“再發(fā)現(xiàn)”是突破教學(xué)難點(diǎn)的有效策略①
——《數(shù)學(xué)歸納法》的課堂實(shí)錄與思考

陶兆龍

(江蘇省南京市金陵中學(xué) 210005)

突破教學(xué)難點(diǎn)一直是教師關(guān)注的問題.在長期的教學(xué)實(shí)踐中，廣大教師總結(jié)了很多突破教學(xué)難點(diǎn)的方法與措施.這些措施與方法，對于數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)與理解，確實(shí)發(fā)揮了良好的作用.但隨著課改的深入，教學(xué)理念的更新，我們已經(jīng)愈來愈清晰地認(rèn)識到：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅僅是為了獲得數(shù)學(xué)知識與技能，更為重要的是如何提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).在核心素養(yǎng)的背景下，突破教學(xué)難點(diǎn)，更應(yīng)關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)思維過程.因而，“再發(fā)現(xiàn)”是突破教學(xué)難點(diǎn)的有效策略.本文結(jié)合《數(shù)學(xué)歸納法》的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勅绾瓮ㄟ^“再發(fā)現(xiàn)”來突破教學(xué)難點(diǎn)的探索與思考.

1 內(nèi)容分析

數(shù)學(xué)歸納法是以數(shù)學(xué)歸納法原理為根據(jù)的演繹推理,它將一個(gè)無窮推理過程轉(zhuǎn)化為一個(gè)有限步驟的演繹過程,是證明有關(guān)自然數(shù)問題的有力工具.

蘇教版2-2將數(shù)學(xué)歸納法安排在推理與證明這一單元,排在合情推理,數(shù)學(xué)證明之后,這樣的編排既有利于數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué),也有利于合情推理與數(shù)學(xué)證明的教學(xué).

推理與證明這一單元的學(xué)習(xí)可以較為系統(tǒng)地讓學(xué)生掌握推理(合情推理與演繹推理)與數(shù)學(xué)證明的基本方法,對提高學(xué)生的邏輯推理能力,培養(yǎng)其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有一定的促進(jìn)作用.這也是本單元教學(xué)要達(dá)成的重要教學(xué)目標(biāo).數(shù)學(xué)歸納法作為本單元的收官之作理應(yīng)承擔(dān)這方面的任務(wù).

數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)存在的問題主要有:

(1)數(shù)學(xué)歸納法的引入過程簡單化,只是強(qiáng)化數(shù)學(xué)歸納法的解題應(yīng)用,導(dǎo)致不少學(xué)生不能理解數(shù)學(xué)歸納法原理,尤其是對遞推步不知何意,解題時(shí)只會(huì)生搬硬套兩個(gè)步驟.

較為常見的是通過多米諾骨牌的演示直接引入數(shù)學(xué)歸納法, 實(shí)際上即使經(jīng)過討論學(xué)生也很難將多米諾骨牌與數(shù)學(xué)歸納法建立起聯(lián)系,難以促進(jìn)學(xué)生的理解.

(2)缺乏整體考慮,在進(jìn)行數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)時(shí)不關(guān)注合情推理.歐拉說過,類比是偉大的引路人，類比和歸納是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要工具.在學(xué)習(xí)了合情推理,數(shù)學(xué)證明后,如果不聯(lián)系這些內(nèi)容學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法,學(xué)生不僅難以形成合理的知識結(jié)構(gòu)，也錯(cuò)過了運(yùn)用類比與歸納進(jìn)行“再發(fā)現(xiàn)”學(xué)習(xí)的最好時(shí)機(jī).

(3)問題(含例題)的選擇不能體現(xiàn)數(shù)學(xué)歸納法的優(yōu)勢,有很多問題不用數(shù)學(xué)歸納法解決更簡單,強(qiáng)行應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法反而使學(xué)生感受不到學(xué)習(xí)新知識的必要性,對數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)產(chǎn)生抵觸情緒,思維活動(dòng)無法展開.

由以上的分析可以看到,不論從單元教學(xué),還是數(shù)學(xué)歸納法本身教學(xué)出發(fā),數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)都應(yīng)突出類比與歸納在數(shù)學(xué)“再發(fā)現(xiàn)”過程中的作用，強(qiáng)化邏輯推理這一核心數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng).

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)：了解數(shù)學(xué)歸納法原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的命題，體會(huì)演繹推理將無窮歸納過程轉(zhuǎn)化為一個(gè)有限步驟演繹過程的魅力,感受邏輯推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和證明中的強(qiáng)大作用.

教學(xué)難點(diǎn)是“由n=k推證n=k+1”的遞推過程.

2 課堂實(shí)錄

2.1問題情境

師:提出問題: 求和 13+23+33+…+n3=?(記為P(n)=?)

引導(dǎo)學(xué)生采用歸納推理形成猜想,并注意利用P(2)算P(3),利用P(3)算P(4).

[教學(xué)意圖:由P(2)算P(3)或者P(3)算P(4)一是簡化計(jì)算,更重要的是為后面的遞推作鋪墊]

生:猜想:

師:上述猜想是否正確呢?怎樣判斷?

生:利用猜想再算幾個(gè)看看!

……

師:回顧一下前面的討論,實(shí)際上是這樣的一個(gè)思路:

P(4)?P(5)?P(6)?P(7)?……

這樣依次由前一個(gè)推出后一個(gè),推算的再多也只是有限個(gè),也不能保證猜想對所有正整數(shù)都成立.

既然由特殊不能推一般,那么應(yīng)該怎樣推證?

生:……一般化,由一般推一般!

師:你這里是利用

來推證

13+23+33+…+k3+(k+1)3

[教學(xué)意圖:幫助學(xué)生理清思路,有不少學(xué)生還沒弄清是怎么回事]

師:但是P(k)是不是正確,還沒有證明啊?

生:假設(shè)它成立.

師:怎么敢假設(shè)它成立呢?

[教學(xué)意圖:這里是一個(gè)疑點(diǎn),關(guān)系到學(xué)生對數(shù)學(xué)歸納法的理解,要作停頓,逼學(xué)生交待清楚!]

生:P(k)是否為真可以先不看,只要看命題:P(k)?P(k+1)是否為真即可.

師:哦,上面的證明實(shí)際上是得到這樣一個(gè)結(jié)論:假如P(k)為真,則P(k+1)也為真.那這樣能保證上面的猜想成立嗎?

生:可以,因?yàn)閗可以取任意正整數(shù),所以對任一個(gè)正整數(shù)n,有

P(1)?P(2)?P(3)?P(7)?P(8)…

?P(n)

師:這一招真好,一招制勝!

只要這一招就行了嗎?

[教學(xué)意圖:闡明數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟的必要性]

生(討論):沒有P(1)成立不行,無法啟動(dòng).

師: 兩個(gè)步驟缺一不可!

觀看多米諾骨牌視頻(蘋果手機(jī)廣告片),讓學(xué)生討論怎樣才能保證骨牌全部倒下?

最終得出結(jié)論:

(1)前一張倒下要能推倒后一張,(2)推倒第一張.

再與與前面的問題相比較,弄清其中蘊(yùn)含的遞推思想: “(1)前一張倒下要能推倒后一張”相當(dāng)于“命題:P(k)?P(k+1)是否為真”,而“(2)推倒第一張”相當(dāng)于P(1)成立.

[教學(xué)意圖:先解決前面的問題,再演示多米諾骨牌視頻,為前面較為抽象的方法提供一個(gè)直觀的背景,通過對比,有利于學(xué)生進(jìn)一步理解前面的方法]

師: 我們前面解決問題的方法就是以下的數(shù)學(xué)歸納法公理.

2.2數(shù)學(xué)理論

對于某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，我們有數(shù)學(xué)歸納法公理：

(1)當(dāng)n取第一個(gè)值n0(例如n0=1，2等)時(shí)結(jié)論正確；

(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*，且k≥n0)時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也正確.

那么，命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.

師: 有了上述公理,要解決與正整數(shù)有關(guān)的問題,可以采用數(shù)學(xué)歸納法,只要看其是否滿足(1)(2)兩步即可.

由上面的討論可知,第(2)步實(shí)際上就是要證明一個(gè)結(jié)論:“P(k)?P(k+1)”,所以要先假設(shè)P(k)成立,再由此推證P(k+1)成立.

2.3數(shù)學(xué)應(yīng)用

例1：用數(shù)學(xué)歸納法證明：

給出完整的證明過程.

[教學(xué)意圖:讓學(xué)生熟悉數(shù)學(xué)歸納法證明的流程,了解有關(guān)的書寫規(guī)范]

最后指出:在用歸納推理得到猜想后,由數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行了嚴(yán)格的證明,得到了我們需要的結(jié)論.歸納讓我們得到猜想,用數(shù)學(xué)歸納法給出嚴(yán)格的證明,先猜后證,相得益彰.

例2：求和：12+22+32+…+n2=?

歸納推理受阻后,引導(dǎo)學(xué)生類比

得出猜想: 結(jié)果應(yīng)該是關(guān)于n的三次式,但系數(shù)不好猜!

師:猜的合理吧? 即

12+22+32+…+n2=an3+bn2+cn+d.

現(xiàn)在的問題是:a,b,c,d能否想辦法求出來?

生:特殊化,n取4個(gè)特殊值1,2,3,4,可以求出a,b,c,d.

師:現(xiàn)在我們得到

這個(gè)結(jié)果還需要證明嗎?

生:要！結(jié)果是猜出來的,要用數(shù)學(xué)歸納法證明.

師: (在讓學(xué)生寫出證明后)回顧一下,是怎么猜出來的?

生:類比和特殊化.

師:和例1采用歸納推理作出猜想不同,我們用類比的方法猜出右端應(yīng)為關(guān)于n的三次式,再用特殊化的方法求出系數(shù),最后用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行了論證.

合情推理可以幫助我們發(fā)現(xiàn)結(jié)論,得到猜想,數(shù)學(xué)歸納法使我們多了一種嚴(yán)格證明有關(guān)猜想成立的方法.有數(shù)學(xué)歸納法保駕護(hù)航,我們就可以大膽地進(jìn)行有關(guān)猜想!

2.4課堂練習(xí)

設(shè)n為正整數(shù),試比較2n與n2的大小.

最后指出

(1)n的初值n0不一定是1.

(2)僅由P(k)?P(k+1) 不能保證結(jié)論正確.

[教學(xué)意圖： 本題的結(jié)論較復(fù)雜,正確結(jié)論是

21>12; 22=22; 23<32; 24=42,當(dāng)n≥5時(shí),2n>n2.

但當(dāng)k≥3時(shí),

若2k>k2,則2k+1>2k2,

2k2-(k+1)2=k2-2k-1=k(k-2)-1,

上式大于0，所以2k+1>2k2>(k+1)2，

即可由P(k)?P(k+1),

但23<32, 24=42與2n>n2矛盾.這表明遞推步不能保證命題成立.因此,本題可以進(jìn)一步訓(xùn)練學(xué)生歸納猜想能力,加深對數(shù)學(xué)歸納法兩個(gè)步驟缺一不可的認(rèn)識]

2.5課堂小結(jié)

(1)討論:用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)正整數(shù)問題的兩個(gè)步驟及表達(dá)規(guī)范，強(qiáng)調(diào)遞推步實(shí)際上是證明一個(gè)命題“P(k)?P(k+1)”成立.

(2)合情推理讓我們體驗(yàn)到數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的樂趣,而數(shù)學(xué)歸納法又使我們感受到了演繹推理

的力量,這種感覺真好!

3 教學(xué)思考

普通高中數(shù)學(xué)課程目標(biāo)要求通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)“四基”(包括基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn))，提高“四能”.在學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程中發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)還提倡教師要善于根據(jù)不同的內(nèi)容和學(xué)習(xí)任務(wù)采用不同的教學(xué)方式，優(yōu)化教學(xué)，抓住關(guān)鍵的教學(xué)和學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，增強(qiáng)實(shí)效.

在日常教學(xué)中，教學(xué)難點(diǎn)幾乎是師生每節(jié)課都要面臨的問題，所以教學(xué)難點(diǎn)的破解策略直接關(guān)系到高中數(shù)學(xué)教育目標(biāo)的落實(shí).作為課堂教學(xué)關(guān)鍵環(huán)節(jié)教學(xué)難點(diǎn)的教學(xué)不能僅僅滿足于使學(xué)生理解有關(guān)內(nèi)容，還應(yīng)承擔(dān)發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的任務(wù).

3.1“再發(fā)現(xiàn)”是突破教學(xué)難點(diǎn)的有效策略

怎樣在突破教學(xué)難點(diǎn)的同時(shí)，學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)也得到一定的培育？

普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)大力提倡教師注意引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、自主探索、合作交流.

荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾認(rèn)為，通過再創(chuàng)造(再發(fā)現(xiàn))獲得的知識與能力要比被動(dòng)方式獲得者，理解的更好，也更容易保持.

“再發(fā)現(xiàn)”是我們突破教學(xué)難點(diǎn)的必然選擇.

“再發(fā)現(xiàn)”不是讓學(xué)生完全經(jīng)歷數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)或發(fā)明數(shù)學(xué)的過程，而是基于學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)(原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu))，讓學(xué)生在教師的引導(dǎo)下運(yùn)用數(shù)學(xué)思維方法與數(shù)學(xué)思想方法，經(jīng)歷操作、實(shí)驗(yàn)、猜想、想象、類比、歸納、交流、概括、反思等有意義的數(shù)學(xué)活動(dòng)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)化.

引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用“再發(fā)現(xiàn)”學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，實(shí)際上就是讓學(xué)生主動(dòng)地參與到新知識的產(chǎn)生過程中去,由于數(shù)學(xué)思維方法與數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用可以極大地提高發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的效率，因此，“再發(fā)現(xiàn)”可以有效地突破教學(xué)難點(diǎn)，與此同時(shí)，數(shù)學(xué)思維方法與數(shù)學(xué)思想方法學(xué)習(xí)或應(yīng)用促進(jìn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.

在本節(jié)課的教學(xué)中，針對學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法存在的困難，采用了“再發(fā)現(xiàn)”的教學(xué)策略，在教師的引導(dǎo)下,學(xué)生們通過自主探索、合作交流實(shí)際上“再發(fā)現(xiàn)”了數(shù)學(xué)歸納法,取得了較好的教學(xué)效果.

3.2“再發(fā)現(xiàn)”需要精心設(shè)計(jì)與有效引導(dǎo)

從上述教學(xué)過程看，“再發(fā)現(xiàn)”突破教學(xué)難點(diǎn)教學(xué)策略的有效實(shí)施，離不開教師的精心設(shè)計(jì)與有效引導(dǎo)，以下兩個(gè)方面值得關(guān)注.

3.2.1 “再發(fā)現(xiàn)”需要好問題的驅(qū)動(dòng)

數(shù)學(xué)歸納法引入或應(yīng)用的教學(xué)中,如果選用一些簡單的不用數(shù)學(xué)歸納法也能解決的問題(例題),那么學(xué)生就會(huì)對數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生疑問：學(xué)習(xí)這一方法干嗎?學(xué)生的思維會(huì)完全處于抑制狀態(tài).本節(jié)課中選擇的三個(gè)問題,充分體現(xiàn)出數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用價(jià)值,還解決了困擾他們很久的問題:會(huì)猜想而不會(huì)證明.這樣的選擇,激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法的興趣,激活了學(xué)生的思維.引入部分的問題對學(xué)生來說有一定的挑戰(zhàn)性，通過合作交流得到猜想使他們得到了成功的體驗(yàn)，問題的解決最終帶來了新知識的“再發(fā)現(xiàn)”.課堂上學(xué)生情緒飽滿,討論熱烈,取得了很好的教學(xué)效果.

“再發(fā)現(xiàn)”需要好問題的驅(qū)動(dòng).突破教學(xué)難點(diǎn)時(shí)，教師首先要對新知識的形成、發(fā)展過程作出邏輯模擬，在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)好適合學(xué)生數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)的問題，然后引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思維方法和數(shù)學(xué)思想方法分析問題、解決問題，從而發(fā)現(xiàn)新知識.

3.2 .2 “再發(fā)現(xiàn)”需要聚焦思維過程

教學(xué)難點(diǎn)的確定并非輕而易舉的事.要突破突破教學(xué)難點(diǎn)，首先要準(zhǔn)確地確定教學(xué)難點(diǎn).

這就需要教師聚焦學(xué)生的思維過程，進(jìn)行換位思考.精準(zhǔn)地定位后才能有的放矢地去破解.

本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是“遞推步”，學(xué)生對此感到難以理解：明明是要證明P(n)，卻竟然假設(shè)P(k)成立！不是循環(huán)論證了嗎？

所以在教學(xué)過程中,抓住機(jī)會(huì)，直面這一難點(diǎn),反問提出設(shè)P(k)成立的同學(xué),怎么可以這樣做(假設(shè)P(k)成立!)？這個(gè)問題實(shí)際上是替學(xué)生問的,提出了他們的困惑!而問題解法的本質(zhì)是要推證出一個(gè)真命題“P(k)?P(k+1)”,即:如果P(k)成立,那么P(k+1)也成立.

這樣的處理使學(xué)生厘清了“遞推步”的真實(shí)含義,對學(xué)生理解數(shù)學(xué)歸納法至關(guān)重要.

由學(xué)生提出“由一般到一般”的想法,老師再去質(zhì)疑,是教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)最希望出現(xiàn)的場景,實(shí)際上就是希望學(xué)生能夠“再發(fā)現(xiàn)”數(shù)學(xué)歸納法.為了達(dá)到這一目的,新課引入部分的問題設(shè)計(jì)及解決問題過程中的鋪墊(P(2)?P(3)…)都起到了推波助瀾的作用.

即使沒有學(xué)生提出這樣的思路,老師還可以進(jìn)一步引導(dǎo) “既然由特殊不能推一般,那么由什么可以推一般?” ,“P(k)?P(k+1)”是什么意思?怎么可以假設(shè)P(k)成立?等等。

充分的數(shù)學(xué)活動(dòng)可以將學(xué)生的困惑，想法暴露無遺，再加上教師疑學(xué)生所疑,思學(xué)生所思,師生,生生之間就會(huì)產(chǎn)生思維碰撞,再發(fā)現(xiàn)就有可能產(chǎn)生，教學(xué)難點(diǎn)的突破就會(huì)水到渠成.

3.3“再發(fā)現(xiàn)”是發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的需要

從課堂教學(xué)的效果來看,在“再發(fā)現(xiàn)”的過程中合情推理與演繹推理的聯(lián)袂使用起到了多米諾骨牌根本無法替代的作用!這種經(jīng)歷和感受對發(fā)展學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)意義重大，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)離不開“再發(fā)現(xiàn)”，“再發(fā)現(xiàn)”不僅是突破教學(xué)難點(diǎn)的有效策略，也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)核心素養(yǎng)的需要.

課堂上有學(xué)生提出一般化的思路：“由一般推一般，即P(k)?P(k+1)”并非偶然.滴水穿石非一日之功,這是我們長期堅(jiān)持不懈地運(yùn)用“再發(fā)現(xiàn)”的策略進(jìn)行有關(guān)訓(xùn)練的結(jié)果.

邏輯推理能力持續(xù)不斷地訓(xùn)練提升了學(xué)生“再發(fā)現(xiàn)”的能力，能促使“再發(fā)現(xiàn)”的發(fā)生，而“再發(fā)現(xiàn)”的產(chǎn)生又進(jìn)一步激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)合情推理的熱情，兩者相輔相成，相得益彰.

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)關(guān)系到學(xué)生的未來發(fā)展,數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育需要持之以恒,日積月累.突出邏輯推理能力(合情推理與演繹推理)的訓(xùn)練,就是抓住了本節(jié)課的綱!綱舉目張,既突破了教學(xué)難點(diǎn),又發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).讓學(xué)生經(jīng)歷“再發(fā)現(xiàn)”的過程無疑是一舉多得的教學(xué)策略.