一種低秩聯(lián)合稀疏模型下的雜波抑制方法

黃 臣，劉宏清，羅 臻，周 翊

(1.重慶郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院，重慶 400065；2．重慶郵電大學(xué) 重慶市移動(dòng)通信重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400065)

穿墻雷達(dá)(Through-the-Wall Radar, TWR)系統(tǒng)已被用于感知建筑結(jié)構(gòu)布局以及檢測(cè)、分類(lèi)和追蹤室內(nèi)目標(biāo)等場(chǎng)景，由于其對(duì)密閉建筑物內(nèi)場(chǎng)景的探測(cè)能力，在城市反恐、災(zāi)后救援以及現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)中得到了廣泛關(guān)注[1-6]。為了獲得更好的室內(nèi)目標(biāo)探測(cè)結(jié)果，高質(zhì)量的雷達(dá)成像結(jié)果是后續(xù)探測(cè)任務(wù)的必要前提。然而，來(lái)自墻體回波的影響導(dǎo)致對(duì)室內(nèi)的成像任務(wù)具有極大的挑戰(zhàn)性。在穿墻雷達(dá)探測(cè)任務(wù)中，由于建筑物外墻較室內(nèi)目標(biāo)更靠近雷達(dá)天線，導(dǎo)致回波中墻體回波的能量遠(yuǎn)大于室內(nèi)目標(biāo)的回波，即墻體回波對(duì)目標(biāo)回波造成掩蔽效應(yīng)，極大地影響了最終成像效果。為了克服這一問(wèn)題，在進(jìn)行雷達(dá)成像以前，需要將雷達(dá)回波中的墻體回波部分消除，從而得到高質(zhì)量的目標(biāo)成像結(jié)果。

傳統(tǒng)墻體回波抑制方法是背景消除(Background Subtraction，BS)[1]，但是在實(shí)際穿墻雷達(dá)應(yīng)用中，額外空白場(chǎng)景的雷達(dá)回波數(shù)據(jù)往往難以獲得。作為替代結(jié)合子空間理論，通過(guò)對(duì)所有天線位置的回波測(cè)量矩陣進(jìn)行奇異值分解(Singular Value Decomposition, SVD)，濾除墻體回波所占據(jù)的奇異值和其對(duì)應(yīng)的奇異向量構(gòu)成的子空間，將剩下的分量重新組成回波矩陣進(jìn)行成像[7-9]。為了克服基于奇異值分解的雜波抑制方法需要采集全部雷達(dá)回波數(shù)據(jù)的缺點(diǎn)，文獻(xiàn)[10、11]提出采用離散長(zhǎng)橢圓序列(Discrete Prolate Spheroidal Sequences, DPSS)調(diào)制雷達(dá)回波信號(hào)，使目標(biāo)回波具有稀疏特性的雜波抑制方法。近年來(lái)將低秩方法用于雷達(dá)探測(cè)回波中的雜波抑制的研究得到發(fā)展，文獻(xiàn)[12]在對(duì)步進(jìn)頻率穿墻雷達(dá)的研究中，指出墻體回波是位于低秩子空間中, 并且當(dāng)回波信號(hào)使用適當(dāng)?shù)幕硎緯r(shí)，目標(biāo)信號(hào)是稀疏的。因此，基于壓縮感知理論，稀疏方法用于場(chǎng)景重建得到了廣泛研究[12-15]。

筆者提出了一種在低秩聯(lián)合稀疏優(yōu)化模型下的雜波抑制方法，并驗(yàn)證了提出方法在各種情況下的雜波抑制效果，包括改變墻體的厚度、材質(zhì)和結(jié)構(gòu)。最后提供不同墻體參數(shù)對(duì)雜波抑制效果影響的結(jié)論。和現(xiàn)有雜波抑制算法相比，基于低秩聯(lián)合稀疏的方法能實(shí)現(xiàn)更好的雜波抑制效果和提供更清晰的目標(biāo)成像。

1 穿墻雷達(dá)信號(hào)模型

圖1 穿墻雷達(dá)電磁波傳播路徑示意圖

假設(shè)一個(gè)中心頻率為fc的單頻雙天線收發(fā)分置穿墻雷達(dá)系統(tǒng)，其中N個(gè)雷達(dá)天線被平行于墻面放置在建筑物外。在整個(gè)探測(cè)過(guò)程中，被接收機(jī)測(cè)量和存儲(chǔ)在第n個(gè)天線的雷達(dá)回波信號(hào)為

gn(t)=gn,w(t)+gn,ta(t)+sn(t) ，

(1)

其中,gn,w(t)為墻體回波部分，gn,ta(t)為目標(biāo)回波，sn(t)為背景噪聲。

將整個(gè)探測(cè)場(chǎng)景離散化為包含Q個(gè)像素的矩形網(wǎng)格，圖1給出了電磁波在第q個(gè)像素點(diǎn)和第n組天線間的傳播路徑。圖中l(wèi)q,air1, t,lq, wall, t和lq, air2, t表示電磁波在發(fā)射天線和第q個(gè)像素點(diǎn)之間經(jīng)過(guò)的自由空間和墻體的距離。同樣地，lq, air1, r,lq, wall, r和lq, air2, r則是在接收天線和第q個(gè)像素點(diǎn)之間的各介質(zhì)傳播距離。

在圖1中，Tx表示發(fā)射機(jī)，Rx表示接收機(jī)，像素q和天線n之間的傳播時(shí)間τn,q可以計(jì)算為

(2)

(3)

其中,σq為第q個(gè)像素點(diǎn)的反射率，通過(guò)式(2)，σq可以被計(jì)算為σq=gn(τn,q)。使用延時(shí)求和(Delay-And-Sum, DAS)波束成形成像算法，第q個(gè)像素點(diǎn)的復(fù)幅值I(q)可以由式(4)得到，即

(4)

在式(4)中，復(fù)幅值I(q)中具有較大能量的墻體回波掩蓋了所需要的目標(biāo)回波部分。因此，在進(jìn)行成像步驟之前，需要對(duì)墻體回波部分進(jìn)行消除。

2 聯(lián)合低秩稀疏模型

在本節(jié)中，從雷達(dá)回波中分離墻體回波和目標(biāo)回波的任務(wù)被轉(zhuǎn)化為低秩保持和稀疏約束的優(yōu)化模型。之后筆者設(shè)計(jì)出一種交替方向乘子法[16](Alternating Direction Method of Multipliers, ADMM)用于求解該優(yōu)化模型。最后，分離出的目標(biāo)回波分量被用于雷達(dá)成像任務(wù)。

2.1 低秩聯(lián)合稀疏模型

將N個(gè)天線位置處接收的回波統(tǒng)一用矩陣表示，G∈RN×T，其中T為回波g1:n(t)的采樣數(shù)。由于穿墻雷達(dá)的天線均平行于建筑物墻體平行放置，即各天線接收到的墻體回波是近似相同的，所以墻體回波矩陣Gw的每一列都相等或近似相等。而在整個(gè)探測(cè)區(qū)域中，所感興趣的目標(biāo)只占據(jù)很小的面積，即目標(biāo)回波矩陣Gta的大部分元素都為零。式(1)可以用矩陣形式重寫(xiě)為

G=Gw+Gta+S，

(5)

其中,墻體回波矩陣Gw是一個(gè)低秩矩陣，目標(biāo)回波矩陣Gta具有稀疏特性。

為了去除墻體回波的影響并分離出目標(biāo)回波進(jìn)行成像，需要對(duì)墻體回波矩陣Gw和目標(biāo)回波矩陣Gta進(jìn)行估計(jì)。由此，回波分離任務(wù)可以轉(zhuǎn)化為下述優(yōu)化問(wèn)題

(6)

其中,ξ是一個(gè)非負(fù)參數(shù)，用于平衡稀疏約束和低秩項(xiàng)，η為正則化參數(shù)，‖·‖*和‖·‖1分別表示核范數(shù)和l1范數(shù)，‖·‖F(xiàn)為矩陣的二范數(shù)。

文獻(xiàn)[17]中提出一種TFOCS方法用于求解式(6)，然而該方法在處理存在噪聲的情況時(shí)，不具有穩(wěn)健性。為克服這一缺點(diǎn)，文獻(xiàn)[12]提出一種迭代算法，首先使用奇異值的軟閾值估計(jì)低秩矩陣，然后軟閾值迭代用于稀疏重構(gòu)。不過(guò)該方法涉及奇異值，分解運(yùn)算較為復(fù)雜，且對(duì)參數(shù)設(shè)置敏感。為克服上述缺點(diǎn)，一種交替方向乘子法在下文給出。

2.2 ADMM方法用于雜波抑制

為更好地求解式(6)，引入一個(gè)輔助指示矩陣A∈{0,1}N×T，其中元素A(n,t)=1代表所對(duì)應(yīng)的回波矩陣元素為目標(biāo)的回波，反之，A(n,t)=0則為背景噪聲。同樣地，為避免復(fù)雜的奇異值分解運(yùn)算，文獻(xiàn)[18]給出了當(dāng)rank(Gw)=R≤min(N,T)時(shí)，雙線性因子分解(Bilinear Factorization, BF)可以用于代替核范數(shù)最小化(Nuclear Norm Minimization, NNM)

(7)

U∈RN×R,V∈RR×T，R為矩陣Gw的秩。結(jié)合式(7)，優(yōu)化問(wèn)題(6)可以重新寫(xiě)為

(8)

其中，1代表全一矩陣，⊙為Hadamard內(nèi)積算子。

優(yōu)化式(8)是一個(gè)由多個(gè)凸函數(shù)組成的可分離的優(yōu)化問(wèn)題，交替方向乘子法可被用于求解該問(wèn)題，其增廣拉格朗日方程可以寫(xiě)為

(9)

在式(9)中，λ為拉格朗日乘子，β為懲罰因子。由交替方向乘子法知，原優(yōu)化問(wèn)題可以分離為關(guān)于U,V和Gw的迭代求解子問(wèn)題：

(10)

對(duì)于式(10)，U、V和Gw的閉式解可以通過(guò)固定其余變量，使其對(duì)應(yīng)導(dǎo)數(shù)為零而計(jì)算得出。由此，式(9)中的各變量的迭代形式為

(11)

在式(9)和式(11)中，指示矩陣A在第k步迭代中的更新為

(12)

3 數(shù)值仿真結(jié)果

在本章中，數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果展示了筆者所提出的雜波抑制算法在各種情況下的性能，以及墻體的厚度、材質(zhì)和結(jié)構(gòu)對(duì)雜波抑制算法的影響。實(shí)驗(yàn)所使用的穿墻雷達(dá)數(shù)據(jù)集來(lái)自于電磁仿真軟件gprMax[19]。

3.1 墻體參數(shù)的影響

圖2 實(shí)驗(yàn)設(shè)置示意圖

在本實(shí)驗(yàn)中，將驗(yàn)證墻體的厚度、材質(zhì)和結(jié)構(gòu)對(duì)于筆者提出的雜波抑制算法的影響。在圖2所示的實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ椭?，收發(fā)天線在0.07 m處，被水平放置101個(gè)位置，建筑物外墻墻面距離收發(fā)天線3 cm。一個(gè)半徑為3.5 cm金屬圓柱體被放置在建筑物內(nèi)用于表示目標(biāo)。整個(gè)場(chǎng)景中距離向從0.07 m位置到2 m位置，方位向0 m位置到3 m位置區(qū)域被用于成像。

在整個(gè)探測(cè)過(guò)程中，雷達(dá)收發(fā)天線在各位置上，依次發(fā)射和接收電磁波信號(hào)。在文中，穿墻雷達(dá)系統(tǒng)所發(fā)射的雷達(dá)信號(hào)為中心頻率fc=1GHz的雷克子波(Ricker)信號(hào)。在雜波抑制的算法中，各參數(shù)設(shè)置為η=5,ξ=0.1,R=3,β=1。

為客觀評(píng)估所提出的雜波抑制算法性能，采用目標(biāo)雜波比(Target-to-Clutter Ratio, TCR)作為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，通過(guò)比較雷達(dá)成像結(jié)果中的目標(biāo)所占區(qū)域的能量和其余區(qū)域的能量的大小。比值越大，目標(biāo)在成像中越明顯，即越容易檢測(cè)。

(13)

其中，Rt和Rc分別為穿墻雷達(dá)成像結(jié)果中的目標(biāo)范圍和其他區(qū)域，Nt為目標(biāo)范圍所占據(jù)的像素?cái)?shù)，Nc同理為其他區(qū)域的像素?cái)?shù)。

首先，研究了墻體材質(zhì)對(duì)雜波抑制算法的影響，通過(guò)改變仿真軟件中不同墻體材質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)εw，實(shí)現(xiàn)對(duì)不同墻體材質(zhì)的研究。在該實(shí)驗(yàn)中，將墻體結(jié)構(gòu)設(shè)置為單一材質(zhì)均勻分布的結(jié)構(gòu)，墻體厚度為10 cm。筆者共測(cè)試了5種材質(zhì)的墻體，包括兩種不同的木質(zhì)墻，一種細(xì)砂礫澆筑的以及另外兩種含水量不同的混凝土墻體。實(shí)驗(yàn)結(jié)果在表1中給出。所有的實(shí)驗(yàn)結(jié)果都是來(lái)自10次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的平均值。

表1 不同材質(zhì)墻體下的探測(cè)結(jié)果

表2 不同厚度墻體下的探測(cè)結(jié)果

在表1中，最終成像結(jié)果的目標(biāo)雜波比并沒(méi)有伴隨材質(zhì)的變化而出現(xiàn)顯著變化，目標(biāo)雜波比的輕微下降可以解釋為墻體材質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)εw的上升導(dǎo)致的雷達(dá)回波能量的衰落程度的加劇。墻體厚度對(duì)雜波抑制算法的影響的實(shí)驗(yàn)結(jié)果在表2中給出。在該實(shí)驗(yàn)中，將墻體設(shè)置為由相對(duì)介電常數(shù)εw=6的單質(zhì)混凝土墻體。

表3 不同結(jié)構(gòu)墻體下的探測(cè)結(jié)果

隨著墻體厚度的增加，成像結(jié)果的目標(biāo)雜波比有顯著的下降趨勢(shì)，這是由于墻體越厚，雷達(dá)發(fā)射的電磁波穿透建筑物墻體所損失的能量也就越多。最后，由于在以往穿墻雷達(dá)研究中，墻體設(shè)置往往為單質(zhì)墻體，缺乏對(duì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)的墻體的研究。而在實(shí)際生活中，單質(zhì)均勻墻體并不常見(jiàn)，更多的建筑則是采用鑲嵌鋼筋的混凝土墻體作為外墻，以及空心磚堆砌的內(nèi)墻。此外在單質(zhì)墻體表面貼合另一種材質(zhì)(如瓷磚、大理石等)的結(jié)構(gòu)也很常見(jiàn)。因此在這部分的實(shí)驗(yàn)中，實(shí)驗(yàn)了4種不同結(jié)構(gòu)的墻體，其中3層結(jié)構(gòu)是指單質(zhì)墻體的兩側(cè)都貼合了另一種材質(zhì)的結(jié)構(gòu)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果在表3中給出。

以上實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明筆者所提出的雜波抑制算法在不同墻體情況下，都能夠有效緩解穿墻雷達(dá)探測(cè)中建筑物墻體帶來(lái)的負(fù)面影響，并且無(wú)需事先根據(jù)墻體的不同構(gòu)造調(diào)整雜波抑制算法的參數(shù)。同時(shí)，相對(duì)于墻體的材質(zhì)和結(jié)構(gòu)對(duì)雷達(dá)探測(cè)的影響，墻體的厚度更是決定性因素。

3.2 穿墻雷達(dá)成像結(jié)果

在這部分實(shí)驗(yàn)中，將筆者提出的雜波抑制算法和現(xiàn)有的算法進(jìn)行了對(duì)比。實(shí)驗(yàn)分為單目標(biāo)場(chǎng)景和雙目標(biāo)場(chǎng)景。場(chǎng)景尺寸設(shè)置和上文實(shí)驗(yàn)相同，墻體是厚度為30 cm的鋼筋混凝土墻。單目標(biāo)場(chǎng)景中，目標(biāo)為一個(gè)半徑為3.5 cm的金屬圓柱體，放置于(1.3, 1.1)處。圖3給出了實(shí)驗(yàn)結(jié)果，其中圖3(a)為筆者提出的雜波抑制算法處理后的成像結(jié)果，圖3(b)為文獻(xiàn)[12]提出的軟閾值迭代算法處理后的結(jié)果，圖3(c)為文獻(xiàn)[9]提出的奇異值分解方法處理后的結(jié)果。

圖3 單目標(biāo)場(chǎng)景實(shí)驗(yàn)結(jié)果

由圖3可以看出，筆者提出的雜波抑制算法相較于現(xiàn)有算法，在雷達(dá)成像中能得到更高的目標(biāo)雜波比。對(duì)比算法中，軟閾值迭代算法雖然能得到相近的成像結(jié)果，但是該算法存在較高的算法復(fù)雜度和依賴(lài)參數(shù)設(shè)置等缺點(diǎn)?；谄娈愔捣纸獾碾s波抑制方法，并不能有效抑制全部的墻體回波，導(dǎo)致成像中出現(xiàn)許多虛影，這可能是由于本實(shí)驗(yàn)采用的復(fù)雜墻體結(jié)構(gòu)導(dǎo)致奇異值分解方法失效。此外，筆者提出的雜波抑制算法計(jì)算復(fù)雜度為O(ktotal(3(R3+R2+R2(N+T))+4RNT+NT))，其中，sSVT為算法收斂試的迭代次數(shù)，R為矩陣Gw的秩；文獻(xiàn)[12]中的軟閾值迭代方法的計(jì)算復(fù)雜度為O(kSVT(NT2+2N2T))，其中,kSVT為迭代次數(shù)；文獻(xiàn)[9]的計(jì)算復(fù)雜度為O(2NT2)。由于R≤min(N,T)，且實(shí)驗(yàn)中取值往往遠(yuǎn)小于{N,T}。因此該方法具有更低的運(yùn)算復(fù)雜度。在雙目標(biāo)實(shí)驗(yàn)中，將兩個(gè)半徑為2cm的金屬圓柱體目標(biāo)分別放置在(1.7, 1.0)和(1.2, 1.2)處，實(shí)驗(yàn)結(jié)果在圖4中給出。

圖4 雙目標(biāo)場(chǎng)景實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖5 不同信噪比下的提出算法的抑制效果

由圖4的實(shí)驗(yàn)結(jié)果知，筆者提出的雜波抑制算法處理后得到的雷達(dá)成像結(jié)果更具有更高的目標(biāo)雜波比。對(duì)比算法中，軟閾值迭代算法處理后的成像中，右側(cè)目標(biāo)有明顯的拖尾現(xiàn)象?；谄娈愔捣纸獾姆椒ㄌ幚砗?，兩個(gè)目標(biāo)中間出現(xiàn)了能量近似的虛影，兩個(gè)目標(biāo)也出現(xiàn)失焦現(xiàn)象。值得注意的是，在所有算法的成像結(jié)果中，目標(biāo)間都存在不同程度的虛影，這是由于兩個(gè)目標(biāo)距離接近時(shí)，目標(biāo)間相互作用的結(jié)果。

最后，測(cè)試了筆者提出的雜波抑制算法在不同信噪比(Signal-to-Noise Ratio, SNR)和存在一定比例數(shù)據(jù)丟失的情況下的性能，實(shí)驗(yàn)中，接收到的雷達(dá)回波信號(hào)的信噪比從24 dB逐步下降至-12 dB，數(shù)據(jù)丟失情況包括無(wú)丟失、20%丟失和40%丟失的情況。實(shí)驗(yàn)結(jié)果在圖5中給出。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，筆者提出的雜波抑制算法在低信噪比(0 dB)和高比例(40%)數(shù)據(jù)丟失情況下，所得到的雷達(dá)成像結(jié)果依然能保持12 dB以上的目標(biāo)雜波比值。

4 結(jié)束語(yǔ)

筆者提出了一種用于穿墻雷達(dá)的雜波抑制方法。這種方法中，由于墻體回波具有的低秩特性和目標(biāo)回波的稀疏特性，雜波抑制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)低秩聯(lián)合稀疏優(yōu)化模型。之后，交替方向乘子方法被用于求解該優(yōu)化模型，分離出墻體回波后，延時(shí)求和波束成形算法用于雷達(dá)成像。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，筆者提出的雜波抑制方法在各種場(chǎng)景下都能有效解決墻體回波造成的目標(biāo)掩蓋問(wèn)題。