基于經(jīng)驗，注重活動，挖掘本質(zhì)，落實素養(yǎng)*
——以“函數(shù)模型及其應(yīng)用”為例

南京航空航天大學(xué)附屬高級中學(xué) 吳 茹

南京航空航天大學(xué)附屬高級中學(xué) 孔德鵬

一、問題提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出：在學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程中，學(xué)生能發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力，以及情感態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn).對于高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，很多一線老師已經(jīng)從單純的理論學(xué)習(xí)階段上升到探索實踐階段，大家都在思考采取哪些有效的措施來提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)問題的解決是中學(xué)數(shù)學(xué)中極為重要的一個環(huán)節(jié)，其中數(shù)學(xué)問題既有純數(shù)學(xué)問題，又有與數(shù)學(xué)有關(guān)的實際問題，后者涉及一種重要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)——數(shù)學(xué)建模.如何把實際問題轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學(xué)問題，這是一種必要的數(shù)學(xué)素養(yǎng).本文以“函數(shù)模型及其應(yīng)用”為例，探討基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主題教學(xué)整體設(shè)計問題.

二、基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下的教學(xué)設(shè)計

（一）教材要素分析

1.對教學(xué)內(nèi)容的基本認(rèn)識

函數(shù)模型及其應(yīng)用是新課程標(biāo)準(zhǔn)必修課程系列主題二函數(shù)應(yīng)用的內(nèi)容，它是在學(xué)生學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)這三種函數(shù)模型的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步從實際問題抽象出來，利用已經(jīng)學(xué)過的函數(shù)模型來解決實際應(yīng)用題.同時，讓學(xué)生深入感受到函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界中自然規(guī)律的重要模型，進(jìn)一步幫助學(xué)生加深對函數(shù)模型的理解與認(rèn)識，循序漸進(jìn)、不斷深入，為后面研究其他數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用打下基礎(chǔ).

函數(shù)模型及其應(yīng)用是數(shù)學(xué)應(yīng)用于生活的重要體現(xiàn)，其思想價值在于用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維思考世界，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界.在解決問題的同時提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).函數(shù)模型及其應(yīng)用是提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的上好素材，所以設(shè)計好、上好這部分內(nèi)容有重要的理論與實踐價值.

2.學(xué)情分析

學(xué)生在高中以前積累了較豐富的解決應(yīng)用題的經(jīng)驗，特別是利用一次函數(shù)、二次函數(shù)等解決實際問題.在高中預(yù)備知識與函數(shù)主題的學(xué)習(xí)中，學(xué)生積累了豐富的基本活動經(jīng)驗，對如何研究函數(shù)及研究函數(shù)的哪些性質(zhì)有了進(jìn)一步的體會，這些為本節(jié)課繼續(xù)研究函數(shù)模型的應(yīng)用做了鋪墊.

3.教學(xué)重難點分析

函數(shù)模型及其應(yīng)用是高中課程中數(shù)學(xué)建模的第一課，為后續(xù)的學(xué)習(xí)起到了堅實的基礎(chǔ)地位作用.數(shù)學(xué)抽象建立函數(shù)模型既是本節(jié)課的重點也是本節(jié)課的難點.

（二）編制教學(xué)目標(biāo)設(shè)計

（1）經(jīng)過探究余額寶年收益問題，讓學(xué)生經(jīng)歷用數(shù)學(xué)解決實際問題的全過程，深化理解應(yīng)用題的解題過程與方法，提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)；

（2）通過利用函數(shù)構(gòu)建模型，解決大量的實際生活問題，提高學(xué)生提出問題、分析問題和解決問題的能力，讓學(xué)生體會用數(shù)學(xué)的眼光看現(xiàn)實世界，進(jìn)一步提升學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).

三、課堂實錄

（一）問題情境，引入課題

師：聽說余額寶的年化收益率高達(dá)4%（已取近似值），而且也相對安全.某人有一萬元存入余額寶中漲利息，多少年之后此人的錢能夠翻一番？大家試試看.

生1：設(shè)總錢數(shù)為y萬元，年數(shù)為x年，它們的關(guān)系是y=1.04x，x∈N*.令1.04x=2，解得所以需要18年，才能使錢翻一番.

師：其實這種題型就是我們之前學(xué)過的哪種題型？

生2：應(yīng)用題.

師：這道題通過我們剛剛學(xué)過的指數(shù)函數(shù)就可以解決，進(jìn)而幫助我們解決實際問題，這是今天我們要一起研究的《函數(shù)模型及其應(yīng)用》.（板書）

設(shè)計意圖：通過學(xué)生熟悉的實際生活中的問題，提高學(xué)生深入了解的欲望，激發(fā)學(xué)生的求知欲，從而發(fā)展學(xué)生的思維能力.把學(xué)生的認(rèn)知水平提升到另一個更高的水平，讓學(xué)生真正做到學(xué)以致用，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).

（二）層層推進(jìn)，深入探究

師：談到函數(shù)模型，我們以前學(xué)過哪些函數(shù)模型？

生3：一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)，還有我們剛剛學(xué)過的分段函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù).

師：建立函數(shù)模型對于我們剛剛解決的數(shù)學(xué)問題至關(guān)重要，它也是解決應(yīng)用題特別有難度的一個環(huán)節(jié)，那么我們首先就來攻克這個難點.大家請看例1（選自高中數(shù)學(xué)教學(xué)參考書（數(shù)學(xué)必修1）（2017年版）第98頁例1）.

師：誰來說說答案？

生4：解：由題意可知：

師：請一位學(xué)生點評生4的解答.

生5：他注意到自變量的實際意義，也看到單位的不同，最終統(tǒng)一單位.

師：以后我們在做應(yīng)用題時，一定注意：自變量要有實際意義及單位要統(tǒng)一.（板書）

師：我們已經(jīng)初步解決建立函數(shù)模型這一難點，那么接下來，我們嘗試?yán)煤瘮?shù)模型來解決一些實際問題，大家請看例2（選自高中數(shù)學(xué)教學(xué)參考書（數(shù)學(xué)必修1）（2017年版）第100頁練習(xí)2）.

（學(xué)生上黑板板演）

師：生6已經(jīng)寫完，我們一起來看看.如果這道題目一共10分，你會給他幾分？

生7：給3分.沒有寫“解”扣1分；s1、s2和t沒有給出定義扣1分；在分段函數(shù)中，s2是有問題的，定義域為［0，16］，生6缺了［0，3］和［13，16］這兩段，扣5分；

師：嚴(yán)謹(jǐn)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必要條件，以后我們不僅要好好審題，細(xì)節(jié)同樣要注意.現(xiàn)在我們一起把它補(bǔ)充完整.（將答案補(bǔ)全）

設(shè)計意圖：通過幾個具體的實際生活問題，進(jìn)一步加深學(xué)生對數(shù)學(xué)建模的理解.例1是讓學(xué)生將實際問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，利用函數(shù)關(guān)系來表達(dá)生活中的變量依存關(guān)系，提升學(xué)生數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng).例2是一道行程問題，畫線段圖能有效幫助學(xué)生審清題意，同時自變量選擇的是慢車行駛時間，所以快車關(guān)于時間的表達(dá)式中的［13，16］這一段容易被學(xué)生忽略掉，這需要學(xué)生認(rèn)真審題，仔細(xì)分析數(shù)據(jù)，在這個過程中，可以進(jìn)一步提升學(xué)生直觀想象及邏輯推理等核心素養(yǎng).

（三）總結(jié)歸納，建構(gòu)概念

師：剛剛我們一起解決了兩道實際應(yīng)用題，你是否能總結(jié)一下做應(yīng)用題的一般流程？小組討論.

生8：先讀題，再建立函數(shù)關(guān)系，解一下，寫上答案.

師：總結(jié)到位，先審題，再建模，接下來解模，最后得到結(jié)論.

強(qiáng)調(diào)：（1）審題是前提；

（2）建模是關(guān)鍵，我們學(xué)過的數(shù)學(xué)模型有：方程、不等式、函數(shù)等.

設(shè)計意圖：通過前面幾個具體實例，讓學(xué)生總結(jié)出數(shù)學(xué)應(yīng)用題的一般解題思路，完善數(shù)學(xué)知識框架，提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的起點.在整個教學(xué)過程中，設(shè)計出合理的問題串，讓學(xué)生經(jīng)歷問題解決的過程，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力.

（四）及時練習(xí)，鞏固提高

練習(xí).（選自高中數(shù)學(xué)教學(xué)參考書（數(shù)學(xué)必修1）（2017年版）第100頁練習(xí)題第1題和第3題）

設(shè)計意圖：通過進(jìn)一步動手操作，體會數(shù)學(xué)模型應(yīng)用的廣泛性，從而更加深刻地理解函數(shù)模型及其應(yīng)用，提高學(xué)生解決實際問題的能力，進(jìn)一步提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

（五）課堂小結(jié)，深化延伸

師：通過幾個實際問題的研究，我們發(fā)現(xiàn)通常按實際問題→建立數(shù)學(xué)模型→得到數(shù)學(xué)結(jié)果→解決實際問題的程序解決實際問題，其中建立數(shù)學(xué)模型是關(guān)鍵.

設(shè)計意圖：筆者通過對本節(jié)課的總結(jié)，讓學(xué)生不僅從知識層面上進(jìn)行總結(jié)，還對獲取知識的過程進(jìn)一步回顧與反思，使學(xué)生的思維能力得以提升.

四、兩點思考

本節(jié)課通過幾個具體實例的研究，使數(shù)學(xué)素養(yǎng)融入教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)過程，使數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)真正成為可以落實的教學(xué)目標(biāo).關(guān)于以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的數(shù)學(xué)教學(xué)，筆者有以下兩點思考.

（一）加強(qiáng)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一，是對現(xiàn)實問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng).教師用好教材不等于教教材，要學(xué)會整合.對于新課尤其是抽象應(yīng)用拓展類的課堂，要根據(jù)情況創(chuàng)設(shè)合適的情境，將數(shù)學(xué)問題融入一個學(xué)生感興趣或比較熟悉的場景中，然后發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng).在本案例的問題情境環(huán)節(jié)中，通過創(chuàng)設(shè)余額寶收益的情境，激發(fā)學(xué)生求知欲，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生探究問題的數(shù)學(xué)本質(zhì).在整個高中的數(shù)學(xué)課程中，通過大量的實際問題，建立一些基本數(shù)學(xué)模型，包括線性模型、二次曲線模型、指數(shù)函數(shù)模型、三角函數(shù)模型、參變數(shù)模型等.通過建立數(shù)學(xué)模型解決實際生活問題，讓學(xué)生有意識地用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實世界，讓學(xué)生感受“數(shù)學(xué)來源于生活，應(yīng)用于生活”，學(xué)會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維思考世界，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界.培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提升學(xué)生的實踐與創(chuàng)新能力.

（二）啟發(fā)引導(dǎo)，提高學(xué)生主動提出問題能力

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提出：提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力（簡稱“四能”）.本節(jié)課從學(xué)生主動提出問題方面，筆者認(rèn)為是比較成功的.在“創(chuàng)設(shè)情境，引入課題”環(huán)節(jié)，筆者讓學(xué)生幫助解決存款問題的整個過程，都由學(xué)生自己完成.學(xué)生在不斷提出問題、解決問題的過程中將問題解決.其實，這也是波利亞解題四步驟的體現(xiàn)與詮釋.在一定意義下，提出問題比解決問題更重要，提出問題的前提往往是用數(shù)學(xué)的眼光觀察事物.數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要關(guān)注問題的分析、解決，更要關(guān)注問題的源頭，即關(guān)注問題的發(fā)現(xiàn)和提出.要解決一個自己不會做的問題，或者比較陌生的問題時，實際上處于“老虎吃天從何下口”的困難境地.要解決面前的問題，首先要主動提出問題，弄清條件是什么，問題是什么，厘清問題后，利用相關(guān)的知識和方法，將已知與所求建立聯(lián)系，分析并解決問題.培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力是一個長期的、循序漸進(jìn)的過程，鼓勵學(xué)生提出問題、分析問題和解決問題.長此以往，學(xué)生就會養(yǎng)成提出問題、思考問題的習(xí)慣，從而激發(fā)學(xué)生主動學(xué)習(xí)的自覺性.

高中數(shù)學(xué)課堂不能局限于一兩道數(shù)學(xué)問題的解答，而要深入挖掘數(shù)學(xué)問題的育人價值，樹立以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的意識.在教學(xué)實踐中，我們要不斷探索和創(chuàng)新教學(xué)方式，引導(dǎo)學(xué)生會學(xué)數(shù)學(xué)、熱愛數(shù)學(xué)，促進(jìn)學(xué)生實踐能力和創(chuàng)新意識的發(fā)展，感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價值與應(yīng)用價值.