PA1和PA2。(2)可以聯(lián)想到：雙曲線的定義(接近聯(lián)想),|m-n|=2a(設(shè)|PA1|=m,|PA2|=n)。(3)可以看到：ΔA1PA2是直角三角形，問(wèn)題與其三邊有關(guān)。(4)進(jìn)一步聯(lián)想到：勾股定理：m2+n2=(2c)2(貼近聯(lián)想)。(5)可以看到：結(jié)論是求S=m·n。(6)最后聯(lián)想到：把|m-n|=2a平方，可出現(xiàn)mn，再利用2m+2n=2(2c)，即得，m·n的值。從而得到選項(xiàng)A的結(jié)果。

3.2 相近聯(lián)想

通過(guò)問(wèn)題中的條件或結(jié)論，聯(lián)想到與它相似的知識(shí)并解決問(wèn)題的方法叫做相似聯(lián)想。如，(1)看到x+y+z=xyz形式的式子，聯(lián)想到在非直角△ABC中：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,從而設(shè)x=tanA,y=tanB,z=tanC來(lái)解題；(2)看到“a2+b2”聯(lián)想到“復(fù)數(shù)的?！薄肮垂啥ɡ怼薄包c(diǎn)(a,b)到原點(diǎn)的距離”“圓的方程x2+y2=r2”，并利用這些知識(shí)來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題，等等。

3.3 反向聯(lián)想

具有對(duì)立關(guān)系的數(shù)學(xué)對(duì)象之間的聯(lián)想叫做逆向聯(lián)想。如果碰到難以想到對(duì)立面的復(fù)雜結(jié)論，我們就需要對(duì)此結(jié)論的對(duì)立面進(jìn)行分析、化簡(jiǎn)，進(jìn)而解決問(wèn)題。例如，由“x>0”聯(lián)想到“x≤0”；由“至少有一個(gè)實(shí)根”聯(lián)想到“無(wú)實(shí)根”；由“同一平面內(nèi)兩條直線相交平行”聯(lián)想到“同一平面內(nèi)兩條直線相交”等。

例6已知在三個(gè)方程x2+4ax+3-4a=0,x2+(a-1)x+a2,x2+2ax-2a=0中至少有一個(gè)方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍？

分析：結(jié)論中的“三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有實(shí)根”，如果直接解就要各種類(lèi)別討論，情況較多，容易遺漏。此時(shí)聯(lián)想到它的“反面”。由此把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：“三個(gè)方程全無(wú)實(shí)根”易解決，即：Δ1<0且Δ2<0且Δ3<0，解得-1

4 總結(jié)

在傳授學(xué)生解題方法時(shí)，為了幫助學(xué)生理解知識(shí)，激發(fā)學(xué)生的積極性，需要盡可能地鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)不同的角度進(jìn)行聯(lián)想。但培養(yǎng)聯(lián)想能力光這樣還不夠，擁有踏實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能也是必要條件，否則與問(wèn)題相似的知識(shí)很難在腦中被搜索出來(lái)。