相鄰兩顆粒在水中沉降的動力學(xué)模擬

龍 佳，吳維新，苗子旭，庫建剛

(福州大學(xué)紫金礦業(yè)學(xué)院，福建 福州 350108)

0 引言

在礦物加工領(lǐng)域，顆粒沉降廣泛存在于磨礦、分級、選別及精礦和尾礦濃縮作業(yè)中，而且顆粒的沉降速度對這些作業(yè)影響較大[1].在尾礦濃縮作業(yè)中，尾礦沉降是一個極其復(fù)雜的物理化學(xué)過程，其中顆粒的沉降速度是影響尾礦濃縮及廢水利用效率的重要因素[2-5].對于大多數(shù)尾礦來說，80%的顆粒粒徑小于74 μm，77%小于45 μm[6]，尾礦的平均密度約為2 722 kg·m-3[7]，因此對微細顆粒沉降動力學(xué)的研究具有十分重要的意義.國內(nèi)外學(xué)者通過直接數(shù)值模擬和實驗方法對顆粒沉降動力學(xué)進行了大量的研究.

Feng等[8]通過有限元方法模擬兩個相同的圓形顆粒在牛頓流體中的沉降過程，發(fā)現(xiàn)典型的DKT(拖曳-碰撞-翻滾)沉降現(xiàn)象.在此基礎(chǔ)上，不少學(xué)者發(fā)現(xiàn)在沉降過程中不同條件下兩個顆粒容易出現(xiàn)DKT現(xiàn)象的位置不同[9-10]，只有當沉降顆粒尺寸差異很小時，兩個顆粒才會重復(fù)進行DKT現(xiàn)象[11].同時，在顆粒沉降過程中，顆粒自身特性和外部沉降環(huán)境是影響顆粒沉降的關(guān)鍵所在,不同雷諾數(shù)流體中顆粒沉降特性不同[12-13].陳榮前等[14]研究發(fā)現(xiàn)側(cè)向力的振動頻率與雷諾數(shù)Re呈二次關(guān)系；胡平等[15]研究不同傾斜角度通道內(nèi)的3個剛體圓形顆粒的沉降特性，發(fā)現(xiàn)當Re越大或3個顆粒的直徑大小不均勻時，均能促使顆粒加快聚集.常建忠等[16]采用粒子圖像測速儀研究球形顆粒的沉降特性，發(fā)現(xiàn)顆粒沉降受Re和沉降初始釋放位置的影響.此外，查露等[17]對三維懸浮顆粒群進行全解析直接數(shù)值模擬，詳細分析1 000數(shù)量級的顆粒沉降規(guī)律.劉漢濤等[18]對熱對流條件下雙顆粒沉降進行了直接數(shù)值模擬，發(fā)現(xiàn)雙顆粒在等溫、熱流體和冷流體中運動形式是不同的.孫銘陽等[19]通過比較液固分選流化床內(nèi)顆粒所受到的各種力，簡化了顆粒動力學(xué)方程；并發(fā)現(xiàn)梯度力、虛擬質(zhì)量力、流體阻力及慣性力在LSFBS主分選區(qū)內(nèi)量級相同，而Magnus力、Saffman力和Basset力可以忽略不計.綜上所述，目前很少有公開的文獻討論兩個微細顆粒(d≤74 μm)在不同構(gòu)型下沉降過程的相互作用.本文通過有限元方法對顆粒的沉降過程進行直接數(shù)值模擬，研究兩個微細球形顆粒的密度、大小、初始間距和相對角度對沉降過程的影響，分析各種參數(shù)對顆粒-流體和顆粒-顆粒相互作用的影響，為礦物加工中尾礦的濃縮等作業(yè)提供理論依據(jù).

1 單個顆粒沉降實驗

1.1 材料與試劑

單個顆粒的沉降實驗采用的流體為Brookfield粘度標準液，流體粘度μ=4.87 Pa·s，流體密度ρf=969.19 kg·m-3.沉降使用的顆粒為不銹鋼圓珠筆鋼珠,顆粒直徑d=0.5 mm,顆粒密度ρs=7 890 kg·m-3.

1.2 實驗設(shè)備

沉降實驗所用的容器為有機玻璃制成的方形毛細管，毛細管高度為80 mm，內(nèi)徑3 mm，外徑4 mm，即沉降通道的寬度為6d.顆粒釋放采用KDS-100微流注射泵.拍攝采用MacroVisEosens-300高速相機，最高拍攝速度可達285 000 fps，放大倍數(shù)可達40倍;單目顯微鏡(相機配套)，放大倍數(shù)可達100倍.XD-300-250W型冷光源，能提供最大光通量1 000 lm.實驗過程采用的裝置示意圖如圖1所示.

圖1 試驗裝置示意圖Fig.1 Schematic diagram of test device

1.3 實驗方法

實驗在室溫條件下進行，工作流體采用Brookfield粘度標準液(具有優(yōu)良的溫度穩(wěn)定性，確定的粘度，可在模擬中作為固定參數(shù)使用).實驗開始前將流體緩慢加入容器中并靜置，避免產(chǎn)生氣泡而影響沉降過程.開啟相機、相機控制軟件和光源，對沉降容器的側(cè)面進行照射，調(diào)整高速相機的鏡頭中心對準光源的中心，形成拍攝平面，調(diào)節(jié)相機，使相機成像清晰.調(diào)整完成后相機開始拍攝，開啟微流注射泵，以接近0的速度將顆粒推入沉降容器的中心位置，顆粒在重力的作用下開始下沉，相機記錄下顆粒的沉降過程，輸出圖片，并通過PS軟件處理分析圖片，獲得顆粒在豎直方向上的位移隨時間的變化規(guī)律.

1.4 物理模擬

通過COMSOL Multiphysics有限元模擬軟件，建立了顆粒沉降模型.雙顆粒沉降過程的模擬所用的物理模型如圖2所示，計算區(qū)域為lx×ly，兩球中心連線與水平面的夾角為θ，小球直徑為d，球心連線的距離為l.在物理模型中將邊界約束設(shè)置為滑移壁，以避免壁面對顆粒沉降的影響，同時為了便于描述，引入無量綱參數(shù)l/d(取K=l/d)作為兩小球之間的相對距離.表1為模擬過程中設(shè)定各參數(shù).

圖2 物理模型Fig.2 Physical model

表1 模擬參數(shù)Tab.1 Parameters of simulation

2 動力學(xué)模型

納維-斯托克斯方程是用于描述流體運動的方程，可以看作是流體運動的牛頓第二定律.對于不可壓縮的牛頓流體，可以得到：

(1)

式中：ρ是流體密度；u是流體速度；▽是漢密頓算子；p是流體壓力；μ是流體動力粘度.

顆粒運動方程：

(2)

式中：v是顆粒速度；X是顆粒位移矢量；F是作用在顆粒上的力；M是作用在顆粒上的力矩.

采用有限元法對空間結(jié)構(gòu)進行離散，在網(wǎng)格劃分過程中對流體流動方程采用歐拉描述，而固體顆粒則采用拉格朗日描述，同時在采用ALE(任意拉格朗日-歐拉描述)處理顆粒運動時顆粒表面節(jié)點隨顆粒一起運動，流體內(nèi)部的網(wǎng)格節(jié)點位置通過修正的Laplace方程計算出來.

3 結(jié)果與討論

3.1 模型驗證結(jié)果

采用高速相機記錄單個顆粒沉降的動態(tài)過程，將所獲得的結(jié)果與數(shù)值模擬所獲得的結(jié)果進行對比，來驗證計算模型的可靠性,結(jié)果如圖3所示.圖3中每張照片間的時間間隔為5 s，由圖可得小球在每段時間內(nèi)的位移，將其與數(shù)值模擬所得的數(shù)據(jù)共同繪制成圖4.

圖3 單個球形顆粒沉降軌跡圖Fig.3 Settlement trajectory of single spherical particle

圖4 顆粒沉降方向的位移隨時間的變化Fig.4 Displacement of particle settling direction changes with time

由圖4可看出數(shù)值模擬結(jié)果與實驗結(jié)果幾乎一致,表明試驗和模擬的吻合度很高，可以用模擬對顆粒沉降的動力學(xué)行為進行研究，進而通過模擬不同粒徑的球形顆粒在水中的沉降過程，探討其粒徑對雙顆粒沉降過程的影響.

3.2 雙顆粒在水中沉降模擬結(jié)果及討論3.2.1 初始取向角對相同兩顆粒沉降過程的影響

首先考察θ對兩個相同的顆粒沉降相互作用的影響.兩顆粒的K=4、ρs=3 500 kg·m-3及d=45 μm固定，改變兩顆粒初始取向角θ(0°、30°、45°、60°、75°、80°、85°、90°)，結(jié)果如圖5所示.可看出隨著θ增大，兩顆粒的運動過程大概可以總結(jié)為3種狀態(tài)：相互遠離(θ=0°、30°、45°)、先靠近后遠離未發(fā)生碰撞(θ=60°、75°、80°、85°)、靠近接近碰撞并然后遠離(θ=90°).可以看出θ的減小，兩顆粒的相互作用越趨向于相互遠離的狀態(tài).

3.2.2初始間距對相同兩顆粒沉降過程的影響

為考察K對兩個相同的顆粒沉降相互作用的影響，取θ=75°、ρs=3 500 kg·m-3及d=45 μm，改變顆粒的初始間距K=2、3、4，計算兩顆粒的沉降過程，結(jié)果如圖6所示.可看出在一定范圍內(nèi)改變K的大小并不會改變兩個顆粒的相對運動趨勢，即兩顆粒的運動狀態(tài)一直為先靠近后遠離未發(fā)生碰撞.

圖5 不同θ條件下K隨時間的變化Fig.5 Change of K with time under different θ

圖6 不同初始K條件下K隨時間的變化Fig.6 Change of K with time under different initial K

3.2.3密度對相同的兩顆粒沉降過程的影響

通過同時改變兩顆粒的密度ρs(2 500、3 500、4 500 kg·m-3)，但d=45 μm、K=4固定不變，分別計算θ=90°及θ=75°時兩顆粒的沉降過程，考察顆粒密度對相同兩顆粒沉降過程的影響，結(jié)果如圖7所示.可看出同時增大或減小兩顆粒的密度并不能改變兩顆粒的總體運動趨勢，只是當密度增大時，會加快兩顆粒的靠近速度.

圖7 不同ρs條件下K隨時間的變化Fig.7 Change of K with time under different ρs

3.2.4同時增大兩顆粒粒徑時對沉降過程的影響

圖8 不同顆粒d條件下K隨時間的變化Fig.8 Change of K with time under different particle d

考察同時增大相同兩顆粒的粒徑對它們相互作用的影響.兩顆粒的初始取向角θ=75°、初始間距K=4及密度ρs=3 500 kg·m-3固定，同時增大或減小兩顆粒的粒徑，結(jié)果如圖8所示.由圖可看出兩種情況下K隨時間的變化趨勢相似，只是粒徑較大的兩顆粒相互靠近所用的時間較短，同時相互遠離的所用的時間也較短.

3.2.5粒徑相同密度不同和密度相同粒徑不同的兩顆粒的沉降過程

首先考察了兩顆粒粒徑相同時，改變其中一個顆粒的密度大小對兩顆粒沉降過程的影響.固定θ=90°、d=45 μm及K=4，改變位于上方顆粒的密度ρs(2 500、3 000和3 500 kg·m-3)，結(jié)果如圖9(a)所示.由圖可看出，隨著兩顆粒密度差的減小，K隨時間的變化，兩顆粒的相互作用方式出現(xiàn)了3種狀態(tài)：保持相互遠離、先遠離后靠近和保持相互靠近.兩顆粒密度分別為3 000和3 500 kg·m-3時，兩顆粒的相互作用方式為一種新的作用方式，即先遠離后靠近.

在兩顆粒的初始取向角θ=75°時，固定兩顆粒的初始間距K=4和顆粒密度ρs=3 500 kg·m-3，保持其中一個的粒徑d=45 μm，改變另一個顆粒的粒徑(45、50、60 μm)，考察了單個顆粒粒徑的變化對兩顆粒沉降過程的影響,結(jié)果如圖9(b)所示.由圖可以看出兩顆粒的相互作用方式出現(xiàn)了3種方式：先靠近后遠離、先遠離后靠近再遠離、先遠離后靠近.當兩顆粒的粒徑d分別為45 μm和50 μm時，在計算時間內(nèi)，觀察到新的一種兩顆粒的作用關(guān)系，即先遠離后靠近再遠離的過程，且首次遠離所經(jīng)歷的時間極短.

圖9 不同初始條件下K隨時間的變化Fig.9 Change of K with time under different initial condition

3.2.6粒徑和密度都不同的兩顆粒的相互作用關(guān)系

考察同時改變顆粒的粒度和密度對它們相互作用的影響.固定兩顆粒的初始取向角θ=75°和兩顆粒間的初始間距K=4，結(jié)果如圖10所示.

圖10 兩顆粒的無量綱間距K隨時間的變化Fig.10 Change of dimensionless spacing K between two particles with time

由圖10可看出大粒徑、小密度和小密度、大粒徑的兩顆粒的沉降過程的變化趨勢大不相同，減小大粒徑顆粒的密度可以促進兩顆粒的相互靠近過程.

4 結(jié)語

1)單顆粒在沉降方向上位移的實驗結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果基本一致，計算模型較為準確.

2)兩微細顆粒沉降時的相互作用可以歸結(jié)為四種狀態(tài)：保持相互遠離、先靠近并接近碰撞然后再遠離、先靠近后遠離不發(fā)生碰撞和先遠離后靠近再遠離不發(fā)生碰撞.對于兩個微細粒顆粒的相互作用，顆粒-顆粒之間難以發(fā)生碰撞現(xiàn)象，在顆粒-顆粒接近碰撞時顆粒會受流體的作用而相互分離.

3)對于完全相同的兩顆粒，在其他條件不變的條件下，兩顆粒的初始取向角θ越小，兩顆粒的相互作用方式就越趨向于相互遠離.在初始取向角θ不變的條件下，同時改變兩顆粒的無量綱間距K或顆粒粒徑d或顆粒密度ρs，并不能改變他們的總體運動趨勢，但是單獨改變其中一個顆粒的粒徑d和顆粒密度ρs時，兩顆粒的運動狀態(tài)可能發(fā)生變化.