基于Lanchester方程的反艦作戰(zhàn)效能評(píng)估方法

李海濤

(中國人民解放軍91404部隊(duì)43分隊(duì)， 秦皇島 066000)

0 引言

各國軍方對(duì)裝備作戰(zhàn)效能評(píng)估方法和理論研究工作高度重視,積極探索創(chuàng)新,裝備作戰(zhàn)效能評(píng)估被廣泛應(yīng)用于新裝備的研制開發(fā)、新戰(zhàn)術(shù)戰(zhàn)法的評(píng)估和裝備模擬訓(xùn)練等領(lǐng)域,有效地促進(jìn)武器裝備的更新?lián)Q代，推動(dòng)了軍事理論創(chuàng)新與發(fā)展，提升了部隊(duì)?wèi)?zhàn)斗力[1]。

美軍早在上個(gè)世紀(jì)60年代就開始研究武器裝備系統(tǒng)的作戰(zhàn)效能評(píng)估問題，評(píng)估的理論和方法日趨成熟，建立了較為完備的裝備作戰(zhàn)效能評(píng)估體系，在武器裝備、作戰(zhàn)研究和部隊(duì)訓(xùn)練等領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用，取得了良好的軍事經(jīng)濟(jì)效益[2]。美軍在裝備作戰(zhàn)效能評(píng)估方面取得的成功經(jīng)驗(yàn)為個(gè)國軍事人員所重視，其關(guān)于作戰(zhàn)效能評(píng)估的理論與方法也為各國開展相關(guān)領(lǐng)域的研究提供了借鑒[3]。

1 反艦作戰(zhàn)效能評(píng)估方法分析

現(xiàn)在反艦作戰(zhàn)主要武器是反艦戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈，因此主要評(píng)估反艦導(dǎo)彈的作戰(zhàn)效能。在反艦導(dǎo)彈武器系統(tǒng)效能評(píng)估中，無論是導(dǎo)彈武器系統(tǒng)的引導(dǎo)過程，還是水面艦艇反艦作戰(zhàn)的對(duì)抗過程，均屬于隨機(jī)過程[4]。一般討論的隨機(jī)模型是根據(jù)反艦導(dǎo)彈武器系統(tǒng)具有的包含大量隨機(jī)因素的規(guī)律，以概率論為基本數(shù)學(xué)工具，結(jié)合隨機(jī)過程理論、模糊數(shù)學(xué)理論、人工智能理論、灰色系統(tǒng)理論和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論建立的，其結(jié)果通常也是在概率意義下表示出來的[5]。到目前為止，對(duì)武器系統(tǒng)作戰(zhàn)效能進(jìn)行評(píng)估的隨機(jī)方法通?？煞譃榻y(tǒng)計(jì)試驗(yàn)法和解析法兩大類[6]。

統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)法具有通用性強(qiáng)、沒有原理誤差、以及精度結(jié)果可以預(yù)測和控制等優(yōu)點(diǎn)。但是為統(tǒng)計(jì)出可信的計(jì)算結(jié)果它需要樣本量較大，且獲取這些樣本的試驗(yàn)過程耗時(shí)較長。這樣，在導(dǎo)彈武器系統(tǒng)這種對(duì)實(shí)時(shí)性、快速性要求較高的環(huán)境中，使用難度比較大[7]。

比較傳統(tǒng)的解析法如英國人F.W.Lanchester建立的描述作戰(zhàn)動(dòng)態(tài)過程的Lanchester微分方程[8]。在該方程的基礎(chǔ)上，W.PHannah和J.Tavantzis等人先后引入了作戰(zhàn)過程的隨機(jī)因素，建立了多種形式的隨機(jī)類型Lanchester方程。另外，排隊(duì)論，或稱隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論也是解析分析導(dǎo)彈武器系統(tǒng)效能進(jìn)行評(píng)估的較為有效的工具。下面，重點(diǎn)討論集中對(duì)導(dǎo)彈武器系統(tǒng)效能進(jìn)行評(píng)估的較為成熟的解析法，即隨機(jī)類型的Lanchester方程分析法、協(xié)方差分析描述函數(shù)技術(shù)和統(tǒng)計(jì)線性化伴隨法[9]。

英國人F.W. Lanchester首先建立了描述作戰(zhàn)動(dòng)態(tài)過程的微分方程，并且該理論不斷完善。利用該理論建立反艦導(dǎo)彈-艦艇防控火力對(duì)抗的確定型Lanchester模型，并以此到處隨機(jī)類型的Lanchester方程[10]。

2 確定型Lanchester方程評(píng)估方法

在反艦導(dǎo)彈與水面艦艇反導(dǎo)火力系統(tǒng)的攻擊與防御抗擊的隨機(jī)過程中，艦艇受損情況與單位面積上的艦載反導(dǎo)火力單元數(shù)量和攻擊的導(dǎo)彈數(shù)量相關(guān)[11]，因此推導(dǎo)水面艦艇反艦作戰(zhàn)的損耗方程時(shí)可做以下假設(shè)：

(1) 水面艦艇受損情況可近似符合Lanchester第二線性定律；

(2) 反艦導(dǎo)彈以Poisson分布隨機(jī)地到達(dá)水面艦艇后，只攻擊艦艇主體區(qū)域，艦載反導(dǎo)火力單元未受到毀傷；

(3) 水面艦艇艦載反導(dǎo)火控雷達(dá)對(duì)導(dǎo)彈的發(fā)現(xiàn)時(shí)間及火力單元單次設(shè)計(jì)時(shí)間均服從負(fù)指數(shù)分布，設(shè)分布參數(shù)為ξ，防控火力單元兩次發(fā)射間隔時(shí)間期望為τ。

取b(t)為來襲的反艦導(dǎo)彈數(shù)量；r(t)為艦載反導(dǎo)火力單元數(shù)。則可得到艦載反導(dǎo)火力系統(tǒng)在τ時(shí)間內(nèi)未發(fā)現(xiàn)任何來襲目標(biāo)的概率為式(1)。

P0(τ)=e-ξτ

(1)

則在τ時(shí)間內(nèi)b(t)個(gè)目標(biāo)至少被發(fā)現(xiàn)一個(gè)的概率為式(2)。

P1(τ)=1-e-ξτb(t)

(2)

發(fā)現(xiàn)并擊毀一枚導(dǎo)彈的概率為式(3)。

P=Pk·P1(τ)=Pk[1-e-ξτb(t)]

(3)

式中，Pk為反導(dǎo)火力系統(tǒng) 的單發(fā)殺傷概率。

τ時(shí)間內(nèi)r(t)個(gè)反導(dǎo)火力單元?dú)麃硪u導(dǎo)彈的期望值為式(4)

E(b)=r(t)Pk[1-e-ξτb(t)]

(4)

反艦導(dǎo)彈是以參數(shù)為λ的Poisson分布隨機(jī)來襲，假設(shè)t時(shí)刻導(dǎo)彈能夠突防的概率為Pt，λpt則為導(dǎo)彈到達(dá)水面艦艇反導(dǎo)火力單元防御區(qū)域時(shí)的飛行速度，來襲導(dǎo)彈在反導(dǎo)火力單元防御區(qū)域數(shù)量變化可做如下推導(dǎo)，如式(5)[12]。

(5)

取AR為水面艦艇反導(dǎo)火力單元防御區(qū)域的總面積，rv為單個(gè)反導(dǎo)火力單元防御區(qū)域的半徑，rk為單枚反艦導(dǎo)彈的有效毀傷區(qū)域的半徑。水面艦艇若有r(t)個(gè)反導(dǎo)火力單元，一枚反艦導(dǎo)彈對(duì)該系統(tǒng)火力單元的殺傷概率為式(6)。

(6)

反艦導(dǎo)彈到達(dá)率為λ，則反導(dǎo)火力系統(tǒng)在b(t)枚導(dǎo)彈攻擊下的損耗率為式(7)。

(7)

式(1)和式(2)即為水面艦艇反艦作戰(zhàn)時(shí)攻防對(duì)抗系統(tǒng)的確定型Lanchester方程。

3 隨機(jī)型Lanchester方程評(píng)估方法

在反艦作戰(zhàn)過程中，設(shè)B(t)為t時(shí)刻反艦導(dǎo)彈數(shù)量的隨機(jī)函數(shù)，設(shè)R(t)為t時(shí)刻水面艦艇火力單元數(shù)的隨機(jī)函數(shù)，可得出反艦作戰(zhàn)時(shí)攻防概率分布函數(shù)為式(8)[13-17]。

pb,r(t)=p[B(t)=b,R(t)=r]

(8)

對(duì)反艦作戰(zhàn)過程進(jìn)行分析得出，t+Δt時(shí)刻pb,r(t)動(dòng)態(tài)方程為下述各獨(dú)立事件的概率之和：

(1)t時(shí)刻處于狀態(tài)(b+1,r)，在Δt時(shí)間內(nèi)有一枚導(dǎo)彈被攔截或飛離火力殺傷區(qū)，該事件的概率為式(9)。

pb+1,r(t)=[Pk·ξ·r·(b+1)+λ·pt]Δt

(9)

(2)t時(shí)刻處于狀態(tài)(b+1,r)，在Δt時(shí)間內(nèi)有一枚導(dǎo)彈飛入火力殺傷區(qū)，該事件的概率為式(10)。

pb+1,r(t)=λΔt

(10)

(3)t時(shí)刻處于狀態(tài)(b,r+1)，在Δt時(shí)間內(nèi)有一個(gè)火力單元被擊毀，該事件的概率為式(11)

(11)

(4)t時(shí)刻處于狀態(tài)(b,r)，在Δt時(shí)間內(nèi)沒有導(dǎo)彈火力單元的數(shù)量變化，該事件的概率為式(12)

(12)

上述4式相加求導(dǎo)即可得到狀態(tài)概率的動(dòng)態(tài)方程，即基于Lanchester隨機(jī)類型方程的反艦作戰(zhàn)攻防對(duì)抗評(píng)估方程。針對(duì)該方程求解可得到任意時(shí)刻t對(duì)抗雙方評(píng)估要素的概率pb,r(t)，對(duì)各要素進(jìn)一步分析可得到任意時(shí)刻t水面艦艇反艦作戰(zhàn)效能。下式即為在t時(shí)刻導(dǎo)彈能夠突破防御火力系統(tǒng)的概率為式(13)[18]。

(13)

4 反艦作戰(zhàn)效能評(píng)估方法

根據(jù)隨機(jī)型Lanchester方程評(píng)估方法，可以推導(dǎo)出反艦導(dǎo)彈突防時(shí)作戰(zhàn)效能評(píng)估方法，即反艦作戰(zhàn)效能評(píng)估方法。推導(dǎo)步驟如下：

(1) 假設(shè)第一枚反艦導(dǎo)彈進(jìn)入水面艦艇的反導(dǎo)火力范圍是為作戰(zhàn)起始時(shí)間，則反艦作戰(zhàn)攻防對(duì)抗的初始狀態(tài)則為：b(0)=1，r(0)=n；其中n為水面艦艇火力單元個(gè)數(shù)；隨機(jī)型Lanchester方程初始值則為式(14)[19]。

(14)

(2) 依據(jù)突防導(dǎo)彈數(shù)量及水面艦艇的反導(dǎo)火力單元數(shù)量排列組合，利用隨機(jī)型Lanchester方程可得出不同導(dǎo)彈和反導(dǎo)火力單元數(shù)量情況下的反艦作戰(zhàn)突防概率[20]。

(3) 根據(jù)隨機(jī)型Lanchester方程可推導(dǎo)出突防概率分布函數(shù)pb,r(t)；對(duì)該函數(shù)求解可得出任意時(shí)刻t水面艦艇的反艦作戰(zhàn)效能[21]。

5 總結(jié)

海戰(zhàn)場是未來戰(zhàn)爭的主戰(zhàn)場，水面艦艇是海軍部隊(duì)遂行海上作戰(zhàn)任務(wù)的重要作戰(zhàn)單元[22]。實(shí)踐表明，做好反艦作戰(zhàn)效能評(píng)估的研究，不僅可以減少作戰(zhàn)訓(xùn)練經(jīng)費(fèi)、調(diào)高效率，而且對(duì)于加強(qiáng)海軍裝備建設(shè)、提高海軍部隊(duì)?wèi)?zhàn)斗力具有極為重要的意義[23]。