培養(yǎng)高中生思維品質(zhì)的案例與思考*

江蘇省天一中學(xué) 潘 干

思維能力與品質(zhì)是智力發(fā)展的核心和支柱，數(shù)學(xué)知識在人的發(fā)展中或許會被遺忘，但數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中形成的思維品質(zhì)卻始終會對其一生產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響.高中學(xué)生思維的靈活性、敏捷性、深刻性、廣闊性、批判性、獨(dú)創(chuàng)性會在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得飛速發(fā)展，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)著眼于將學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的發(fā)展落實(shí)到有意義的數(shù)學(xué)思考、教材鉆研和教法探究.

一、思維靈活性的培養(yǎng)

視野開闊并能多維發(fā)散是思維靈活性的具體體現(xiàn)，一般來講，一題多解、一題多變是培養(yǎng)學(xué)生思維靈活性的常用手段.

1.一題多解

習(xí)題課教學(xué)是發(fā)展學(xué)生思維多維發(fā)展的有利平臺，教師應(yīng)對習(xí)題進(jìn)行仔細(xì)的斟酌并引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識提出不同的解題構(gòu)想，引導(dǎo)學(xué)生對知識之間的縱橫聯(lián)系進(jìn)行梳理與構(gòu)建并挖掘出更加簡捷、巧妙的解法.

例1 已知

請?zhí)接懣赡墚a(chǎn)生的結(jié)論？

探索1：①2+②2可得兩角差的余弦公式）

探索2：①×②，再和差化積得sin（α+β）［cos（α-β）+

探索3：①2-②2，再和差化積得2cos（α+β）［cos（α-β）

探索5：由sin2α+cos2α=1消去α可得消去β可得

開放題的引入能引導(dǎo)學(xué)生對題目條件、條件之間的關(guān)系、結(jié)論均展開不同深度與層次的思考，幫助學(xué)生在綜合變換解題手段中提升思維的靈活性.

2.一題多變

確定問題結(jié)構(gòu)并對已知條件進(jìn)行變形以培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性.

由等差數(shù)列的通項公式an=a1+（n-1）d，知道其中三個變量即可求得第四個變量.如“{an}是等差數(shù)列，a1=1，d=-2，則常數(shù)-9是第幾項？”給予充分的空間并引導(dǎo)學(xué)生自主編題，學(xué)生只有全面掌握所涉及的知識才能在變式編題中更顯游刃有余.隨心所欲，胡編亂造顯然會鬧出笑話.一旦學(xué)生將上題改成“a1=1，d=-3，則常數(shù)-9是第幾項？”求得自然是不對的.給予學(xué)生足夠的空間并嘗試自主變式編題能使學(xué)生更好地理解n∈N*，以及等差數(shù)列及其求和公式的知識，思維也更靈活.

二、思維深刻性的培養(yǎng)

善于從事物現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)本質(zhì)并揭示事物關(guān)系與聯(lián)系中的規(guī)律即為思維深刻性的體現(xiàn).

例2 方程sinx=lnx的解有（ ）個.

A.1 B.2 C.3 D.4

分析：利用解方程解題是學(xué)生的常規(guī)想法，但卻在此題上行不通.換角度思考：此題實(shí)質(zhì)上就是求方程組的公共解，利用數(shù)形結(jié)合的思想串聯(lián)知識并挖掘事物的本質(zhì)可使此題得解，發(fā)展了學(xué)生思維的深度.

三、思維廣闊性的培養(yǎng)

培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性就是要引導(dǎo)學(xué)生在充分分析題意的基礎(chǔ)上，調(diào)動、選擇相應(yīng)知識對問題展開全面的分析并尋求解題關(guān)鍵.

例3 已知某二次函數(shù)的對稱軸是直線x=-1，其圖像在y軸上的截距是2，在x軸上截得的線段長是4，求二次函數(shù)的解析式.

解法1：截距是2，因此選擇一般式方程y=ax2+bx+c（a≠0），有c=2，結(jié)合其他條件，列方程組即可解得a、b.

解法2：因?qū)ΨQ軸是直線x=-1，選擇頂點(diǎn)式方程y=a（x-m）2+k（a≠0），有m=-1，結(jié)合其他條件，列方程組即可解得a、k.

另外，根據(jù)圖像的對稱性可得，該函數(shù)與x軸相交于點(diǎn)（1，0）、（-3，0）.

解法3：根據(jù)截距是2，即過（0，2）、（1，0）、（-3，0）三點(diǎn)，選擇一般式方程y=ax2+bx+c（a≠0），代入點(diǎn)的坐標(biāo)，列方程組即可求得a、b、c的值.

解法4：聯(lián)想一元二次方程、二次函數(shù)的關(guān)系并選擇兩根式y(tǒng)=a（x-x1）（x-x2）（a≠0），則x1=-3，x2=1.根據(jù)截距2，求得a的值.

四、思維敏捷性的培養(yǎng)

具備快速而準(zhǔn)確的思維品質(zhì)能使運(yùn)算與推理過程更為簡捷.

例4 已知某平行四邊形的相鄰兩邊邊長是a和b，繞a邊旋轉(zhuǎn)所得幾何體的體積是V1，繞b邊旋轉(zhuǎn)所得幾何體的體積是V2，則V1∶V2=（ ）.

圖1

A.a ∶b B.b ∶a C.a2∶b2D.b2∶a2

分析：直接求解，如圖1，可得V1=πab2sin2θ，V2=πa2bsin2θ.

但若將此平行四邊形視作矩形來解題，解題則會更加簡捷.

五、思維獨(dú)創(chuàng)性的培養(yǎng)

新穎、善于應(yīng)變的獨(dú)創(chuàng)性思維能幫助學(xué)生獲得富有個性的見解，能使學(xué)生養(yǎng)成自覺質(zhì)疑、探索的意識.

例5 求三角式：sin210°+sin250°+sin10°sin50°的值.

解法2：令x=sin210°+sin250°+sin10°sin50°，y=cos210°+cos250°+cos10°cos50°，則x+y=2+cos40°，x-y=-cos40°-兩式相加得，則原式

解法3：作直徑為1的圓，構(gòu)造角度為10°、50°、120°的圓內(nèi)接三角形，則sin10°、sin50°、sin120°能構(gòu)成三角形的三邊長.

逆用余弦定理：sin210°+sin250°-2sin10°sin50°·cos120°=sin2120°，原式

評注：解法1是常規(guī)的，解法2、3則在構(gòu)思上更顯巧妙和獨(dú)特，教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)給予學(xué)生充分的探索空間以促進(jìn)其思維與個性的發(fā)展.

六、思維批判性的培養(yǎng)

不盲從、不輕信并能對思維活動的各環(huán)節(jié)進(jìn)行獨(dú)立分析、調(diào)整與校正，是學(xué)生具備思維批判性的具體體現(xiàn).

分析：學(xué)生在解決這道典型中點(diǎn)弦題目時往往會想到點(diǎn)差法或韋達(dá)定理，求得直線方程y=2x-1，很多學(xué)生解題至此便以為結(jié)束了，但其實(shí)還需要驗(yàn)證判別式Δ才行，把直線方程代入雙曲線方程可得Δ=-8＜0，直線與雙曲線并不存在交點(diǎn).

教師在培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)的過程中，首先，注意嚴(yán)謹(jǐn)、科學(xué)的教學(xué)活動的設(shè)計與落實(shí)，充分發(fā)揮自身的主導(dǎo)作用并對學(xué)生始終心存期待，讓學(xué)生充分感受到教師的鼓舞與期待并為了目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)而努力，教師對學(xué)生所持有的期待，以及落實(shí)的科學(xué)訓(xùn)練方法能使學(xué)生的大腦發(fā)揮巨大的潛能.其次，教師還應(yīng)隨時把握學(xué)生的思維動態(tài)并注意適時激疑，使學(xué)生能夠產(chǎn)生更加積極的思維并對問題展開更深層次的思考與探究.再次，教師應(yīng)善于引導(dǎo)學(xué)生在各種問題與結(jié)論中揭示規(guī)律，使學(xué)生能夠在不斷的思考、探索、辨析與總結(jié)中獲得能力的提升.

總之，數(shù)學(xué)教師應(yīng)該認(rèn)識到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對鍛煉學(xué)生思維的巨大價值，有目的、有意識地設(shè)計教學(xué)活動并做到常抓不懈，從而使學(xué)生的思維品質(zhì)獲得全方面的發(fā)展.F