一元二次方程的數(shù)學(xué)內(nèi)涵在高中物理運(yùn)動(dòng)學(xué)試題中的應(yīng)用

任權(quán)民 張瑞琪

摘 ? 要：考試作為教學(xué)評(píng)價(jià)最直觀的手段，其有效性顯得尤為重要。隨著考試內(nèi)容和形式的變化，創(chuàng)新性試題可以進(jìn)一步增強(qiáng)考試的有效性。文章通過分析一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)內(nèi)涵在高中物理運(yùn)動(dòng)學(xué)試題中的應(yīng)用，構(gòu)建了該數(shù)學(xué)內(nèi)涵思想下的運(yùn)動(dòng)學(xué)物理模型，為考試評(píng)價(jià)、教學(xué)指導(dǎo)以及教師能力的提升提供了參考的依據(jù)，也為編制該類型試題提供了一套完整的思路與方法。

關(guān)鍵詞：運(yùn)動(dòng)學(xué)試題;一元二次方程;根與系數(shù)關(guān)系;數(shù)學(xué)內(nèi)涵;創(chuàng)新試題

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ?文章編號(hào)：1003-6148（2019）11-0011-3

1 ? ?引 ?言

隨著教育的發(fā)展，考試的形式也在不斷更新，作為教學(xué)效果最直觀的評(píng)價(jià)手段，其知識(shí)性、科學(xué)性以及新穎性逐漸凸顯出來。作為教學(xué)評(píng)價(jià)的基本手段，考試的有效性顯得尤為重要，所以需要編制創(chuàng)新性試題來進(jìn)一步加強(qiáng)考試的有效性。在高中物理中，運(yùn)動(dòng)學(xué)部分是高考考查的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一，也是必考點(diǎn)?！犊荚嚧缶V》中“應(yīng)用數(shù)學(xué)解決物理問題”這一要求凸顯了數(shù)學(xué)內(nèi)涵在物理試題中應(yīng)用的廣泛性與必要性。在物理學(xué)中，運(yùn)動(dòng)學(xué)中所包含公式的基本形式往往與一元二次方程的基本式相近。例如，在平拋運(yùn)動(dòng)中，已知豎直高度h，根據(jù)h=1/2gt2，利用直接開方可以求出時(shí)間t;或者在圓周運(yùn)動(dòng)中，已知向心力，根據(jù)F=mv2/r或F=mω2r，可以求出線速度、角速度[1]。不僅如此，該應(yīng)用還包括方程根與系數(shù)關(guān)系的運(yùn)用，根據(jù)韋達(dá)定理的基本形式，對方程的根賦予一定的物理意義，就可以找出它們之間的關(guān)系[2]。所以，一元二次方程的數(shù)學(xué)內(nèi)涵在解決物理題目中的有關(guān)問題時(shí)較為常見，在考試范疇中的應(yīng)用也較為廣泛，所以對于該數(shù)學(xué)內(nèi)涵的挖掘是必不可少的。本文通過對中學(xué)物理運(yùn)動(dòng)學(xué)試題中一元二次方程的數(shù)學(xué)內(nèi)涵進(jìn)行挖掘，歸納了命制該類型試題的思路，并利用該思路進(jìn)行了試題的命制，旨在為中學(xué)生在學(xué)習(xí)物理的運(yùn)動(dòng)學(xué)部分提供學(xué)習(xí)參考，為中學(xué)物理教師提供運(yùn)動(dòng)學(xué)試題解答的技巧和方法以及命制運(yùn)動(dòng)學(xué)相關(guān)試題的思路，還整理出了物理中的運(yùn)動(dòng)學(xué)與數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)合的相關(guān)規(guī)律。

2 ? ?方程根與系數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)內(nèi)涵

一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系如下：

設(shè)在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，x1、x2是方程的兩根，兩根有如下關(guān)系[3]：

通過上述兩個(gè)關(guān)系式可以看出，應(yīng)用方程根與系數(shù)的關(guān)系可以得到兩根之和以及兩根之積。同時(shí)根據(jù)公式的變形以及推導(dǎo)可以得出兩根之差的絕對值：

不僅如此，在利用根與系數(shù)的關(guān)系求解時(shí)，還可以對應(yīng)“轉(zhuǎn)換思路”，即把未知的轉(zhuǎn)換為已知的，把我們不知道的探究轉(zhuǎn)換為已經(jīng)知道的成果。也就是說，在根與系數(shù)的關(guān)系中可以利用已經(jīng)知道的系數(shù)分別求出兩根;反過來，也可以利用已經(jīng)知道的兩根求出方程的系數(shù);同時(shí)也可以利用系數(shù)求出兩根的三種關(guān)系，使試題更加巧妙。

3 ? ?應(yīng)用數(shù)學(xué)內(nèi)涵命題的思路

3.1 ? ?命題目標(biāo)

考查平拋運(yùn)動(dòng)、勻速直線運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律等物理運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)點(diǎn)。利用根與系數(shù)的關(guān)系及轉(zhuǎn)換思路求兩物理量之差的數(shù)學(xué)內(nèi)涵。

3.2 ? ?數(shù)理模型

3.2.1 ? ?命題模型

拋物線與直線的位置關(guān)系，可以視為平拋運(yùn)動(dòng)與勻速直線運(yùn)動(dòng)軌跡的位置關(guān)系。拋物線與直線的位置關(guān)系有相交、相切和相離三種情況，如圖1所示，結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)和勻速直線運(yùn)動(dòng)的物理含義與實(shí)際意義，兩者相離的位置關(guān)系無實(shí)際意義[3-4]，暫不考慮。

3.2.2 ? ?物理情境

在多向飛碟項(xiàng)目中，碟靶拋出飛碟后，運(yùn)動(dòng)員可射擊飛碟的次數(shù)為2次，若運(yùn)動(dòng)員第一槍未射中，可再射第二發(fā)子彈，若第二發(fā)打中也計(jì)入得分。發(fā)射子彈的軌跡可以視為勻速直線運(yùn)動(dòng)，而飛碟的軌跡則是拋物線，兩軌跡的位置關(guān)系即拋物線與直線的位置關(guān)系。

4 ? ?應(yīng)用方程根與系數(shù)關(guān)系數(shù)學(xué)內(nèi)涵的原創(chuàng)運(yùn)動(dòng)學(xué)試題

飛碟射擊比賽，是一項(xiàng)在奧運(yùn)會(huì)、世錦賽、亞運(yùn)會(huì)以及亞洲射擊錦標(biāo)賽中的主要競技項(xiàng)目。其中的多向飛碟項(xiàng)目，每拋靶一次，射手有兩次射擊的機(jī)會(huì)。如圖2所示，在一次多向飛碟比賽中，射擊運(yùn)動(dòng)員槍口與地面夾角為α，以速度v0射出子彈，飛碟拋出點(diǎn)與子彈發(fā)出點(diǎn)的豎直距離為h，忽略空氣阻力對子彈速度的影響。

（1）拋靶機(jī)以速度v沿水平方向拋出一枚飛碟，但該運(yùn)動(dòng)員第一槍剛好未打中，如果想要贏得比賽，需要間隔多長時(shí)間發(fā)射第二發(fā)子彈才能打中目標(biāo)？

（2）拋靶機(jī)沿水平方向以某一速度拋出飛碟，該速度為多大時(shí)，運(yùn)動(dòng)員可以有兩次射擊的機(jī)會(huì)？

解 （1）飛碟從拋靶機(jī)飛出后做平拋運(yùn)動(dòng)。由于子彈速度很快，并且忽略重力加速度對子彈速度的影響，所以子彈的運(yùn)動(dòng)可以視為勻速直線運(yùn)動(dòng)。

若飛碟能與子彈相遇，則有：

兩槍間的時(shí)間間隔可以表示為：

（2）如圖3所示，根據(jù)幾何關(guān)系，若想運(yùn)動(dòng)員有兩次射擊機(jī)會(huì)，則需要求出只有一次射擊機(jī)會(huì)時(shí)的速度范圍，一種情況是兩物體軌跡相切，還有一種情況是飛碟第二次與子彈相遇時(shí)子彈剛發(fā)出。則有如下情況：

①設(shè)當(dāng)飛碟的軌跡與子彈運(yùn)動(dòng)的軌跡恰好相切時(shí)，飛碟的出射速度為v1，子彈與飛碟相遇時(shí)的時(shí)間為t。

由于子彈軌跡與飛碟軌跡相切，則有：

②當(dāng)飛碟的最終落點(diǎn)恰好與發(fā)射位置重合時(shí)，即飛碟軌跡的水平距離與槍口到飛盤發(fā)出點(diǎn)的水平距離相等。設(shè)這種情況下飛碟的出射速度為v2，子彈與飛碟相遇時(shí)的時(shí)間為t'，則有：

本原創(chuàng)試題包括了根與系數(shù)關(guān)系與對應(yīng)轉(zhuǎn)換思路的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，還有判別式法解方程、方程根的取舍、平面幾何中拋物線與直線的關(guān)系、不等式等相關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容，以及平拋運(yùn)動(dòng)、勻速直線運(yùn)動(dòng)等運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)，是一道反映了一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)內(nèi)涵在物理運(yùn)動(dòng)學(xué)試題中應(yīng)用的原創(chuàng)試題。讓學(xué)生通過數(shù)學(xué)知識(shí)與物理知識(shí)的結(jié)合，將題目中的已知條件和隱含條件進(jìn)行分析綜合后才能求解，難度較大。

5 ? ?結(jié)束語

解決運(yùn)動(dòng)學(xué)相關(guān)的計(jì)算題，不僅要找出考查的物理知識(shí)，還要善于應(yīng)用數(shù)學(xué)內(nèi)涵來解題，通過利用數(shù)學(xué)知識(shí)可以巧妙地幫助解題，提高做題的準(zhǔn)確度與效率。對于原創(chuàng)試題來說，教師通過對試題中的數(shù)學(xué)內(nèi)涵進(jìn)行挖掘后并將數(shù)學(xué)思想應(yīng)用到原創(chuàng)試題中，既可以達(dá)到應(yīng)用數(shù)學(xué)手段解決物理問題這一要求，同時(shí)也能增加試題的信度、效度以及創(chuàng)新度。本文為一線教師命制該類型的原創(chuàng)試題提供了一個(gè)參考思路，也為學(xué)生提供了解決該類問題的方法與思考方向。

參考文獻(xiàn)：

[1]吳高飛，劉斌.一元二次方程在物理解題中的應(yīng)用[J].物理教學(xué)探討（中學(xué)生版高二卷），2003（2）：33-34.

[2]丁麗艷.一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)大世界（初中版），2015（4）：2-3.

[3]曲一線.高中數(shù)學(xué)知識(shí)清單（第三版）[M].北京：教育科學(xué)出版社，2018：52-55.

[4]丁香.一元二次方程在幾何問題中應(yīng)用剖析[J].理科考試研究，2016，23（20）：19-20.

[5]張紅蓮.活用韋達(dá)定理， 解決幾何難題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)， 2018（5）：91-92.

（欄目編輯 ? ?趙保鋼）