數(shù)形結合的思想方法與高考數(shù)學解題技巧

范銫

【摘要】數(shù)形結合思想即圖解法，也就是根據(jù)已知條件畫出相應的圖像，再憑借幾何圖形的直觀性來解題.“數(shù)”與“形”不僅充分反映了事物兩個方面的差異化屬性，其也是數(shù)學知識的兩種關鍵表現(xiàn)形態(tài).本文簡要概括了數(shù)形結合思想方法的同時，探究了其在高考中的重要性，并借助三個經(jīng)典例題展現(xiàn)了高考數(shù)學解題技巧中數(shù)形結合的體現(xiàn).

【關鍵詞】數(shù)形結合;思想方法;高考數(shù)學;解題技巧

中國著名數(shù)學家華羅庚有句名言，即“數(shù)形結合百般好，隔離分家萬事休”，這句話充分說明了數(shù)形結合的思想方法對數(shù)學解題的重要性.靈活恰當?shù)厥褂脭?shù)形結合思想，能夠快速解決集合、函數(shù)、方程及線性規(guī)劃等多個領域的問題.高中生們在高考數(shù)學的解題過程中，充分利用數(shù)形結合的方法，可以在節(jié)省時間的同時降低錯誤率.

一、數(shù)形結合思想方法概述

無論是在小學還是中學，數(shù)形結合思想方法在數(shù)學解題中的使用頻率都非常高.其實這種思想具體指的就是按照隱藏于數(shù)和形當中的對應關系，憑借數(shù)與形之間的相互轉(zhuǎn)化來妥善處理復雜數(shù)學問題的一種宏觀理念.靈活恰當?shù)剡\用數(shù)形結合的思想，能讓學生在面對許多復雜的數(shù)學問題時豁然開朗，而且往往算法簡便清晰.總而言之，數(shù)形結合的思想方式可以將數(shù)學問題化繁為簡，從抽象轉(zhuǎn)為具象，有助于學生抓住數(shù)學問題的核心，所以其是數(shù)學靈活性以及規(guī)律性的高度融合[1].

二、能夠運用數(shù)形結合思想解決的高考數(shù)學試題

從最近幾年來的高考試題當中不難發(fā)現(xiàn)，高考數(shù)學知識越來越重視對數(shù)形結合思想的考查.很多抽象性極強的數(shù)學問題，若靈活運用數(shù)形結合的方式進行解答，那么便能夠在短時間內(nèi)迎刃而解，事半功倍，高中生們在考試中可以節(jié)約大量的時間.數(shù)形結合的關鍵在于探索“以形助數(shù)”，很多考題都與其密不可分.

如今在高考數(shù)學試題中，數(shù)形結合思想主要應用在六種類型的內(nèi)容當中.第一種是關于一元二次方程解的分布的考查;第二類是不等式的求解;第三類是函數(shù)零點問題以及方程根問題的考查;第四類是求解函數(shù)的最值（最大值、最小值）和取值范圍;第五類是參數(shù)值域的求解問題;最后一類則是復數(shù)的模的研究[2].

對以上六種高考數(shù)學問題，若是靈活運用數(shù)形結合的思想方法，可以在短時間內(nèi)獲得最優(yōu)化的解題方式，規(guī)避復雜且煩瑣的計算，節(jié)省了解題的時間，特別是在選擇題和填空題的求解過程中優(yōu)勢明顯.若要有效形成數(shù)形結合的思維模式，廣大高中生們在平時做練習的過程中就應當養(yǎng)成畫圖的好習慣，在思考時也要做到心中有圖，見數(shù)思圖[3].

三、經(jīng)典高考數(shù)學例題分析

（一）參數(shù)值域的求解問題

例1 如果有關x的方程x2+2kx+3k=0的兩個解均在（-1，0）以及（3，0）之間，求解k的值域.

題目解析 設f（x）=x2+2kx+3k，其函數(shù)圖形和橫軸x軸相交的兩個點，便是方程x2+2kx+3k=0的兩個解.首先建立平面直角坐標系，于x軸上標出（-1，0）以及（3，0）這兩個點，并且畫出相應的二次函數(shù)圖像（詳見圖1）.接著按照圖像，將端點位置函數(shù)值的不等式列出來，也就是對稱軸位置函數(shù)值的不等式以及解的判別式不等式.這道題目能夠借助于解的存在定理，對解的判別式進行討論.最后一步則是求解不等式，進而獲取參數(shù)的值域.

粗略解答 從f（x）=x2+2kx+3k的函數(shù)圖像可以發(fā)現(xiàn)，倘若要使得兩個解均位于（-1，3）之間，就必須讓f（-1）>0，f（3）>0以及f（-k）<0均成立.求解不等式后得-1

（二）方程根的問題

題目解析 這道題的目的是求得根的個數(shù)，即判斷f（x）=a|x|與f（x）=|logxa|這兩個函數(shù)的圖像存在幾個交點即可.這道題為選擇題，只要畫圖函數(shù)圖像便可獲取答案.函數(shù)圖像如圖2所示，不難看出兩個函數(shù)圖像總共有兩個交點，因此，方程總共有兩個實根，故選擇B項.此題也是數(shù)形結合思想方式解題的一個典型案例，若是在高考數(shù)學中遇見此類試題，畫出函數(shù)圖像便可獲得答案，省去了解方程的煩瑣步驟.

（三）函數(shù)最值問題

例3 若實數(shù)x與實數(shù)y滿足二元二次方程（x-2）2+y2=3，那么求yx的最大值.

題目解析 二元二次方程（x-2）2+y2=3具有非常明顯的幾何意義，其在平面直角坐標系當中表現(xiàn)為一個圓，圓心是（2，0），半徑為3（詳見下圖3）.yx=x-0y-0代表的是圓上（x，y）這一點和原點（0，0）的連線的斜率k.這樣一來，通過數(shù)形結合思想的運用，代數(shù)問題便隨之轉(zhuǎn)化成了幾何問題，點A將（2，0）作為圓心，在半徑長為3的一個圓上運動，求解直線OA斜率的最大值.從圖3中不難看出，角A位于第一象限，由幾何知識可知，直線在與圓相切的情況下，直線OA的斜率達到最大值.經(jīng)過運算可得，xy=tan60°=3.

四、結 語

總而言之，在歷年的數(shù)學高考試題中，可以用數(shù)形結合思想直接解答的選擇題約占一半，不難發(fā)現(xiàn)數(shù)形結合思想的掌握已日趨重要.廣大高中生在日后的學習中，應當充分發(fā)揮數(shù)形結合思想方法在解題中的作用，在優(yōu)化學習模式的基礎上，豐富高考數(shù)學解題技巧，提升自身解決數(shù)學難題的效率.

【參考文獻】

[1]劉美.高中數(shù)學解題技巧之“數(shù)”“形”結合策略[J].數(shù)學大世界（下旬版），2017（6）：77.

[2]李沁蓉.高中數(shù)學幾何解題技巧之“數(shù)”“形”結合策略的分析[J].速讀（上旬），2017（2）：126.

[3]陳櫻芷.關于高中數(shù)學幾何解題技巧之“數(shù)”“形”結合策略[J].環(huán)球人文地理，2016（20）：319-320.