在變形與觀察中聯(lián)系通性通法
——對一類壓軸試題的教學思考

湖北省十堰東風高級中學 黃祥兵

湖北省十堰市教育科學研究院 程世平

數(shù)學教學離不開解題，解題教學是數(shù)學教學的重要組成部分，提高學生的解題能力也是提高學生數(shù)學核心素養(yǎng)的重要途徑.各種考試的壓軸試題通常設計的思維層次較高，運算也較復雜，如何使學生在壓軸試題的解題上有所突破，如何使學生在解壓軸題時能有章可循，是我們在習題教學中需要重點解決的問題.下面就一類壓軸題談談如何通過變形與觀察把復雜的數(shù)學問題與我們所熟知的通性通法有機地結(jié)合起來，讓學生在變中求進、進中求通，用常規(guī)方法解決高難度的數(shù)學問題.

例1 （高三五月聯(lián)考題）已知函數(shù)f（x）=（ex-1）（xb），F(xiàn)（x）=x3+mx2+nx-2，若曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程是y=（e-1）（x-1），不等式F′（x）+3＜0的解集為非空集合其中e為自然對數(shù)的底數(shù).

（Ⅰ）求f（x）的解析式，并用a表示m，n；

（Ⅱ）若對任意x≥0，不等式2f′（x）≥F（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

解法一：（Ⅰ）略.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F（x）=x3-2ax2+（a2-3）x-2，由f′（x）=xex-1得2f′（x）≥F（x）?x［2ex-（x-a）2+3］≥0，由非空集合得a＜0.

令g（x）=2ex-（x-a）2+3，則g′（x）=2（ex-x+a），又令h（x）=2（ex-x+a），則有h′（x）=2（ex-1）≥0，所以h（x）在［0，+∞）上為增函數(shù)，且h（x）min=h（0）=2（a+1）.

①當-1≤a＜0時，h（0）≥0，g′（x）≥0恒成立，即g（x）在［0，+∞）上為增函數(shù)，則有g（x）≥g（0）=5-a2≥0，得，結(jié)合-1≤a＜0得-1≤a＜0.

圖1

②當a＜-1時，則?x0＞0，使h（x0）=0且x∈（0，x0）時，h（x）＜0，即g′（x）＜0，即g（x）在（0，x0）上單調(diào)遞減；x∈（x0，+∞）時，h（x）＞0，即g′（x）＞0，即g（x）在（x0，+∞）上單調(diào)遞增，所以g（x）min=g（x0）.所以只需滿足g（x0）=2ex0-（x0-a）2+3≥0.又h（x0）=2（ex0-x0+a）=0，從而2ex0-（ex0）2+3≥0，解得0＜x0≤ln3，由ex0-x0+a=0?a=x0-ex0，令M（x）=x-ex，0＜x≤ln3，M′（x）=1-ex＜0，所以M（x）在（0，ln3］上單調(diào)遞減，則M（ln3）≤M（x）＜M（0），即ln3-3≤M（x）＜-1，故ln3-3≤a＜-1.

由①②可知a的取值范圍為［ln3-3，0）.

解法分析：（1）本解法用到了分類討論的數(shù)學思想，邏輯清晰、層次清楚，但整個過程對學生的綜合能力要求較高，在分類討論的基礎上利用了二次求導和整體代換.

（2）分類討論凸顯了思維的嚴謹性，但很容易出錯，在利用導數(shù)解決問題的過程中，涉及選擇新變量，構(gòu)造新函數(shù)，再以導數(shù)為工具求a的取值范圍.

（3）整個討論圍繞著求函數(shù)g（x）=2ex-（x-a）2+3的最小值.

圖2

①當a+3＜0，即a＜-3時，x∈［0，+∞）時，φ′（x）≤0，函數(shù)φ（x）在［0，+∞）上為減函數(shù)，

所以φ（x）max=φ（0）=，解得與a＜-3矛盾，此時a∈?；

②當a+3≥0，即a≥-3時，x∈［0，a+3］時，φ′（x）≥0，函數(shù)φ（x）在［0，a+3］上為增函數(shù)，x∈［a+3，+∞）時，φ′（x）≤0，函數(shù)φ（x）在［a+3，+∞）上為減函數(shù)，所以φ（x）max=φ（a+3）≤2，解得ln3-3≤a＜0滿足a≥-3，即ln3-3≤a＜0.

由①②可知a的取值范圍為［ln3-3，0）.

（2）模式很重要，解題中若出現(xiàn)f′（x）+f（x）自然會聯(lián)想到ex·f（x）；若出現(xiàn)f′（x）-f（x）自然會聯(lián)想到；若出現(xiàn)xf′（x）+f（x）自然會聯(lián)想到xf（x）；若出現(xiàn)xf′（x）-f（x）自然會聯(lián)想到等.

（3）方法很重要，解題中若出現(xiàn)恒成立的問題，自然會結(jié)合變量分離，只是怎樣分離變量，本題中就是變形成的形式來進行類似于變量的分離，本解法就是通過變形來聯(lián)系通性通法.

例2 （2019年全國卷）已知函數(shù)f（x）=sinx-ln（1+x），f ′（x）為f（x）的導數(shù).證明：

圖3

（Ⅱ）f（x）有且僅有2個零點.

證明：（Ⅰ）設g（x）=f′（x），

（Ⅱ）f（x）的定義域為（-1，+∞）.

①當x∈（-1，0］時，由（Ⅰ）知，f ′（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增，而f ′（0）=0，所以當x∈（-1，0）時，f ′（x）＜0.故f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞減，又f（0）=0，從而x=0是f（x）在（-1，0］的唯一零點.

④當x∈（π，+∞）時，ln（x+1）＞1，所以f（x）＜0，從而f（x）在（π，+∞）上沒有零點.綜上所述，f（x）有且僅有2個零點.

圖4

解法分析：（1）本題為2019年全國卷Ⅰ的第20題，該題設計新穎，考查學生靈活利用函數(shù)導數(shù)知識解決問題的能力.

（2）第二問分類討論，情況較多，標準要求清晰，難度較大，分四種情況是根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想方法對問題的嚴謹分析推理，具體的分析過程是：在同一坐標系內(nèi)作出h（x）=sinx和k（x）=ln（x+1）的簡圖，（0，0）是兩函數(shù)的一個交點，且k（e-1）=1，那么若f（x）有且僅有2個零點，則意味著f（x）在x∈（-1，0），x∈上沒有零點，x∈時f（x）有一個零點，這樣的分析就是我們分四類討論的依據(jù).

（3）基于以上結(jié)合圖形的分析，我們證明問題的步驟才會清晰明了.

一道好的數(shù)學試題一定會強化通性通法，淡化特殊技巧，并且不偏不怪，考查學生思維的靈活性和對數(shù)學知識和方法的熟練應用，以上例1是衡水中學的5月聯(lián)考題，解法一是常規(guī)解法，分類討論求函數(shù)的最小值，然后研究新函數(shù)，求a的取值范圍；解法二是我們重點強調(diào)的，通過變形與觀察轉(zhuǎn)化成求的最小值問題，而是我們需要重點掌握的函數(shù)模型，它的導數(shù)與0的大小關系通?？梢赞D(zhuǎn)化為多項式函數(shù)與0的大小關系，而多項式函數(shù)是我們所熟知的函數(shù)，那么這一復雜的數(shù)學問題就轉(zhuǎn)化為了我們熟知的函數(shù)模型，數(shù)學中很多與ex有關的問題都可以這樣去轉(zhuǎn)化；例2是2019年的高考試題，學生普遍覺得很難，難在不知道零點到底在哪里？若學生有意識地把零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點問題，通過分析可順利地把區(qū)間分為四段，每一段上的研究就是常規(guī)的用導數(shù)研究函數(shù).

壓軸題是拉開差距、區(qū)分學生層次的試題，題目千變?nèi)f化，但不是不能應對，我們需要做的就是加強對各類問題的歸納與提煉，整合出不同的通法模型，具體解題時，學生需要通過變形與觀察聯(lián)系平時所研究的通法模型，因此，我們平時的教學要注重通性通法的教學，以及學生觀察與轉(zhuǎn)化能力的培養(yǎng)，提高學生的數(shù)學素養(yǎng)，讓學生在應對復雜的數(shù)學問題時有章可循.F