大數(shù)據(jù)平臺下多題歸一思想的高三數(shù)學(xué)微專題復(fù)習(xí)*
——試卷講評課《圓錐曲線的離心率問題》教學(xué)設(shè)計

廣西柳州市第二中學(xué) 簡 璐

一、選題背景

2018年8月以來，我校高三年級數(shù)學(xué)組開始使用江西南昌教育風(fēng)向標(biāo)公司推出的知心慧學(xué)提分寶（以下簡稱“提分寶”）.在最初的使用階段，學(xué)生每周進(jìn)行一次周測，在大數(shù)據(jù)技術(shù)的支撐下提分寶針對每個學(xué)生的錯題推送兩個變式題，皆符合學(xué)生當(dāng)前的能力層級，科學(xué)地實(shí)現(xiàn)分層，效果良好.使用中后期，也伴隨高考備考復(fù)習(xí)進(jìn)入二輪復(fù)習(xí)階段，筆者在專題復(fù)習(xí)與精準(zhǔn)教學(xué)的結(jié)合方面做了一些嘗試，即筆者依據(jù)大數(shù)據(jù)平臺的數(shù)據(jù)分析研究設(shè)計試卷講評課，將微專題復(fù)習(xí)與試卷講評有機(jī)結(jié)合.既明確試卷講評課的任務(wù)，又優(yōu)化微專題復(fù)習(xí)的效果；既留出足夠的認(rèn)知空間給學(xué)生“悟”，又體現(xiàn)了教師的主導(dǎo)作用；既在課堂上實(shí)現(xiàn)“一題多解”，又做到“多題歸一”.筆者認(rèn)為“試卷講評+微專題復(fù)習(xí)”的模式符合高三二輪復(fù)習(xí)階段的迫切需求，一方面，解決了學(xué)生普遍存在的問題，針對性強(qiáng)；另一方面，教師通過微專題復(fù)習(xí)，突出了教學(xué)的重難點(diǎn)，將教師對于考綱、考點(diǎn)、考題的研究轉(zhuǎn)化為具體的試題，可操作性強(qiáng)；再通過多種解法的呈現(xiàn)，讓學(xué)生通過對比、轉(zhuǎn)化、歸納等方法領(lǐng)悟?qū)W科知識的本質(zhì)，從而在今后遇到此類問題時，思維清晰，邏輯嚴(yán)密，提高答題正確率.

二、課前準(zhǔn)備

上課前一天，學(xué)生自主用40分鐘做了一份微專題作業(yè)：圓錐曲線的離心率問題專題小測.題量是6個選擇題+4個填空題；分值為100分，每題10分；內(nèi)容是橢圓與雙曲線的離心率問題，考查兩曲線的定義、幾何性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合的思想、方程的思想、函數(shù)與不等式結(jié)合解決范圍問題.教師全批全改.大數(shù)據(jù)平臺提供的數(shù)據(jù)分析如下：（1）班級學(xué)生人數(shù)：55人，成績是3個滿分，5個90分；（2）具體列出大幅進(jìn)步、大幅退步的5位學(xué)生；（3）各題錯誤率；（4）知識點(diǎn)掌握情況的列表.教師通過大數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)橢圓和雙曲線的定義和幾何性質(zhì)掌握得較好；但問題涉及比較復(fù)雜的幾何圖形關(guān)系、多條曲線的關(guān)聯(lián)等，正確率下降（這是本節(jié)試卷講評課主要突破的內(nèi)容）；數(shù)量關(guān)系涉及不等式關(guān)系或函數(shù)最值問題時，正確率最低，不作為當(dāng)前的教學(xué)重點(diǎn).

為提高試卷講評課的課堂效率，突破重難點(diǎn)，制作了導(dǎo)學(xué)案.在PPT中預(yù)先展示了許多學(xué)生試卷上的答題過程，以備課堂討論之用.

下面以試卷講評課“圓錐曲線的離心率問題”的教學(xué)設(shè)計為例，探討大數(shù)據(jù)平臺下多題歸一思想的高三微專題復(fù)習(xí).

三、教學(xué)設(shè)計

（一）內(nèi)容解讀

《圓錐曲線的離心率問題》隸屬高中數(shù)學(xué)八大板塊中的“平面解析幾何”板塊，該板塊學(xué)習(xí)了直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線五種曲線，分別從曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、曲線的幾何性質(zhì)方面系統(tǒng)研究，板塊內(nèi)的知識融合體現(xiàn)在：①直線與圓，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；②除直線外的兩種曲線相交、相切的問題；③在復(fù)雜的曲線位置關(guān)系中特殊幾何性質(zhì)的考查.例如：漸近線、離心率.該板塊是高中數(shù)學(xué)的集大成者，包含了數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸四大數(shù)學(xué)思想，融通了函數(shù)、三角、向量、平面幾何、平面解析幾何的相關(guān)內(nèi)容，試題具有很高的邏輯性、綜合性、創(chuàng)新性.《圓錐曲線的離心率問題》是其中的一個核心考點(diǎn)，它有利于培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，多出現(xiàn)在小題，具有基礎(chǔ)性好、靈活性強(qiáng)、思維發(fā)散性廣的特點(diǎn).伴隨高考改革，這部分試題的難度近年來有所下降，成為學(xué)生取得理想成績的必備復(fù)習(xí)內(nèi)容.

（二）教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能

了解離心率（橢圓、雙曲線）問題的基本解法是找到橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，并聯(lián)合a，b，c自身的勾股性質(zhì)，得到a，b，c三個元中兩個元的齊次式（或齊次不等式），從而得到離心率e的方程（或不等式）.

2.過程與方法

（1）通過直觀想象，利用三角形中的邊角關(guān)系、平面幾何相關(guān)的性質(zhì)定理等，在尋求等量關(guān)系時可以減少計算量，體現(xiàn)高考“多一點(diǎn)想，少一點(diǎn)算”的考查原則.

（2）通過一題多解，體會代數(shù)法、幾何法的特點(diǎn)和優(yōu)勢，領(lǐng)悟通性通法在解題中的重要作用.

（3）通過多題歸一，歸納總結(jié)此類問題的解題流程，體會高三微專題復(fù)習(xí)的要領(lǐng)和學(xué)習(xí)方法，落實(shí)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)過程.

3.情感態(tài)度與價值觀

通過學(xué)生與學(xué)生的交流、多種方法思維的碰撞、教師的適度引導(dǎo)，認(rèn)識圓錐曲線離心率問題的本質(zhì)，培養(yǎng)高層次數(shù)學(xué)思維，通過轉(zhuǎn)化與化歸，領(lǐng)悟各變量間的相互關(guān)系，抓住解決問題的本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)多題歸一.

（三）教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：用通性通法（方程思想、數(shù)形結(jié)合思想）求解橢圓或雙曲線的離心率，在問題有多種解決方案時，選擇簡便的途徑，并且歸納出此類問題的解題流程.

難點(diǎn)：求解橢圓或雙曲線的離心率的范圍、最值問題.

（四）教學(xué)過程設(shè)計

1.考試情況反饋

通過大數(shù)據(jù)統(tǒng)計，展示幾組數(shù)據(jù)：

（1）表揚(yáng)班級的前5名，大幅進(jìn)步的5名同學(xué).

（2）各題錯誤率（表1），根據(jù)“最近發(fā)展區(qū)”原理（錯誤率40%～70%），確定試卷講評課講3個題，即第3，5，6題.

（3）展示知識點(diǎn)掌握情況，分析發(fā)現(xiàn)：當(dāng)離心率問題涉及比較復(fù)雜的幾何圖形關(guān)系或多條曲線關(guān)聯(lián)時，問題解決的錯誤率升高了.因此，明確本節(jié)課的主要任務(wù).

（4）展示兩份優(yōu)秀試卷.優(yōu)秀的依據(jù)是正確率高，規(guī)范，試卷上有解題的思路和部分過程，易于糾錯.

2.綜述知識與例題探究

問題1：通過課前專題小測，你能體會老師編寫微專題的意圖嗎？

設(shè)計意圖：高三數(shù)學(xué)微專題復(fù)習(xí)發(fā)生在一輪各章節(jié)知識點(diǎn)系統(tǒng)復(fù)習(xí)之后，其目的是針對學(xué)生目前存在的主要錯誤，糾正認(rèn)知偏差，夯實(shí)基礎(chǔ)，明晰概念本質(zhì)，強(qiáng)化通性通法.因此，首先引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)現(xiàn)有知識網(wǎng)絡(luò)，即學(xué)生須明白，哪些內(nèi)容是已經(jīng)掌握的.

課堂反饋：學(xué)生體會解決圓錐曲線的離心率問題，方程思想很重要.由圓錐曲線的定義和幾何性質(zhì)等，得到關(guān)于a，c的關(guān)系，從而得到e的方程或不等式，求解e的值或范圍.顯然，基本數(shù)學(xué)思想和通性通法已經(jīng)明確.

問題2：（前測3）F1，F(xiàn)2是雙曲線0）的左、右焦點(diǎn)，過F1的直線l與C的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，若△ABF2為等邊三角形，則雙曲線C的離心率為（ ）.

設(shè)計意圖：當(dāng)問題涉及的“量”增加時，學(xué)生將面臨三個困難：①正確畫圖，將數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，準(zhǔn)確地翻譯題目；②在眾多變量的相互關(guān)系中尋求穩(wěn)定不變的關(guān)系；③將關(guān)系用盡量少的變量來表示.這三個困難只要有一個環(huán)節(jié)出錯，都將導(dǎo)致解題錯誤.試題很好地體現(xiàn)了直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的考查，同時也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用.這也是學(xué)生差異產(chǎn)生的源頭所在.

課堂反饋：

（1）前測3學(xué)生A講解他的解答過程（在電子白板展示其試卷）

解：依題意設(shè)｜BF2｜=m，則｜AB｜=m，｜AF1｜=｜BF1｜-｜AB｜=m+2a-m=2a，知｜AF1｜=2a，則｜AF2｜=4a，｜F1F2｜=2c.所 以所以

故選項(xiàng)C正確.

（2）前測5學(xué)生B講解他的解答過程（在電子白板展示其試卷）

解：依題意，由｜OE｜=2｜ON｜，可設(shè)N（0，1），E（0，-2），所以由A（-a，0）的方程為由B（a，0），N（0，1）的方程為兩直線交于點(diǎn)M，得x=-3a.因?yàn)辄c(diǎn)M在直線PF上，所以-3a=-c?e=3.

前測5學(xué)生C講解他的解答過程（在電子白板展示其試卷）

故選項(xiàng)A正確.

課堂評價：三個同學(xué)的共同優(yōu)點(diǎn)是圖形美觀，解題步驟簡潔清楚，數(shù)學(xué)表述重點(diǎn)突出、邏輯性強(qiáng).解題中靈活應(yīng)用了定值模型、三角形的余弦定理、直線的方程、平面幾何的相似關(guān)系，體現(xiàn)了綜合應(yīng)用知識的能力.學(xué)生A運(yùn)用雙曲線的定義巧妙選擇變量；學(xué)生B運(yùn)用特殊值，結(jié)合曲線的方程（解析幾何通法），用代數(shù)方法解決幾何問題；學(xué)生C運(yùn)用直觀想象發(fā)現(xiàn)相似的特性，用比值解決問題，計算量大大減少.

3.梳理總結(jié)

筆者請同學(xué)們由本節(jié)課的幾個題總結(jié)出關(guān)于圓錐曲線的離心率問題的解題流程.學(xué)生能畫出簡單的思維導(dǎo)圖，解題流程如下：

審題，作圖，直觀想象→有無常見的背景或模型→尋找?guī)缀翁卣髋c性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化→設(shè)點(diǎn)設(shè)線，用解析法解決問題.

從數(shù)學(xué)素養(yǎng)養(yǎng)成的角度，上述流程分別對應(yīng)著：直觀想象，數(shù)學(xué)建模，邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算.

四、教學(xué)反思

（一）多題歸一思想的微專題復(fù)習(xí)創(chuàng)造試卷講評課的高效模式

高三復(fù)習(xí)備考階段，學(xué)生和教師都要面臨大量的題目，有許多同類型的題.有知識點(diǎn)不同，但思想方法一樣的題；有所屬知識板塊不同，但考查的核心素養(yǎng)一致的題……為了提高學(xué)生的復(fù)習(xí)效果，增強(qiáng)復(fù)習(xí)的信心，教師一頭扎進(jìn)題海，摸索一番之后，多題歸一思想的微專題復(fù)習(xí)最終將許多的題揉成一條線，線頭一觸動，一串題全解決，而線頭就是學(xué)科知識的本質(zhì).它造就了大數(shù)據(jù)平臺下的新型試卷講評課，筆者將它命名為“微專題復(fù)習(xí)+試卷講評模式”.

這樣的試卷講評課避免了就題講題，目標(biāo)不清晰，任務(wù)不明確，重復(fù)低效的狀況，同時在大數(shù)據(jù)平臺數(shù)據(jù)分析的引導(dǎo)下，它是高效、針對性強(qiáng)、目標(biāo)清晰的一堂課，學(xué)生通過“課前、課中、課后”的一條龍引領(lǐng)啟發(fā)，優(yōu)化復(fù)習(xí)方法，感悟?qū)W科精髓，最終學(xué)會學(xué)習(xí)，學(xué)會借數(shù)學(xué)思想解決問題，學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光看待世界.

（二）多題歸一思想的微專題復(fù)習(xí)創(chuàng)造學(xué)生大放光彩的課堂

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，學(xué)生的“悟”是學(xué)習(xí)的最高境界.試卷講評課的前提是學(xué)生對大部分題目都有自己的解法，而數(shù)學(xué)題大多可以一題多解，特別是到了二輪復(fù)習(xí)階段更是如此，所以講評課堂留出大塊的時間讓學(xué)生講、討論、表述、反復(fù)推演、梳理、總結(jié).這樣的課堂極大地培養(yǎng)了學(xué)生的自信心、思辨能力、表達(dá)能力.許多學(xué)生為了能在課上說自己的解題方法，課下加倍做功課，例如：反復(fù)推理解題的嚴(yán)謹(jǐn)性；慎重思考運(yùn)算的合理性；積極尋求其他方法的巧妙性，這難道不是學(xué)好數(shù)學(xué)的催化劑嗎？更進(jìn)一步，學(xué)生還學(xué)會自己總結(jié)一些小專題，與同學(xué)老師分享.多題歸一思想的微專題復(fù)習(xí)教會學(xué)生尋找規(guī)律，尋同，求異，學(xué)會變通轉(zhuǎn)化，既開拓思路又匯聚要領(lǐng).它是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育的肥沃土壤.

當(dāng)然，這樣的課堂對教師的要求很高.看似一堂課，考驗(yàn)十年功.教師的課前選題，課堂拓展，課后強(qiáng)化要做到“高效+精準(zhǔn)+全面”，需要教師學(xué)上一桶，方能舀出一勺.

（三）大數(shù)據(jù)精準(zhǔn)教學(xué)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)學(xué)生的個性化學(xué)習(xí)，關(guān)注每一個學(xué)生

考試后，大數(shù)據(jù)平臺給學(xué)生推送“提分寶”試題.教學(xué)中，筆者給學(xué)生留出專門的時間完成，并經(jīng)常檢查，開展個別輔導(dǎo).一定不要讓針對性很強(qiáng)的作業(yè)被其他形式的作業(yè)掩蓋，導(dǎo)致不理解的知識點(diǎn)還是吃不透，某一些計算還是同樣出錯，思維需要完備的環(huán)節(jié)始終不完整……這些都是導(dǎo)致丟分的直接原因.大數(shù)據(jù)平臺對學(xué)生所處層級科學(xué)定位，準(zhǔn)確推題，教師引領(lǐng)，真正改變當(dāng)前落后的教育狀況：學(xué)生毫無選擇，身心疲憊，進(jìn)展緩慢；老師疲于奔命，抱怨生源下降，教多少遍都會不了.當(dāng)然，數(shù)學(xué)題的知識點(diǎn)多，結(jié)合點(diǎn)多，方法靈活多變，所以學(xué)生應(yīng)該對學(xué)習(xí)中的困難有充分的準(zhǔn)備，踏實(shí)學(xué)習(xí)；教師應(yīng)該以教研引領(lǐng)研究考綱考題，更新觀念學(xué)習(xí)新技術(shù)，立足知識本源，揭示學(xué)科本質(zhì)，在新興科技創(chuàng)造無限可能性的今天，讓學(xué)習(xí)事半功倍，關(guān)注學(xué)生的持續(xù)發(fā)展.