第二類代數(shù)和對數(shù)奇異Fredholm 積分方程的退化核方法

郭嘉瑋，廉 歡

（天津師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387）

考慮如下形式的第二類Fredholm 積分方程

其中：λ≠0 是參數(shù)；f（x）、k（x，y）為已知函數(shù)；u（x）為待求函數(shù).k（x，y）稱為積分方程（1）的核函數(shù)，假設(shè)核函數(shù)k（x，y）與右端項(xiàng)f（x）具有滿足需要的最低階光滑性以使積分方程（1）存在唯一的連續(xù)解[1]. 方程（1）廣泛應(yīng)用于一些科學(xué)計(jì)算與工程問題中. 通常情況下，對于變量可分離的核函數(shù)來說，退化核方法[2-5]是一種簡單有效的方法.對一般的核函數(shù)來說，可以通過插值或級(jí)數(shù)展開得到變量分離的核函數(shù).當(dāng)方程（1）的核函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)奇異時(shí)，由于函數(shù)在奇點(diǎn)處不存在通常意義上的Taylor 級(jí)數(shù)展開式，且整數(shù)次多項(xiàng)式插值逼近精度較低，所以，對這種情形，傳統(tǒng)的退化核方法的計(jì)算精度會(huì)顯著下降.針對核函數(shù)在積分區(qū)間一端或兩端代數(shù)奇異的方程，文獻(xiàn)[6]利用分?jǐn)?shù)階Taylor 級(jí)數(shù)展開構(gòu)造了分?jǐn)?shù)階退化核方法.本文針對方程（1）的核函數(shù)既代數(shù)奇異又對數(shù)奇異的情形，設(shè)計(jì)了一種基于Puiseux 級(jí)數(shù)[7]展開以及分段混合插值的退化核方法.

若函數(shù)f（x）包含因子|x-x0|α，這里α ＞-1 且不是整數(shù)，則稱 f（x）在 x0處代數(shù)奇異； 若函數(shù) f（x）包含因子 lnμ|x-x0|，這里 μ 為正整數(shù)，則稱 f（x）在 x0處對數(shù)奇異.函數(shù)在奇點(diǎn)處不存在通常的Taylor 級(jí)數(shù)展開式，但存在更一般的Puiseux 級(jí)數(shù)展開式，其一般形式如下

設(shè)積分方程（1）中的核函數(shù) k（x，y）在積分區(qū)間的端點(diǎn)代數(shù)奇異且對數(shù)奇異，本文利用分段混合插值構(gòu)造近似退化核.在包含奇點(diǎn)的小區(qū)間上使用關(guān)于變量y 的Puiseux 級(jí)數(shù)構(gòu)造退化核方法，與通常的Taylor級(jí)數(shù)性質(zhì)類似，有限項(xiàng)Puiseux 級(jí)數(shù)展開式也僅在奇點(diǎn)附近有較高的精度，當(dāng)遠(yuǎn)離奇點(diǎn)時(shí)精度下降；在其他區(qū)間上使用標(biāo)準(zhǔn)的分段線性插值來逼近核函數(shù).數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，該混合退化核方法對于該類方程有著較高的計(jì)算精度.

1 混合線性插值方法

1.1 算法構(gòu)造

考慮積分方程（1），其核函數(shù) k（x，y）在 y=a 處代數(shù)且對數(shù)奇異，設(shè)k（x，y）的Puiseux 級(jí)數(shù)展開式為

其中：-1 ＜ α1≤α2≤…，αj不是整數(shù)，αj→∞（j→∞）； βj為非負(fù)整數(shù).將積分區(qū)間[a，b]劃分為n 個(gè)子區(qū)間，設(shè)第 j 個(gè)子區(qū)間的長度為 hj，記 a0= a，aj= aj-1+ hj，j =1，2，…，n，由積分區(qū)間的可加性，積分方程（1）可改寫為

下面以分段線性插值為例，構(gòu)造 k（x，y）基于Puiseux 級(jí)數(shù)展開和分段插值的離散退化核. 在區(qū)間[a0，a1]上，核函數(shù) k（x，y）在區(qū)間的端點(diǎn) y = a 處有Puiseux 級(jí)數(shù)展開式（3），取有限項(xiàng)如下

由于函數(shù)的有限項(xiàng)Puiseux 級(jí)數(shù)展開式僅在y = a 附近逼近精度高，因此在剩余的區(qū)間[ai-1，ai]，i=2，3，…，n 上利用分段插值來逼近核函數(shù).為了保證逼近函數(shù)整體的連續(xù)性，需要對式（5）進(jìn)行修正.對于分段線性插值，令

其中η（x）為待定函數(shù)，滿足線性插值條件k1（x，a1）=k（x，a1），計(jì)算得

在下文中，為方便，仍用 cm（x）代替得到的 η（x），即將式（6）重新記作

直接計(jì)算可得式（7）的插值余項(xiàng)為

其中

當(dāng) βj- βm≤0 時(shí)，將 σ（y）變形為

當(dāng) βj- βm＞ 0 時(shí)，則有

由此可得，在區(qū)間[a，a+h1]上有|η1（y）|≤1，|η2（y）|≤1.

在區(qū)間[ai-1，ai]，i = 2，3，…，n 上做核函數(shù) k（x，y）關(guān)于自變量y 的線性插值，使用 Lagrange 插值公式，有

其中

用構(gòu)造的分段函數(shù)ki（x，y），i=1，2，…，n 近似代替原方程中的核函數(shù)k（x，y），并記得到的近似解為un（x），則un（x）滿足

將式（9）改寫為向量形式

其中

顯然，Bi，i=1，2，…，n 為未知向量，下面給出確定這組未知向量的方法.

首先，方程（9）兩邊同時(shí)乘以（x-a）αqlnβ（qx-a），q=1，…，m，并在區(qū)間[a0，a1]上對 x 積分，得到

其中 Bi，j為 Bi的第 j 個(gè)分量.將式（11）寫作向量形式

其中

這里，向量 C1、F1、D1，i中的元素均為弱代數(shù)和對數(shù)奇異積分，可以利用修正的Gauss-Legendre 求積公式[8]計(jì)算，基本算法如下：記I[g]=，其中 g（t）代表以上向量中的被積函數(shù)，利用Gauss-Legendre 求積公式有

其中 σλ＞ 0 和 θλ∈（0，1），λ =1，2，…，r 分別是 Gauss-Legendre 求積公式的權(quán)重和節(jié)點(diǎn). 下面給出修正的Gauss-Legendre 求積公式及其誤差主項(xiàng).

引理1[8]設(shè)函數(shù)g（t）在端點(diǎn)t=a0處代數(shù)奇異且對數(shù)奇異，且有類似式（2）的Puiseux 級(jí)數(shù)展開式成立（取x0=a0），則修正的 Gauss-Legendre 求積公式 Q[g]為

其誤差主項(xiàng)為

利用引理 1 可以高精度地計(jì)算 C1、F1、D1，i中包含的奇異積分. 對于剩余不包含奇點(diǎn)的區(qū)間[aj-1，aj]，j=2，3，…，n，將方程（9）兩邊同時(shí)乘以lj，γ（x），γ = 1、2，并在區(qū)間[aj-1，aj]上對 x 積分，得到

將式（16）寫成向量形式

其中

聯(lián)立式（12）和式（17），并令

則積分方程（1）被離散為一個(gè)線性代數(shù)方程組

這里，為了使線性方程組（18）的解存在且唯一，需要假定λ 不是系數(shù)矩陣A 的特征值.此外，本節(jié)僅給出了核函數(shù)在區(qū)間左端點(diǎn)奇異時(shí)的混合退化核方法，類似可得核函數(shù)在區(qū)間右端點(diǎn)奇異時(shí)的混合退化核方法，從而可以計(jì)算核函數(shù)在區(qū)間兩端代數(shù)和對數(shù)奇異的第二類Fredholm 積分方程.

1.2 收斂性分析

記Ln（x，y）為上一節(jié)構(gòu)造的混合插值退化核，將離散后的方程（18）寫成算子方程的形式

為分析其收斂性，先給出一個(gè)引理.

引理2[1]記

由引理2，為說明算法的收斂性，需要證明當(dāng)h→0 時(shí)，有 ρn→0.ρn由核函數(shù)關(guān)于變量 y 插值產(chǎn)生的誤差以及對函數(shù)奇點(diǎn)所在區(qū)間利用Puiseux 級(jí)數(shù)展開逼近而產(chǎn)生的誤差兩部分組成.

可得

記Mj|cj（x）|，則當(dāng)βj-βm≤0 時(shí)，有

當(dāng) βj- βm＞ 0 時(shí)，有

由式（21）及其誤差估計(jì)可得如下定理.

定理設(shè)核函數(shù) k（x，y）關(guān)于 x 在[a，b]上連續(xù)，關(guān)于 y 在（a，b]上二階可導(dǎo)，且在 y=a 點(diǎn)存在 Puiseux 展開式.若級(jí)數(shù)有界，則當(dāng) h→0，m→∞時(shí)，所得近似解un（x）一致收斂于精確解u（x）.

需要指出的是，上面定理給出了算法的收斂性分析，為使算法收斂，在展開式中，代數(shù)多項(xiàng)式的次數(shù)和對數(shù)的次數(shù)需滿足一定的關(guān)系，這在數(shù)值算例中有所體現(xiàn).由于代數(shù)和對數(shù)奇異的積分方程（1）的精確解很難求出，為了估計(jì)計(jì)算精度，下面給出算子誤差的定義.

定義設(shè)un（x）為通過退化核方法求解方程（1）得到的數(shù)值解，稱

為近似解un（x）的算子誤差函數(shù).

其中C=|λ|+‖K‖.由以上推導(dǎo)可以看出，當(dāng)un（x）→u（x）時(shí)→0；當(dāng)un（x）= u（x）時(shí)，（x）≡0. 因此，可以使用（x）來檢驗(yàn)數(shù)值算法的有效性.

2 數(shù)值算例

用混合線性插值法求解如下第二類Fredholm 積分方程

方程（23）中，Mj=由于函數(shù) g（x）=xj|ln x|2j在區(qū)間[0，1]上當(dāng) x=e-2時(shí)取得極大值 g（e-2）=（2/e）2j，因此，對于固定的 m，當(dāng) h1＜ 1 時(shí)，級(jí)數(shù)|ln h1|j-m有界.由定理可知，當(dāng) h→0 時(shí)，所得近似解uapp（x）收斂于精確解.

固定奇點(diǎn)所在區(qū)間的長度為h1=0.1，并在式（5）中取m = 12，表1 給出了在不同步長h 下，自變量x =0.05、0.2、0.4、0.6、0.8 和 1 時(shí)，方程（23）算子誤差的計(jì)算結(jié)果.

表1 取不同步長時(shí)方程（23）算子誤差的計(jì)算結(jié)果Tab.1 Calculation results of the operator errors for Equation（23）with different steps

由表1 可以看出，隨著步長的減小，算子誤差逐漸變小，并均勻分布在整個(gè)積分區(qū)間上. 當(dāng)x = 0.05時(shí)，算子誤差的精度也較高.

當(dāng)h=0.01 時(shí)，圖1 給出了解uapp（x）的圖像. 由圖1 可以看出，方程的解在x=0 點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)奇異，而表1 顯示，在積分區(qū)間[0，1]上算子誤差始終在10-5量級(jí)，這說明利用Puiseux 級(jí)數(shù)來處理端點(diǎn)奇異的方法是可行的，本文提出的方法對核函數(shù)在端點(diǎn)代數(shù)且對數(shù)奇異的方程具有良好的計(jì)算效果.

利用傳統(tǒng)的 Nystr?m 方法求解方程（23）. 采取復(fù)合梯形公式，當(dāng)h=0.01 時(shí)，Nystr?m 方法的算子誤差（x）和本文算法的算子誤差（x）如圖2 所示.由圖2可見，Nystr?m 方法所得近似解的算子誤差比本文算法的誤差大很多.另外，由圖2 還可看出，本文算法所得近似解在積分區(qū)間[0，0.1]上的誤差很小，說明針對積分區(qū)間端點(diǎn)代數(shù)且對數(shù)奇異的核函數(shù)，本文的方法是成功的.

圖1 當(dāng)h=0.01 時(shí)方程（23）的解uapp（x）的圖像Fig.1 Curve of uapp（x）for Equation（23）when h=0.01

圖2 當(dāng)h=0.01 時(shí)方程（23）的2 種算法的算子誤差曲線Fig.2 Logarithmic plot of the errors computed by two algorithms for Equation（23）when h=0.01

3 結(jié)語

針對核函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)既代數(shù)奇異又對數(shù)奇異的第二類Fredholm 積分方程，提出了一種基于Puiseux 級(jí)數(shù)展開的混合型退化核方法，并對該方法格式的收斂性進(jìn)行了分析.數(shù)值算例的結(jié)果表明，本文方法可以很好地求解這種類型的端點(diǎn)奇異積分方程，且計(jì)算精度較高，優(yōu)于傳統(tǒng)的Nystr?m 方法.