高考數(shù)學三角函數(shù)、立體幾何部分問題分析研究

江蘇省如東縣馬塘中學 江雪梅

三角函數(shù)和立體幾何部分是高中數(shù)學知識的重要組成部分，堪稱高中數(shù)學的兩大巨頭，更是高考數(shù)學試題的熱門考點，它們占據了大量的試題分值，是當之無愧的兩大巨頭.研究這兩部分知識在高考數(shù)學試卷中的題目分布、出題類型，總結高考數(shù)學這兩部分考題的解題注意事項，對于提高學生的數(shù)學考試成績和今后數(shù)學學習的針對性具有重要的意義.

一、2018年高考數(shù)學三角函數(shù)部分問題分析

1.三角函數(shù)部分考題概述

三角函數(shù)部分是高中數(shù)學教學的重點，也是難點，高考對三角函數(shù)部分知識的考查主要涵蓋誘導公式、同角三角函數(shù)關系、兩角和及二倍角的三角函數(shù)、三角函數(shù)的應用、三角函數(shù)的圖像及性質等.在2018年江蘇省高考數(shù)學試題中，單獨考查三角函數(shù)計算的問題僅有16題一題，其他關于三角函數(shù)的問題均是與其他知識點相結合，考查學生應用三角函數(shù)去解題的能力.

2.三角函數(shù)部分問題分析

三角函數(shù)的部分是很多學生學習的難點，在解答高考中三角函數(shù)問題時，要靈活應用三角函數(shù)的相關知識，對三角函數(shù)題目進行靈活轉化，將不常見的三角函數(shù)問題，轉變成常見的三角函數(shù)問題.

例1 （2018年江蘇省高考數(shù)學16題）已知α和β均為銳角

（1）求cos2α的值；

（2）求tan（α-β）的值.

問題解析：（1）在求cos2α的值時，首先要根據同角三角函數(shù)的關系對原三角函數(shù)進行變形，從而求出cos2α，然后再利用二倍角的余弦公式求出結果.因為，進而得出，又因為sin2α+cos2α=1，進而得出

（2）利用二倍角正切公式求出tan2α，再利用兩角差正切公式求出tan（α-β）的值.已知α和β均為銳角，可以得知α+β的取值范圍為（0，π），又因為所以所以tan（α+β）=-所以tan（α-β）=tan［2α-（α+β）］=

例2 （2018年江蘇省高考數(shù)學17題）圖1所示的是一塊農田，它的邊界是由圓O的一段圓弧MPN（P為圓弧的中點）和MN構成，其中圓O的半徑為40米，P到MN的距離為50米，現(xiàn)在要在農田上建立兩個溫室大棚，大棚Ⅰ內的地塊形狀為矩形ABCD，大棚Ⅱ內的地塊形狀為三角形DCP，要求A、B均在線段MN上，C、D均在圓弧上，OC與MN所成夾角為θ.

圖1

圖2

（1）用θ分別表示出矩形ABCD和三角形DCP的面積，并確定出sinθ的取值范圍.

（2）如果在大棚Ⅰ中種植甲種蔬菜，在大棚Ⅱ中種植乙種蔬菜，甲、乙兩種蔬菜的單位面積產值之比為4∶3，求θ取什么值，能夠使得甲、乙兩種蔬菜的年總產值最大.

問題解析：這道題主要是考查學生三角函數(shù)的應用、用導數(shù)求最值等基礎知識，同時考查學生利用所學數(shù)學知識解決實際問題的能力.在本道題的第一問中，首先要根據給定的已知條件來求出矩形的長和寬、三角形的底和高，然后根據矩形面積公式和三角形面積公式列出相關的關系式，最后結合生活實際，限定sinθ的取值范圍.具體過程如下：

（1）連接PO，使其延長線交MN于點H，則PH⊥MN，OH=10.過O點作OE⊥BC交BC于點E，那么OE∥MN，則∠COE=θ，OE=40cosθ，EC=40sinθ，那么矩形ABCD的面積=2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），三角形CDP的面積sinθcosθ）.過點N作GN垂直MN，交圓弧于點G，交OE的延長線于點K，那么GK=KN=10，令∠GOK=θ0，那么sinθ0=當才能夠滿足條件中矩形ABCD的要求，sinθ的取值范圍為

（2）根據已知條件甲、乙兩種蔬菜的單位面積產值之比為4 ∶3，設甲單位面積年產值為4k，乙單位面積年產值為3k，那么甲、乙兩種蔬菜年總產值為4k×800·（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ-sinθcosθ）=8000k·，設f（θ）=sinθcosθ+cosθ，θ∈，那么f ′（θ）=cos2θ·sin2θ·sinθ=-（2sin2θ+sinθ-1）=-（2sinθ-1）·（sinθ+1）.令f ′（θ）=0，則，當θ∈時，f ′（θ）＞0，f（θ）是增函數(shù)；當時，f′（θ）＜0，f（θ）是減函數(shù).當時，f（θ）取最大值，因此，當時，能夠使得甲、乙兩種蔬菜的年總產值最大.

3.三角函數(shù)部分問題小結

對于高考數(shù)學中三角函數(shù)類問題，考生需要認真審題，明白題目要考查的主要內容，不要盲目的分析.要靈活運用三角函數(shù)的性質和圖像，對需要變形的函數(shù)進行轉換，對那些不需要轉換的三角函數(shù)問題，在解題的時候要有依據，可以應用導數(shù)、數(shù)形結合等思想方法，切不可想當然.

二、2018年高考數(shù)學立體幾何部分問題分析

1.立體幾何部分考題概述

立體幾何問題是高考數(shù)學的熱門考點，它幾乎涉及了高考數(shù)學的所有題型，是每年高考數(shù)學的必考內容，也是學生必須要拿下的題型.從2018年江蘇省高考數(shù)學試卷來看，立體幾何部分的題目主要有第10題、第15題、第22題，占據分值為29分，可謂是具有舉足輕重的地位.從對學生知識的考查來看，主要涉及對幾何體的理解、對不同幾何體隱含條件的理解與應用、直線與直線、直線與平面及平面與平面的位置關系、空間向量、異面直線所成角和線面角等知識.

2.立體幾何部分問題分析

對于立體幾何部分問題，學生具有較強的空間想象能力是解題的基礎，要能夠準確地把握目標圖形的特點，尋找圖形中的隱含條件，結合其他的數(shù)學知識完成解答.

圖3

例3 （2018年江蘇省高考數(shù)學10題）如圖3所示，正方體的棱長為2，那么以所有面中點為頂點的多面體的體積是多少？

問題解析：解決這一問題的關鍵是能夠準確把握題目中幾何體的結構特征，對于那些不規(guī)則立體幾何圖形，能夠利用割補法將它們轉變?yōu)榫邆溆嬎愎降膸缀螆D形，最終完成求解.該題中的幾何圖形就可以看成是兩個全等的正四棱錐組成的幾何體，先求出其中一個正四棱錐的體積，然后就知道這個多面體的體積，從而可以順利完成求解.

3.立體幾何部分問題小結

立體幾何部分的問題相對較為簡單，是學生必須要拿分的問題.在解決這類問題的時候，要充分利用立體幾何的性質、概念、定義去尋找解題的思路和方法.當涉及空間向量的問題時，要先把幾何問題轉化為向量問題，通過向量運算后，再將向量問題轉化為幾何問題，以此完成求解.對于涉及空間直角坐標系的問題，首先要建立空間直角坐標系，列出各點的坐標，然后借助向量坐標和向量的相關知識來完成求解.