基于單元等長的船體曲板展開方法

(1.上海交通大學 a.海洋工程國家重點實驗室；b.高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海 200240；2.大連船舶重工集團有限公司，遼寧 大連 116021)

船體曲板展開為鋼板的號料套料提供依據(jù)，影響著曲板加工成形的工藝操作，是船舶建造過程中的重要環(huán)節(jié)。有效的曲板展開方法[1-7]，可以獲取精細的鋼板號料方案，推進船廠無余量造船進程。目前國內(nèi)一些船廠采用的展開方法仍是手工放樣或計算機模擬手工放樣，利用由此得到的板材展開圖進行后續(xù)船體曲板成形加工時，需要加入一定余量，影響后續(xù)工藝環(huán)節(jié)的加工效率。為此，提出一種基于單元等長的船體外板展開方法，在低應變能情況下，減少外板展開的面積誤差，以期為后續(xù)三維曲板加工成形提供有效的支持。

1 展開方法

船體曲板大多為不可展開的復雜曲面，需要將其分割為多個微小區(qū)域逼近原曲面，將各個微小單元進行展開，獲得最終的近似展開平面。曲面展開根據(jù)展開目的的不同，所采取的展開方法也不盡相同，常見的展開方法有保證面積恒定，保證長度恒定和保證角度恒定等。船廠工程實際中主要采用手工測地線法、垂直準線法和撐線法等展開三維曲面，其本質(zhì)的展開方法均基于保證展開單元的長度恒定。但是由于船廠實際操作中為手工作圖，往往需要留有一定余量，是不完全的保長展開方法。

在船廠實際使用的不完全保長展開方法的基礎上，對三維曲板進行了網(wǎng)格劃分，采用四邊形單元長度恒定展開方法對船體三維曲板進行展開。在展開過程中，需要確定展開基準線，將三維復雜曲面圍繞基準逐步展開，展開策略的不同導致對展開基準線的選擇也不盡相同。如圖1，在三維曲面中以兩條相交曲線為展開基準線，基準線為三維曲面上的空間曲線，保證基準線中的單元節(jié)點間在展開圖中的距離與實際距離相等，并從兩條基準線出發(fā)按照展開前后構成單元長度恒定的方法，依次展開，獲取最終的展開曲面。

圖1 單元等長度的展開方法示意

2 展開步驟

1)從肋骨型線圖中獲取待展開船體曲板的型值數(shù)據(jù)，對數(shù)據(jù)進行單位調(diào)整和初步處理。

2)利用NURBS擬合曲面并劃分網(wǎng)格。

3)計算基準線。縱向基準線為中間肋骨型線，按照經(jīng)典的測地線法對其進行展開同時保證各個單元節(jié)點間長度為實長。橫向基準線為貫穿曲面的一條空間曲面，是曲面內(nèi)兩點間的最短面內(nèi)距離，因此在展開平面中橫向基準線為一條直線。

4)展開基準線和其他單元。以2條基準線的交點為中心點，對基準線進行展開，橫向基準線展開后為一條直線，縱向基準線展開方法則在經(jīng)典測地線法展開方法的基礎上進行改進，通過計算各個單元節(jié)點的肋骨彎度對縱向基準線進行了展開。最后通過兩條已經(jīng)展開的基準線，按照單元等長原則對其他單元節(jié)點進行展開。

2.1 網(wǎng)格劃分

通過NURBS曲面對待展開三維曲面進行插值擬合，通過節(jié)點矢量、控制網(wǎng)格點和權值控制擬合曲面，NURBS曲面方程如下。

(1)

式中：(u,v)∈[Umin,Umax]×[Vmin,Vmax]；Pi,j為控制點；Wi,j為權重；Ni,p(u)為u方向p次B樣條函數(shù)；Nj,q(v)為v方向q次B樣條函數(shù)；Cu和Cv為控制點數(shù)。

利用NURBS曲面算法對輸入的肋骨型值進行插值擬合，獲取更多的曲面節(jié)點，繪制出三維曲面圖，方便后續(xù)的展開、應變和面積的計算工作。完成對曲面的網(wǎng)格的初步劃分，獲取各個控制節(jié)點的坐標，在求取基準線算法中還需要進行網(wǎng)格的局部細分，都是通過NURBS曲面進行的。

2.2 基準線的計算

參考測地線法展開船體曲板選取展開基準線的方法[9]，在待展開的三維曲面中選取中間肋骨型線為縱向基準線。選擇曲面內(nèi)的兩點間的測地線為橫向基準線，起始點選取測地線法中所作測地線的兩個端點，然后通過改進的迪杰斯特算法求解出該兩點間的最短曲面距離路徑，將其作為待展開曲面的縱向基準線，從而完成基準線的確定工作。

迪杰斯特算法是經(jīng)典的最短路徑算法，主要策略為按照路徑長度依次增長計算出起始點到各個其他節(jié)點的最短路徑，具體步驟如下。

步驟1。初始化集合S和U，集合S中只包含起點Pstart，U為S在全集中的補集。

步驟2。遍歷U集合計算U(i)到起點Pstart的距離，選取距離最短的定點Pshort加入集合S，并重新計算集合U。

步驟3。更新集合U中各點到起點Pstart的距離，重復步驟2至便利完所有定點。

步驟4。輸出橫向準線長度D和路徑R。

Dijkstra算法要求待展開曲面的網(wǎng)格劃分較為精細，耗費大量的計算資源。因此，選擇局部細分網(wǎng)格的策略節(jié)省計算資源的同時獲得高精度的結果。在初始網(wǎng)格密度條件下，使用迪杰斯特算法進行初步求解，求解的最短曲面距離為Di。對迪杰斯特算法求解出的橫向準線所經(jīng)過的單元區(qū)域進行標記，然后僅對標記的區(qū)域進行網(wǎng)格細分，再利用迪杰斯特算法在標記區(qū)域內(nèi)進行進一步求解，求解得到最短曲面距離為Di+1。循環(huán)進行局部網(wǎng)格細分求解，直到Di+1-Di<ε(ε為允許誤差值)時退出循環(huán)，得到最終的橫向基準線。

2.3 展開過程

橫向基準線在展開圖中應為1條直線，以2條基準線的交點為展開中心，保證橫向基準線上單元節(jié)點間的距離恒定，展開橫向基準線同時獲得各節(jié)點在展開圖中的坐標值。

縱向基準線是肋骨中間線，其展開方式是在經(jīng)典測地線法的基礎上進行改進。展開原理示意見圖2a)。由于船體曲面多為復雜的不可展曲面，在展開過程中假設的圓柱外板母線與船體中心線不平行，展開后的肋骨線與準線不垂直，在展開圖中肋骨曲線與過其弦線的法面展開線間存在一定的間距[8]，其中最大的拱度即為肋骨彎度S?？v向基準線的展開是基于肋骨彎度Si，保證該單元節(jié)點到O0的實長相等將其展開。

對其他單元進行展開，見圖2b)，通過確定單元節(jié)點的位置從而確定整個單元展開形狀的策略進行展開。

圖2 展開過程示意

3 展開實例

以確定四邊形單元Ai,jAi-1,jAi-1,j+1Ai,j+1為例，介紹一般四邊形單元展開過程。根據(jù)單元等長的展開準則，在展開平面內(nèi)找到一點Ai,j使得Ai,jAi-1,j和Ai,jAi,j+1展開前后長度恒定，由此即可確定點Ai,j的位置。

以船體建造過程中的帆型板為例，板材的型值見圖3a)，NURBS曲面對進行曲面重構和網(wǎng)格劃分，網(wǎng)格單元為四邊形，共劃分6 100(100×61)個網(wǎng)格，見圖3b)。

通過經(jīng)典測地線算法求解出橫向基準線的端點坐標如下。

A(1.20×105,2 345.85,1.88×104)；

B(1.34×105,2 454.79,1.87×104)。

以此為輸入?yún)?shù)，進行基于單元等長的展開算法運算。

如圖4，設置改進迪杰斯特算法可接受誤差為0.1 mm，即相鄰兩次計算結果差的絕對值不超過0.1 mm方可退出循環(huán)。

圖4 改進迪杰斯特算法結果收斂

輸出最終結果，最終經(jīng)過9次迭代算法結果收斂，得到A與B間的最短曲面距離為13 639.34 mm，確定展開基準線后將其他單元節(jié)點也進行展開，獲得最終的展開平面，見圖5。

圖5 最終展開平面

曲面展開后需要經(jīng)過水火彎板等加工工藝方法將平面板材加工為具有一定曲率的三維曲面，在加工過程中板材厚度方向幾乎沒有變化[9]，因此板材加工前后表面積不變。曲板展開過程是曲板成形的逆過程，同樣要求展開曲面與三維曲面的面積相近，因此往往通過面積誤差來評價展開方法的可靠性和適用性。此外，應變能可以反應出曲板成形過程中的加工工作量，應變能越低說明曲板展開方案實用性越強。按本文方法展開結果與經(jīng)典測地線法的數(shù)據(jù)對比見表1，單元等長展開法的面積誤差控制為0.07%，相比于經(jīng)典的測地線法有所提升。同時單元等長展開法中單元的平均應變能系數(shù)為7.316 9×10-4[10]，相比經(jīng)典測地線法有大幅度改進，可以看出基于單元等長的船體曲板展開方法具備可靠性和適應性，符合工程實際要求。

表1 展開結果評價指標

4 結論

提出通過網(wǎng)格劃分、基準線確定、基準線展開和單元展開等步驟實現(xiàn)對船體三維曲板的展開。本方法充分考慮船體三維曲板的套料和加工成形的后續(xù)工藝環(huán)節(jié)，計算四節(jié)點等參單元的應變能系數(shù)和展開面積誤差兩個評價指標，通過與測地線法進行對比，驗證了單元等長展開方法可靠。