Burgers-Huxley方程的兩類精確解

夏鴻鳴，高忠社

（天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,甘肅 天水741001）

1 引 言

形如

(其中ε,α,β,γ,m 為正常數(shù))的方程稱為Burgers-Huxley 方程，是由Satsuma 于1986 年首次提出的.[1]方程(1)是一類非線性反應(yīng)擴散方程，它描述了對流效應(yīng)和擴散傳輸之間的互動反應(yīng).此外，方程(1)還是一些著名的非線性方程的一般形式，例如，

當(dāng)β=0，γ=0，ε=1時，方程(1)為Burgers方程

當(dāng)m=1，α=0，β=1，γ=0，ε=1 時，方程(1)為Huxley方程

當(dāng)m=1，α=0，β=1，ε=1 時，方程(1)為Fitzhugh-Nagumo方程

由于方程(1)的十分重要的理論和應(yīng)用價值，受到了許多研究工作者的關(guān)注并得到了大量的研究成果，Khadija Gilani，S.C.Shiralashetti，Neeraj Kumar Tripathi求得了方程(1)的數(shù)值解，[2-4]鄧習(xí)軍研究了其行波解，[5]N.A.Kudryashov 研究了其精確解，[6]王勤龍等討論了方程(1)的平衡點及分支類型.[7]

非線性偏微分方程因其更精確、更廣泛地描述了眾多自然現(xiàn)象而成為數(shù)學(xué)和物理研究的主流方向，但是其解析解法卻是一個難點。近些年來，該問題得到了很大的突破，人們用反散射方法、[8]Backlund 變換、[9]雙線性方法，[10]齊次平衡法、[11]Riccati 方程映射法[12]和分離變量法[13]等多種方法得到了大量非線性偏微分方程的精確解、行波解、孤立子解，試探函數(shù)法也是其中較為有效的方法之一，學(xué)者們使用試探函數(shù)法求得了一些非線性偏微分方程的精確解，[14-17]高忠社等人求出了特殊形式的Burgers-Huxley 方程的奇異行波解和扭狀孤波解，[18]本文嘗試使用試探函數(shù)方法對一般情形的Burgers-Huxley 方程(1)展開討論.

2 方法簡介

文獻(xiàn)[15]利用Cole-Hopf 變換，通過選擇適當(dāng)?shù)脑囂胶瘮?shù)，將非線性偏微分方程化為一個代數(shù)方程組，再利用待定系數(shù)法確定相應(yīng)的常數(shù)，可得非線性偏微分方程的解析解.具體過程如下：

對于非線性偏微分方程

引入試探函數(shù)如下:

其中u0,a,b,k,ω 為待定常數(shù)，則有

將(3)～(7)代入方程(2)可得相應(yīng)的代數(shù)方程組，將代數(shù)方程組的解回代到(3)，即可求得方程(2)的精確解.

3 非線性Burgers-Huxley方程的求解

考慮Burgers-Huxley方程

其中p,q 為常數(shù).將(3)～(7)式代入方程(8)，得到如下的代數(shù)方程：

為使(9)式對任意的實數(shù)σ 都成立，需要如下代數(shù)方程組

存在（其中b 為任意的常數(shù)）.求解(10)式,得方程組關(guān)于p,q 的解

同理，將(12)式中的u0和a 代入(3)式，可得

(13)和(14)式為方程(8)的行波解，對應(yīng)于b 的不同取值，可以得到方程(7)的多個不同的特解.例如：

情形1令b=1，由(13)和(14)式，可得方程(8)的扭狀孤波解

情形2令b=-1，由(13)和(14)式，可得方程(8)的奇異行波解

由于雙曲函數(shù)和三角函數(shù)具有如下關(guān)系

作變換k=ik,ω=iω，還可以進(jìn)一步討論(15)和(16)周期波解的相關(guān)性質(zhì)，從略.

給予b 不同的值，所得方程(8)的解的結(jié)構(gòu)和相關(guān)性質(zhì)可以使用如上的方法進(jìn)行討論，本文不再贅述.