幾何綜合測(cè)試卷

張春紅

一、填空題

1.已知a，b是兩條不重合的直線，α，β，γ是三個(gè)不重合的平面，給出下列命題：

①若α∥β，aα，則a∥β;

②若a∥α，b∥α，則a∥b;

③若α⊥β、β⊥γ，則α∥γ;

④若a⊥α，a⊥β，則α∥β.

其中正確的命題的序號(hào)是 .

2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線x24-y2b2=1（b>0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，6），則該雙曲線的漸近線方程是 .

3.矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角BACD，則四面體ABCD的外接球的體積為 .

4.已知拋物線y2=2px（p>0）上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離等于2p，則直線MF的斜率為 .

5.已知橢圓C：x2+y2n=1（n>0）的離心率為32，則n的值為 .

6.已知橢圓C1：x2m2+y2=1（m>1）與雙曲線C2：x2n2-y2=1（n>0）的焦點(diǎn)重合，若雙曲線的頂點(diǎn)是橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)，曲線C1，C2的離心率分別為e1，e2，則e1·e2的值為 .

7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)作垂直于x軸的直線l，l與雙曲線的漸近線交于A、B兩點(diǎn)，且三角形ABO為等腰直角三角形，若雙曲線的頂點(diǎn)到它的漸近線的距離為2，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .

8.已知單位圓被兩條平行直線l1：x-y+a=0，l2：x-y+b=0分成四段長(zhǎng)度相等的圓弧，則a2+b2= .

9.若圓C過(guò)直線2x+y+4=0和圓（x+1）2+（y-2）2=4的交點(diǎn)，則圓C面積的最小值為 .

10.過(guò)點(diǎn)M（1，0）的直線l與橢圓x22+y2=1交于A、B兩點(diǎn)，若AM=2MB則直線l的斜率為 .

11.已知圓C1：x2+y2=4和圓C2：x2+y2-ay-6=0（a>0）的公共弦長(zhǎng)為23，則a= .

12.橢圓x212+y23=1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，如果線段PF1交y軸于Q，且PQ=13PF1，則PF1PF2= .

13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：x24+y2=1，直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)O到直線AB的距離為1時(shí)，則△OAB面積的最大值為 .

14.橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，P是橢圓上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，且PF⊥x軸，B為橢圓的下頂點(diǎn)，BP交x軸于Q，且PA=PQ，則橢圓的離心率為 .

二、解答題

15.如圖，在直棱柱ABCA1B1C1中，BC⊥AC，AC=CC1，D，E分別是棱AB，AC上的點(diǎn)，且BC∥平面A1DE.

（1）證明：DE∥平面A1B1C1;

（2）求證：AC1⊥A1B.

16.如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）左、右焦點(diǎn)，A是橢圓C的上頂點(diǎn)，B是直線AF2與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)，且滿足∠F1AF2=90°.

（1）求橢圓C的離心率;

（2）若△ABF1面積為4，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

17.已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F2且不與x軸垂直的動(dòng)直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C右準(zhǔn)線上一點(diǎn)，連結(jié)PM，PN，當(dāng)點(diǎn)P為右準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn)時(shí)，有2PF2=F1F2.

（1）求橢圓C的離心率;

（2）當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，1）時(shí)，求直線PM與直線PN的斜率之和.

18.如圖，馬路l南邊有一小池塘，池塘岸MN長(zhǎng)40米，池塘的最遠(yuǎn)端O到l的距離為400米，且池塘的邊界為拋物線型，現(xiàn)要在池塘的周邊建一個(gè)等腰梯形的環(huán)池塘小路AB，BC，CD，且AB，BC，CD均與小池塘岸線相切，記∠BAD=θ.

（1）求小路的總長(zhǎng)，用θ表示;

（2）若在小路與小池塘之間（圖中陰影區(qū)域）鋪上草坪，求所需鋪草坪面積最小時(shí)，tanθ的值.

19.已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C：x2a2+y23=1（a>0）的焦距為2，A，B分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，M，N為橢圓C上的兩點(diǎn)（異于A，B），連結(jié)AM，BN，MN，且BN斜率是AM斜率的3倍.

（1）求橢圓C的方程;

（2）證明：直線MN恒過(guò)定點(diǎn).

20.已知橢圓C：y2a2+x2b2=1（a>b>0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（22，1），F(xiàn)（0，1）是C的一個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F點(diǎn)且不垂直于x軸的動(dòng)直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn).

（1）求橢圓C的方程;

（2）是否存在定點(diǎn)M（異于點(diǎn)F），對(duì)任意的動(dòng)直線l都有kMA+kMB=0，若存在求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

理科選做題

21.如圖所示，三棱錐ABCD中，BA，BC，BD兩兩垂直，且BA=BC=BD，AE=CE.

（1）若AF=FD，求二面角AEFB的余弦值;

（2）若面BEF⊥面ACD，求AFAD.

22.已知拋物線E：y2=4x，過(guò)點(diǎn)Q（2，0）作直線與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上異于A，B兩點(diǎn)的一動(dòng)點(diǎn)，直線PA，PB與直線x=-2交于M，N兩點(diǎn).

（1）證明：M，N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值;

（2）求△MNQ面積的最小值.

參考答案

一、填空題

1.①④

2.y=±22x

3.1256π

4.±3

5.14或4

6.53

7.x24-y24=1

8.2

9.4π5

10.±142

11.2

12.115

13.1

14.22

二、解答題

15.因?yàn)锽C∥平面A1DE，BC平面ABC，平面ABC∩平面A1DE=DE，

所以BC∥DE，

又在直棱柱ABCA1B1C1中，有BC∥B1C1，

所以B1C1∥DE，又因?yàn)锽1C1平面A1B1C1，DE平面A1B1C1，所以DE∥平面A1B1C1.

（2）連接A1C，

因?yàn)槔庵鵄BCA1B1C1為直棱柱，所以CC1⊥平面ABC，

又BC平面ABC，所以BC⊥CC1，

又因?yàn)锽C⊥AC，AC平面ACC1A1，

CC1平面ACC1A1，AC∩CC1=C，

所以BC⊥平面ACC1A1，

又A1C平面ACC1A1，

所以BC⊥AC1.

在直棱柱ABCA1B1C1中，有四邊形AA1C1C為平行四邊形，

又因?yàn)锳C=CC1，所以四邊形AA1C1C為菱形，

所以AC1⊥A1C.

又BC∩A1C=C，BC平面A1BC，A1C平面A1BC，

所以AC1⊥平面A1BC，

又A1B平面A1BC，

所以AC1⊥A1B.

16.（1）因?yàn)椤螰1AF2=90°，

所以b=c，

所以a=2c，

所以e=22.

（2）y=-x+cx2+2y2=2c2，

得B（43c，-c3），

S△ABC=12F1F2|yA-yB|=c×4c3=4，

c2=3，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x26+y23=1.

17.解：（1）由已知當(dāng)P為右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)時(shí)，有2PF2=F1F2，

∴2（a2c-c）=2c，∴2c2=a2，

∴e2=12，又e∈（0，1），∴e=22.

（2）∵P（2，1），∴a2c=2，

又a2=2c2，∴a2=2c2=1，∴b2=1，

∴橢圓C：x22+y2=1，

設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），

聯(lián)立y=k（x-1）x2+2y2=2，

得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0，

則x1+x2=4k21+2k2，x1x2=2k2-21+2k2，

∴kPM+kPN=y1-1x1-2+y2-1x2-2

=k（x1-1）-1x1-2+k（x2-1）-1x2-2

=k（x1-2）-1+kx1-2+k（x2-2）-1+kx2-2

=k+k-1x1-2+k+k-1x2-2

=2k+（k-1）（1x1-2+1x2-2）

=2k+（k-1）x1+x2-4（x1-2）（x2-2）

=2k+（k-1）x1+x2-4x1x2-2（x1+x2）+4，

將x1+x2=4k21+2k2，x1x2=2k2-21+2k2代入得

kPM+kPN=2k+（k-1）4k21+2k2-42k2-21+2k2-2（4k21+2k2）+4

=2k+（k-1）×（-2）=2，

所以直線PM與直線PN的斜率之和為2.

18.解：（1）以O(shè)為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，過(guò)點(diǎn)O作垂直于x軸的直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，所以M（-20，400），N（20，400），

因?yàn)樾〕靥恋倪吔鐬閽佄锞€型，設(shè)邊界所在的拋物線方程為x2=2py（p>0），因?yàn)镸（-20，400）是曲線上一點(diǎn)，所以p=12，即拋物線方程為y=x2.

設(shè)AB所在的直線方程：y=kx+t（k=tanθ），y=kx+ty=x2，即x2-kx-t=0，因?yàn)锳B與拋物線相切，所以Δ=k2+4t=0①.

記直線AB與拋物線切于點(diǎn)Q，所以Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為k2∈（0，20），即k∈（0，40）.

易得點(diǎn)B（-tk，0），點(diǎn)A（400-tk，400），由對(duì)稱性可知點(diǎn)C（tk，0），點(diǎn)A（-400-tk，400），

所以小路總長(zhǎng)為

AB+BC+CD=-2tk+2（400k）2+4002，

由①及k=tanθ可知

AB+BC+CD=tanθ2+800tanθ（0

（2）記草坪面積為S，梯形面積為S1，小池塘的面積為S2，

所以S=S1-S2，因?yàn)樾〕靥撩娣eS2為定值，要使得草坪面積最小，則梯形面積最小

S1=12（BC+AD）·400

=12·2（-tk+400-tk）·400，

由①知S1=200（800k+k）≥80002當(dāng)且僅當(dāng)“k=202∈（0，40）”取得“=”，

所以當(dāng)tanθ=202時(shí)，梯形面積最小，即草坪面積最小.

19.解（1）因?yàn)?c=2a2=c2+3所以a=2c=1，

即橢圓C的方程為x24+y23=1.

（2）法一：連結(jié)BM，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2）則kAM·kBM=y1x1+2·y1x1-2=y21x21-4，因?yàn)辄c(diǎn)M（x1，y1）在橢圓上，所以kAM·kBM=y21x21-4=3-34x21x21-4=-34，因?yàn)閗BN=3kAM，所以kBN·kBM=-94.

?。┊?dāng)MN斜率不存在時(shí)，設(shè)MN：x=m，不妨設(shè)M在x軸上方，

所以M（m，12-3m24），N（m，-12-3m24），

因?yàn)閗BN·kBM=-94，所以m=1.

ⅱ）當(dāng)MN斜率存在時(shí)，

設(shè)MN：y=kx+t，y=kx+t3x2+4y2-12=0，

即（3+4k2）x2+8ktx+4t2-12=0，

所以x1+x2=-8kt3+4k2，x1·x2=4t2-123+4k2，

因?yàn)閗BN·kBM=y1x1-2·y2x2-2

=（kx1+t）·（kx2+t）x1x2-2（x1+x2）+4=-94，

所以2k2+3kt+t2=0，即t=-k或t=-2k.

當(dāng)t=-k時(shí)，y=kx-k，恒過(guò)定點(diǎn)（1，0），當(dāng)斜率不存在亦符合;當(dāng)t=-2k，y=kx-2k，過(guò)點(diǎn)（2，0）與點(diǎn)B重合，舍.

所以直線恒過(guò)定點(diǎn)（1，0）.

法二：設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），

直線AM：y=k（x+2），y=k（x+2）3x2+4y2-12=0，

即（3+4k2）x2+16k2x+16k2-12=0，

xA·x1=16k2-123+4k2，xA+x1=-16k23+4k2，

所以x1=6-8k23+4k2，易得點(diǎn)M（6-8k23+4k2，12k3+4k2），

設(shè)直線BN：y=3k（x-2），y=3k（x-2）3x2+4y2-12=0，

同理得點(diǎn)N（24k2-21+12k2，-12k1+12k2），

所以kMN=12k3+4k2+12k1+12k26-8k23+4k2-24k2-21+12k2=4k1-4k2，

直線MN：y=4k1-4k2（x-6-8k23+4k2）+12k3+4k2

=4k1-4k2（x-1），

所以直線恒過(guò)定點(diǎn)（1，0）.

20.解：（1）由題意得c=11a2+12b2=1a2=b2+c2，所以a=2b=1，

即方程為y22+x2=1.

（2）法一：假設(shè)存在這樣的定點(diǎn)M，

設(shè)點(diǎn)M（x0，y0），點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），

直線l：y=kx+1，y=kx+1y2+2x2-2=0，

即（2+k2）x2+2kx-1=0，

所以x1+x2=-2k2+k2，x1·x2=-12+k2.

因?yàn)閗MA+kMB=y0-y1x0-x1+y0-y2x0-x2=0，

所以2y0x0-2x0-（y0+x0k-1）（x1+x2）+2kx1x2=0，

即2x0y0k2+（2y0-4）k+4x0y0-4x0=0，

因?yàn)槿我獾闹本€l（斜率存在）都成立，

所以2x0y0=02y0-4=04x0y0-4x0=0，解得x0=0y0=2，

所以存在這樣定點(diǎn)M，坐標(biāo)為（0，2）.

法二：假設(shè)存在這樣的定點(diǎn)記為點(diǎn)M

ⅰ）當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，要使得kMA+kMB=0，則點(diǎn)M在y軸上（異于點(diǎn)F）;

ⅱ）當(dāng)直線l的斜率存在且不為0時(shí)，由ⅰ）知設(shè)點(diǎn)M（0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），l：y=kx+1，y=kx+1y2+2x2-2=0即（2+k2）x2+2kx-1=0，所以x1+x2=-2k2+k2，x1·x2=-12+k2，所以1x1+1x2=2k ①，

記點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為B′（-x2，y2），因?yàn)閗MA+kMB=0，所以kMA-kMB′=0 ②，

kMA=y1-y0x1=kx1+1-y0x1=k+1-y0x1，同理kMB′=y0-1x2-k，代入②得y0-1x1+y0-1x2-2k=0，由①可知，y0=2.

所以存在這樣定點(diǎn)M，坐標(biāo)為（0，2）.

21.解：（1）以BD，BC，BA所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)BA=BC=BD=2，則A（0，0，2），C（0，2，0），