空間投影于高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用與思考

江蘇省海安市曲塘中學(xué) 徐遠(yuǎn)華

投影的價(jià)值眾所周知，人們利用投影算出了金字塔的高度及地球子午線的周長(zhǎng)等，現(xiàn)代社會(huì)對(duì)投影的利用更為廣泛，繪畫、繪制立體圖形、教學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域都用到了投影，投影在教學(xué)中所起到的作用極具獨(dú)特性.

一、凸顯幾何體的本質(zhì)并促成學(xué)生建立直觀認(rèn)知

投影的運(yùn)用能使幾何體的正面、背面、側(cè)面、底面獲得展示并因此為學(xué)生提供多方位的觀察與研究，學(xué)生在獲得全面認(rèn)知的過(guò)程中更容易了解幾何體的特征與性質(zhì)并進(jìn)行分析和思考.

不僅如此，運(yùn)用投影并根據(jù)教學(xué)需要對(duì)幾何體的關(guān)鍵或主要部分進(jìn)行凸顯展示，能使學(xué)生更好地突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)并因此獲得茅塞頓開的感受.比如，淡化次要部分并凸顯圖形上的關(guān)鍵點(diǎn)、線、面，使學(xué)生能夠在更為純粹的幾何圖形中抽象出關(guān)鍵部分，使學(xué)生更加清楚地認(rèn)識(shí)幾何體并因此把握?qǐng)D形及其本質(zhì)，使學(xué)生因此獲得由淺入深、由表及里、由粗到細(xì)的有效認(rèn)識(shí).

計(jì)算機(jī)的輔助作用在現(xiàn)代教育技術(shù)不斷發(fā)展的今天得到了充分的發(fā)揮，正投影的投影原理與三視圖的看圖方法在多媒體技術(shù)的支撐下得到了有機(jī)結(jié)合，聲音、圖像、動(dòng)畫、文字因此融為一體并將幾何體的結(jié)構(gòu)特征與性質(zhì)清晰地展現(xiàn)在學(xué)生面前.不僅如此，生動(dòng)的動(dòng)畫演示還能將幾何體三視圖的形成與發(fā)展直觀而清晰地展現(xiàn)出來(lái)，使學(xué)生能夠在一目了然的直觀影響中迅速抓住幾何體圖形的本質(zhì)特征，幾何體在學(xué)生頭腦中的表現(xiàn)也會(huì)因此變得清晰與豐富.

二、發(fā)展學(xué)生的想象能力與空間觀念

培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：（1）引導(dǎo)學(xué)生在空間幾何體和實(shí)物之間進(jìn)行想象與轉(zhuǎn)化，具體來(lái)說(shuō)就是幫助學(xué)生在具體實(shí)物中想象出幾何圖形，在幾何圖形中想象出實(shí)物形狀；（2）幫助學(xué)生根據(jù)幾何體的三視圖做出立體模型、畫出幾何圖形或反向轉(zhuǎn)化；（3）幫助學(xué)生學(xué)會(huì)從復(fù)雜圖形中分解、抽象出基本圖形并分析其中的基本元素和關(guān)系；（4）教會(huì)學(xué)生學(xué)會(huì)實(shí)物、幾何圖形運(yùn)動(dòng)與變化的表述；（5）使學(xué)生學(xué)會(huì)適當(dāng)描述物體間的位置關(guān)系；（6）教會(huì)學(xué)生運(yùn)用圖形形象描述問(wèn)題并直觀思考問(wèn)題.

投影實(shí)際上就是三維圖形在二維范疇內(nèi)的顯現(xiàn)，利用平面圖形表示空間圖形的這一行為實(shí)際上是一種“降維”策略.利用投影將物體的空間形象轉(zhuǎn)化成投影形象能使學(xué)生的思維在空間形象與投影形象之間更好地轉(zhuǎn)化.例如，圖1 所示是一個(gè)立體模型的形狀，利用投影展示圖1 的三視圖能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的空間想象能力并在頭腦中映射出其立體形狀.進(jìn)一步操作更好，比如借助AutoCAD 繪圖軟件勾畫出物體三個(gè)簡(jiǎn)單體的輪廓平面圖，再將其進(jìn)行拉伸并展現(xiàn)出立體形狀，教師的這一操作能使學(xué)生清晰地獲得從平面圖形想象出立體圖形的方法.在此基礎(chǔ)上，教師還可以將圖2 中的圖形進(jìn)行重新組合并以此發(fā)展學(xué)生的空間觀念.比如圖3 這一圖形就是把圖2 中的三個(gè)簡(jiǎn)單體重疊而獲得的，圖4 就是圖2 中的三個(gè)簡(jiǎn)單體做交運(yùn)算而獲得的，把圖4 去掉兩個(gè)不同直徑的圓柱體就又可以獲得圖1 所示的圖形.這些觀察與操作都是建立在幾何體和三視圖之間相互轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)上的，從實(shí)物想象圖形，再?gòu)膱D形想象實(shí)物，這之間的轉(zhuǎn)化能更好地開發(fā)學(xué)生的空間想象能力，并因此促成空間觀念的正確養(yǎng)成.

圖1

圖2

圖3

圖4

三、激發(fā)學(xué)生的自主探究與發(fā)現(xiàn)

教材中有以下一題：如圖5 是一三視圖輪廓的孔形樣板，你能找出一個(gè)塞子并使其能堵住樣板上的每個(gè)孔嗎？

從左向右對(duì)圖5 中的孔的投影進(jìn)行觀察可知，三個(gè)圖形分別是圓、“⊥”與正方形，想象塞子的俯視圖、主視圖、左視圖可以發(fā)現(xiàn)它們是相吻合的，因此可以找出如圖6 所示的塞子.

圖5

圖6

對(duì)投影的原理進(jìn)行有目的、有計(jì)劃的研究與思考并進(jìn)行直觀觀察，可以使觀察者在有條理、有層次的觀察中產(chǎn)生疑惑，在問(wèn)題的提出與思考中不斷增強(qiáng)感性認(rèn)知.引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行如此探究與發(fā)現(xiàn)能使其思維能力、觀察能力、空間想象能力獲得長(zhǎng)足進(jìn)步與發(fā)展.

四、積累投影知識(shí)

圖形直觀在空間解析幾何、高等幾何、微積分幾何、微積分、復(fù)變函數(shù)、群論等課程中都會(huì)得到充分的運(yùn)用，在平面上正確繪制立體圖形、利用投影在平面上呈現(xiàn)立體圖形、借助平面圖形想象空間圖形、在空間想象中研究立體圖形的性質(zhì)等行為都是學(xué)習(xí)立體圖形過(guò)程中的種種需要，積累投影知識(shí)的重要性及運(yùn)用投影的價(jià)值性由此凸顯，因此，教師一定要積累相當(dāng)多的投影知識(shí)并因此為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).比如下述理解投影運(yùn)用的實(shí)際案例.

例如，如圖7 所示，四邊形ABCD 和A′B′C′D′都是正方形，且AB∥A′B′，求證：AA′、BB′、CC′三線共點(diǎn).

圖7

如果運(yùn)用初等幾何方法對(duì)此題進(jìn)行證明，則必須先證明△ABC∽△A′B′C′，可得和BB′相交于點(diǎn)O），然后再根據(jù)與∠OBC=∠OB′C′進(jìn)一步證明△OBC∽△OB′C′，然后再根據(jù)△OBC∽△OB′C′得出∠BOC=∠B′OC′，由此可得AA′、BB′、CC′三線共點(diǎn).這一方法雖然也能令此題得證，不過(guò)證明過(guò)程顯然比較復(fù)雜.由此可見，積累一定的投影知識(shí)能夠幫助學(xué)生提升理論知識(shí)，利用更高的思維水平看待問(wèn)題并簡(jiǎn)化問(wèn)題的解決，使學(xué)生利用更為豐富的直觀材料解決問(wèn)題并對(duì)初等數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行更加深刻地理解.

五、投影變換思想的運(yùn)用

與社會(huì)生活、生產(chǎn)實(shí)際存在密切聯(lián)系的投影在醫(yī)學(xué)、工程設(shè)計(jì)、藝術(shù)、建筑和機(jī)械制圖等多個(gè)領(lǐng)域都得到了廣泛的運(yùn)用，掌握一定的投影知識(shí)對(duì)適應(yīng)社會(huì)生活是十分有必要的.

從思想方法的高度對(duì)問(wèn)題進(jìn)行理解或解釋并從解題的角度進(jìn)行思考與把握，是人們解決問(wèn)題時(shí)的一般思維和習(xí)慣，人們?cè)诮鉀Q問(wèn)題的一開始一般不會(huì)局限在具體的細(xì)節(jié)上.因?yàn)榻⒃诖髮用嫔系膯?wèn)題思考與把握才能令人們更好地把握局部，以及準(zhǔn)確的解題方向，只見樹木、不見森林的現(xiàn)象才會(huì)在問(wèn)題的把握與解決中得到杜絕.

運(yùn)用投影觀點(diǎn)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行把握是從大方面對(duì)問(wèn)題進(jìn)行的思考，這種變換的觀點(diǎn)在思考問(wèn)題中的運(yùn)用中一樣是重要的思想方法.

例如，如圖8 所示，已知⊙O1、⊙O2相切于點(diǎn)P，切線A1C1∥A2C2，B1C1∥B2C2，且A1C1⊥B1C1，求證：點(diǎn)P、C1、C2共線.

圖8

根據(jù)圖形的特點(diǎn)可以發(fā)現(xiàn)把點(diǎn)P 看成投影中心，⊙O1、⊙O2則是以點(diǎn)P為投影中心的位似圖形，則過(guò)某點(diǎn)的切線也因此變成了過(guò)其對(duì)應(yīng)點(diǎn)的切線，變換觀點(diǎn)地運(yùn)用和思考令問(wèn)題的解決異常清晰.

因?yàn)锽1C1∥B2C2，因此可以把B1、B2看成為一對(duì)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn).同理，A1、A2也是一對(duì)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn).

因此，B1C1和B2C2、A1C1和A2C2都是對(duì)應(yīng)切線.

由對(duì)應(yīng)直線的交點(diǎn)也必是對(duì)應(yīng)點(diǎn)這一性質(zhì)可知，C1、C2必然也是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，因此點(diǎn)P、C1、C2共線.

解決上述問(wèn)題就是充分利用了投影變換的思想，從一定高度對(duì)問(wèn)題實(shí)質(zhì)進(jìn)行認(rèn)識(shí)和理解，并跳過(guò)某些具體細(xì)節(jié)的解題辦法簡(jiǎn)捷而有效.F