在反思和追根中提升解題教學(xué)效益
——以一道向量題為例

林 松

(江蘇省儀征市第三中學(xué) 211400)

數(shù)學(xué)習(xí)題“題海無邊”，如果解題和解題教學(xué)就題論題，則永遠(yuǎn)做不完、講不盡．解題和解題教學(xué)只有“回頭是岸”，加強(qiáng)解題后的回顧反思和追根求源，才能跳離題海、事半功倍，提升解題和解題教學(xué)的效益．這里的反思和追根是對解題思路、問題本質(zhì)進(jìn)行反思和求源．通過反思與追根利于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)和落實(shí)．下面以一道向量題為例進(jìn)行一番反思和追根．

1 習(xí)題的呈現(xiàn)

圖1

此題是一道平面向量數(shù)量積運(yùn)算問題，是平面向量的核心內(nèi)容．此題蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)思想和方法，如轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合、特殊化等，是落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)難得的知識載體．在教學(xué)中應(yīng)讓學(xué)生充分展示解題思路，引導(dǎo)學(xué)生對解題的思路進(jìn)行反思，對問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)進(jìn)行挖掘，探索數(shù)學(xué)問題的根源，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

2 學(xué)生思路展示及反思

2.1基底法思路及反思

(1)思路

教學(xué)中，學(xué)生認(rèn)為基底法是解決向量問題的常用方法，展示了如下解法：

(解法一)如圖2，

①

②

圖2

因?yàn)辄c(diǎn)M、N分別是邊AD、BC的中點(diǎn)，所以

所以由①+②可得，

(2)反思

2.2坐標(biāo)法思路及反思

(1)思路

圖3

(解法二)以N為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸建立如圖3所示的直角坐標(biāo)系．

設(shè)B(-x0,0)，C(x0,0)，A(x1,y1)，D(x2,y2)，

又因?yàn)锳B=DC，

(2)反思

教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生反思以下問題：①坐標(biāo)法解決向量問題的本質(zhì)是什么？②解題過程中是如何實(shí)現(xiàn)簡化運(yùn)算的？通過引導(dǎo)學(xué)生反思，理解用坐標(biāo)法處理向量問題也是一種常見思路，其本質(zhì)上就是幾何問題代數(shù)化．應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生對條件和目標(biāo)進(jìn)行差異分析，確定計(jì)算方向，簡化運(yùn)算，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．

2.3 直觀猜想法思路及反思

(1)思路

圖4

證明：如圖4，取AC的中點(diǎn)K，連接MK、NK．

因?yàn)镸、K分別為AD、AC中點(diǎn)，

所以MK

所以∠CQN=∠KMN．

同理KN

所以∠KNM=∠BPN．

又因?yàn)锳B=CD，所以KN=KM，

所以∠KMN=∠KNM，所以∠CQN=∠BPN．

(2)反思

平面幾何知識具有“形”的直觀，與高中數(shù)學(xué)中的平面向量具有相同的本質(zhì)．在解決一些關(guān)于平面向量問題的試題時(shí)，可以結(jié)合平面圖形的性質(zhì)，利用平面幾何的知識去解決，可以另辟蹊徑，換一個(gè)思路解決問題，落實(shí)了學(xué)生直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)．

通過反思，學(xué)生可以利用“∠CQN=∠BPN”，結(jié)合向量數(shù)量積定義可得到原題如下創(chuàng)新解法：

(解法三)如圖4，設(shè)∠BPN=α，∠CQN=β，則α=β．

圖5

(解法四)如圖5，還可以利用幾何方法得到如下解法：

作BR，使BRDC，作∠PBR的角平分線BT交PN于T，可得∠CBR=∠C，∠PBT=∠RBT．在△BPT和△BNT中，因?yàn)?/p>

∠BTP=180°-(∠PBT+∠BPT),

∠BTN=180°-(∠NBT+∠BNT)

=180°-(∠NBT+∠C+∠CQN)

=180°-(∠NBT+∠CBR+∠CQN),

所以∠BTP=∠BTN.

又∠BTP+∠BTN=180°,

所以∠BTP=∠BTN=90°.

因?yàn)椤螧TP=∠BTN=90°,

2.4 特殊化法思路及反思

(1)思路

圖6

(2)反思

錯(cuò)誤的思路有時(shí)也有可以汲取營養(yǎng)的地方，有時(shí)也有反思討論的價(jià)值．上述特殊化法雖然不合題意，但如此特殊化得出正確的答案是偶然的還是必然的呢？是否具有合理性呢？現(xiàn)在已經(jīng)證得“∠BPN=∠CQN”，那么上述特殊化也是合理的，極致特殊化的圖形其實(shí)就是后文實(shí)驗(yàn)操作的起始圖形，亦可以看作是極限位置，得到正確答案是必然的．

3 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與追根

教學(xué)中，由“∠BPN=∠CQN”的發(fā)現(xiàn)，可以追溯本題題圖的來源．引導(dǎo)學(xué)生開展以下實(shí)驗(yàn)操作得到．

①如圖7，取兩個(gè)相等的角∠UPV，∠XQY的紙片，讓∠UPV的頂點(diǎn)P與∠XQY的頂點(diǎn)Q重合，∠UPV的邊PV和∠XQY的邊QX重合；

圖7

圖8

圖9

②如圖8，在PU，PY上分別取A、B，D、C，使得PA=PD，AB=DC，連接AD，BC分別交PX于M、N．再沿著邊PV向下移動(dòng)∠XQY，在PU與QY上分別截取PA=QD，PB=QC，連接AD交PV于M，連接BC交PV于N，此時(shí)就得到圖9的一般情況．

由上面的操作可以知道：只要∠BPN=∠CQN，PA=QD，AB=DC，就應(yīng)有M、N是AD、BC的中點(diǎn)．反之，AB=DC，M、N是AD、BC的中點(diǎn)，一定有∠BPN=∠CQN，PA=QD．

4 教后的思考

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出：“向量是描述直線、曲線、平面以及高維空間數(shù)學(xué)問題的基本工具，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)和研究其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域問題的基礎(chǔ)，在解決實(shí)際問題中發(fā)揮重要作用．”[1]可見，向量的學(xué)習(xí)對高中生數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展的意義重大．教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生理解在高中數(shù)學(xué)中解決向量問題的主要方法基底法和坐標(biāo)法，基底法和坐標(biāo)法的共同本質(zhì)在于把圖形關(guān)系轉(zhuǎn)化成代數(shù)關(guān)系，利用代數(shù)運(yùn)算去解決問題，實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的轉(zhuǎn)化．其實(shí)，坐標(biāo)法是基底法的特殊化，就是單位正交基底法，而用坐標(biāo)來處理之后的幾何問題在求解過程中，特別是在求某個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，大多情況下會更加方便自然，可操作性強(qiáng)．平面幾何的方法在解決一些關(guān)于平面向量問題時(shí)，可以另辟蹊徑，也能很方便解決地解決問題，甚至有意想不到的收獲．當(dāng)然，平面幾何的方法對解決向量問題時(shí)更多地是起到輔助的作用，絕不能喧賓奪主，過分強(qiáng)調(diào)其作用．