基于數(shù)學(xué)歸納法的中國剩余定理證明方法

姚俊萍 李新社 范守祥

【摘要】中國剩余定理主要用來求解一元一次同余方程組，其解結(jié)構(gòu)不但規(guī)范，而且證明方法幾乎都是采用通過證明存在性和唯一性兩點來完成的.本文根據(jù)方程解的迭加性原理和數(shù)學(xué)歸納法給出了一元一次同余方程組解結(jié)構(gòu)的構(gòu)造性證明過程，其思路和方法具有一定的普適性.

一、引 言

中國剩余定理主要用來闡述一元線性同余方程組的有解準則及其求解方法，最初主要用來解決在整數(shù)域上一個數(shù)的存在和尋求的問題.隨著一代代數(shù)學(xué)家和科學(xué)家們的努力，中國剩余定理已與其他數(shù)學(xué)理論建立起了非常重要的聯(lián)系.中國剩余定理可以把一個有限群拆成不同的循環(huán)群的積，進而研究Z/mZ的結(jié)構(gòu);中國剩余定理可以把一個撓模分成循環(huán)模的積，進而分出戴德金環(huán)或主理想環(huán)上模的類別;中國剩余定理不僅是現(xiàn)代公鑰密碼體制RSA快速解密的理論依據(jù)之一，而且也是Rabin公鑰密碼體制的解密工具.事實上，中國剩余定理還可以作為建立群簽名成員的管理模型的理論基礎(chǔ).就中國剩余定理與不定方程和同余方程求解內(nèi)在聯(lián)系而言，中國剩余定理證明方法研究可以使人們更加透徹地理解和掌握不定方程和同余方程的應(yīng)用.

二、基礎(chǔ)理論

四、總 結(jié)

本文從方程（組）解迭加性原理出發(fā)，運用不定方程和同余方程求解方法，并根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證明命題步驟完成了中國剩余定理的構(gòu)造性證明過程.與前面的方法相比，該方法更符合讀者的認知結(jié)構(gòu)，使讀者最終達到學(xué)會數(shù)學(xué)，理解數(shù)學(xué)，享受數(shù)學(xué)的目的.

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