基于混沌量子粒子群BP算法的研究

何曉云，許江淳，陳文緒

(昆明理工大學(xué)信息工程與自動化學(xué)院，云南 昆明 650500)

0 引言

近年來,反向傳播(back propagation，BP)算法已經(jīng)成為機器學(xué)習(xí)理論中應(yīng)用較為廣泛的網(wǎng)絡(luò)之一[1]。該算法采用誤差反向傳播的負梯度下降法，具有較好的非線性函數(shù)、自組織能力和泛化能力的特點，為良好預(yù)測能力奠定了基礎(chǔ)。但BP算法在預(yù)測中存在過度擬合[2]、預(yù)測精度不高的問題，當(dāng)擬合精度越高，預(yù)測準(zhǔn)確率就越低，即泛化能力差。其主要原因是：傳統(tǒng)的BP算法每次訓(xùn)練的權(quán)值、閾值都不一樣，存在隨機性；然而，權(quán)值和閾值對于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測能力有很大的影響[3]。為了解決這一問題，國內(nèi)外許多研究者提出了改進的方法。例如：Srivastava N[4]證明了加入隨機噪聲的數(shù)據(jù)集會使神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的擬合性能變差，從而可提高泛化能力；防止對網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)過度是更有效的方法，即在樣本數(shù)據(jù)中添加正則項。王林[5]針對BP算法的權(quán)值和閾值隨機化、容易陷入局部收斂的特點，設(shè)計了一種優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)差分進化算法，避免了部分過擬合現(xiàn)象，但增大了算法的復(fù)雜度。

以上研究者提出的成果對于改進BP算法泛化能力的力度不大，導(dǎo)致BP算法預(yù)測模型在應(yīng)用時出現(xiàn)其他問題[6]。因此，本文提出了一種基于混沌量子粒子群優(yōu)化的BP(chaotic quantum particle swarm optimization BP，CQPSO-BP)算法。量子粒子群優(yōu)化算法是用混沌序列來初始化種群的初始角[7]，針對粒子群算法的早熟收斂，引入了變異操作，提高了全局優(yōu)化能力，從而優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值、閾值。然后將它與BP算法結(jié)合，形成一種新的算法——混沌量子粒子群BP算法。最后，通過與改進的附加動量法和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作對比，利用不同的數(shù)據(jù)集進行預(yù)測試驗，將準(zhǔn)確率、均方誤差(mean square error，MSE)、均方百分比誤差(mean square percent error，MSPE)作為評價指標(biāo)[8]。試驗結(jié)果表明：CQPSO-BP算法在預(yù)測精度、收斂速度、準(zhǔn)確率等方面，相對于傳統(tǒng)的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和改進的附加動量法等算法有較明顯的優(yōu)勢。

1 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種多層饋型網(wǎng)絡(luò)[9]，主要依靠輸入信號的正向傳播和誤差的反向傳播，不斷調(diào)試網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值和閾值，達到優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)的目的。訓(xùn)練方法采用的是最速下降法traingd。

全局誤差函數(shù)為[9]：

(1)

1.1 BP網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)過程

①網(wǎng)絡(luò)初始化。設(shè)置BP網(wǎng)絡(luò)神經(jīng)元之間的連接權(quán)值Wij、Wjk，確定網(wǎng)絡(luò)輸入層節(jié)點n個、隱含層節(jié)點數(shù)l個、輸出層節(jié)點數(shù)m個，以及隱含層和輸出層的閾值α[a1,a2,…,al]和b[b1,b2,…,bm]。

②計算隱含層的輸出。

(2)

式中：f為激勵函數(shù)；xi為輸入變量。

③計算輸出層的輸出。

(3)

④更新權(quán)值。

ωij(t+1)=ωij(t)+η[(1-β)D(t)+

βD(t-1)]i=1,2,…,n

(4)

ωjk(t+1)=ωjk(t)+η[(1-β)D′(t)+βD′(t-1)]

(5)

⑤更新閾值。

(6)

bk(t+1)=bk(t)+(yk-ok)

(7)

⑥判斷網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的誤差是否達到要求。若它達到期望的要求或設(shè)置的學(xué)習(xí)次數(shù)已用完，就結(jié)束網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練；否則，返回步驟②。

1.2 動量因子的優(yōu)化算法

傳統(tǒng)的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)存在收斂速度慢的問題。這主要是因為優(yōu)化權(quán)值時，只根據(jù)某一時刻的負梯度方向進行修正，沒有考慮以前的修正經(jīng)驗。這里引入了動量因子的方法。當(dāng)權(quán)值陷入局部最小值時，會產(chǎn)生一個繼續(xù)向前運動的正向斜率。附加動量法的改進不僅考慮了誤差在梯度方向的作用[10]，還考慮了誤差曲面變化的趨勢。修正公式如下：

Δωij(n)=αΔωij(n-1)+(1-α)ηΔf[ωij(n-1)]

(8)

式中：Δωij(n)為權(quán)值修正量，且已經(jīng)加入了修改的記憶方向；η為學(xué)習(xí)速率；n為訓(xùn)練次數(shù)；α為動量因子，取值一般是0.1～0.8。

在BP算法中，提出了動量因子的改進后，可以有效改變網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的步長η，而不再是一個固定的值；同時，也可以改變修正權(quán)值的方向，即加入了一個擾動，有自動調(diào)節(jié)著步長的作用，可以向著平均的方向改變，從而不會產(chǎn)生太大的波動，并使誤差變小?？傊?，引入動量項可以加快網(wǎng)絡(luò)收斂速度，提高了預(yù)測的準(zhǔn)確性。但是，其收斂速度相對還是太慢，預(yù)測效果存在一定的誤差。所以本文提出了混沌量子粒子群算法，以提高算法預(yù)測風(fēng)速的準(zhǔn)確性。

2 CQPSO-BP算法

量子粒子群(quantum particle swarm optimization,QPSO)算法容易陷入早熟收斂，即當(dāng)一個粒子發(fā)現(xiàn)一個最優(yōu)位置時，其他的粒子就會迅速向它靠攏。如果這個位置只是局部最優(yōu)點，則算法就陷入了局部最優(yōu)，出現(xiàn)早熟收斂。在QPSO算法中，對粒子的位置采用量子位的概率幅進行編碼，如式(9)所示：

(9)

式中：θ=2π×random,rondom為[0,1]之間的隨機數(shù)；i=1,2,…,n，n為種群數(shù)量；j=1,2,…,B,B為空間的維數(shù)。

粒子的位置移動按式(10)更新：

Δθij(k+1)=ωΔθij(k)+η1r1(Δθ1)+η2r2(Δθf)

(10)

式中:ω為慣性權(quán)重；η1、η2為學(xué)習(xí)因子；r1、r2為隨機數(shù)；Δθij為粒子在第j維的相位變化量；Δθ1為個體最優(yōu)的相位變化量；Δθf為整個算法最優(yōu)的相位變化量。

(11)

(12)

慣性權(quán)重ω的調(diào)整公式為：

(13)

式中:ωmax、ωmin分別為權(quán)值的最大值、最小值。

由于量子粒子群算法容易使粒子陷入早熟收斂，所以采用量子非門來加入變異操作，增加種群的遍歷性:

(14)

本文針對QPSO算法的遍歷性有限、容易陷入早熟收斂的特點，采用混沌的遍歷性和隨機性來彌補，即混沌量子粒子群優(yōu)化(chaotic quantum particle swarm optimization,CQPSO)算法。該算法利用隨機性產(chǎn)生B個參數(shù)(θ1,θ2,…,θB)，然后產(chǎn)生運動軌跡。每一個軌跡有n個序列，形成n×B個初始角。根據(jù)Logistic映射形成的混沌序列為：

x(k+1)=μx(k)[1-x(k)]

(15)

式中:x為混沌變量，x?(0,1)且x≠0.25、0.5、0.75;μ為控制參數(shù)。

3 CQPSO-BP算法的預(yù)測模型

3.1 數(shù)據(jù)集描述

由于輸入變量和輸出變量的量綱不統(tǒng)一，為了減小網(wǎng)絡(luò)的誤差，歸一化的計算是必要的。它可以使數(shù)據(jù)之間的關(guān)系更容易體現(xiàn)，則預(yù)測的風(fēng)速更準(zhǔn)確。這里采用最大值最小值法，使所有變量限定在[0，1]之間。

為了驗證CQPSO-BP算法預(yù)測能力的有效性，共選擇3組不同維度的屬于工業(yè)、教育和商業(yè)等行業(yè)的公開的數(shù)據(jù)集。運行在Windows10，8.00 GB內(nèi)存，Inter(R) Core(TM) i7-8550U CPU @ 1.80 GHz環(huán)境下，基于Matlab R2019a中完成。

3.2 評價指標(biāo)

為了評價本文建立的3種模型的預(yù)測性能，預(yù)測正確率至關(guān)重要。預(yù)測的準(zhǔn)確率越高，誤差越小，算法預(yù)測性能越好。本文選擇準(zhǔn)確率和3種評價指標(biāo)來評價3種模型的預(yù)測性能，分別是準(zhǔn)確率、MSE和MSPE。計算公式如下：

(16)

(17)

式中：N為測試樣本個數(shù)；αi為第i個測試樣本的實際值；βi為第i個測試樣本的預(yù)測值。

3.3 CQPSO-BP算法流程

CQPSO-BP算法的主要流程如下。首先，輸入樣本數(shù)據(jù)，初始化種群的規(guī)模和變量數(shù)量，生成混沌初始化種群。其次，根據(jù)輸入變量的個數(shù)，決定BP網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)，并初始化適應(yīng)度值——即用 CQPSO-BP算法的粒子位置向量編碼BP算法的權(quán)值和閾值中的相關(guān)參數(shù)，評價函數(shù)為網(wǎng)絡(luò)的均方誤差的倒數(shù)，以計算出網(wǎng)絡(luò)的最優(yōu)適應(yīng)度值。再次，評價最優(yōu)適應(yīng)度值，判斷有沒有達到要求的精度或最大迭代次數(shù)。如果達到，則獲得最優(yōu)的權(quán)值、閾值。最后，判斷網(wǎng)絡(luò)誤差是否滿足預(yù)設(shè)要求，滿足則輸出預(yù)測值，不滿足則算法繼續(xù)迭代。同理，如果最優(yōu)適度值沒有達到要求，則算法繼續(xù)迭代，直到達到預(yù)設(shè)要求為止。

CQPSO-BP算法流程如圖1所示。

圖1 CQPSO-BP算法流程圖

3.4 仿真結(jié)果及分析

本文的數(shù)據(jù)來源于公開的、不同維度的數(shù)據(jù)集。在工業(yè)領(lǐng)域中，本文選擇電力負荷的公開數(shù)據(jù)集，根據(jù)系統(tǒng)的運行特性、自然條件和社會影響等，預(yù)測未來某一時刻的負荷數(shù)據(jù)。該數(shù)據(jù)集維度是3。在教育領(lǐng)域中，選擇從印度的角度預(yù)測研究生入學(xué)率的數(shù)據(jù)集，入學(xué)率就是被承認(rèn)的機會，影響因素有GRE分?jǐn)?shù)、托福成績、大學(xué)評級、SOP、LOR、CGPA、研究成果，該數(shù)據(jù)集維度是7；在商業(yè)領(lǐng)域中，選擇某商店中葡萄酒質(zhì)量的樣本數(shù)據(jù)集，影響的因素有顏色、溫度、葡萄品種、土壤等，該數(shù)據(jù)集維度是11。三個數(shù)據(jù)集分別有1 200組、960組、1 020組數(shù)據(jù)，選擇其中的200組、80組、60組數(shù)據(jù)作為測試樣本。

在BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，預(yù)測模型的每個神經(jīng)元對應(yīng)的作用函數(shù)為Sigmoid型函數(shù)，隱含層的作用函數(shù)為S型正切函數(shù)tansig，輸出層的作用函數(shù)采用S型對數(shù)函數(shù)logsig。在網(wǎng)絡(luò)中，訓(xùn)練的最大次數(shù)為1 000；訓(xùn)練要求的精度為1e-3；訓(xùn)練的學(xué)習(xí)速率為0.01。

本文中的輸入變量根據(jù)維度選取，所以輸入層設(shè)置為維度個數(shù)，根據(jù)Kolmogorov定理，網(wǎng)絡(luò)中間層的神經(jīng)元可取(2n+1)個，n為輸入層神經(jīng)元(維度)，輸出變量有1個，所以輸出層個數(shù)為1個?；煦缌孔恿Ｗ尤核惴ǖ姆N群規(guī)模為20，最大迭代次數(shù)為60，慣性權(quán)重ωmax=0.9、ωmin=0.6,控制參數(shù)μ=0.36，學(xué)習(xí)因子c1=c2=2，變異概率為0.05。在Matlab平臺上建立3種算法模型，然后分別仿真輸出3種模型在電力負荷、研究生入學(xué)率、葡萄酒質(zhì)量等級的預(yù)測結(jié)果對比。

電力負荷預(yù)測和實際電力負荷對比圖、研究生入學(xué)率預(yù)測和實際入學(xué)率對比圖、葡萄酒質(zhì)量預(yù)測和實際葡萄酒質(zhì)量對比圖，分別如圖2、圖3、圖4所示。

圖2 電力負荷預(yù)測和實際電力負荷對比圖

圖3 研究生入學(xué)率預(yù)測和實際入學(xué)率對比圖

Fig.3 Comparison of graduate enrollment rate prediction and actual enrollment rate

圖4 葡萄酒質(zhì)量預(yù)測和實際葡萄酒質(zhì)量對比圖

從圖2～圖4可以直觀地看到，相比于傳統(tǒng)的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和改進的附加動量法，CQPSO-BP算法的預(yù)測效果有較明顯的優(yōu)勢，而BP算法的預(yù)測效果是相對較差的。CQPSO-BP算法有較強的抗過擬合能力。3種模型在訓(xùn)練方法上都有所不同，預(yù)測的精度都不同。電力負荷預(yù)測的維度是3，研究生入學(xué)率預(yù)測的維度是7，葡萄酒質(zhì)量預(yù)測的維度是11。在不同維度下，相同算法預(yù)測精度也不同。因為數(shù)據(jù)的不同，會影響預(yù)測效果。但CQPSO-BP算法的預(yù)測效果都是相對較好的，說明CQPSO-BP算法適用于預(yù)測模型。

表1 3種算法的預(yù)測性能對比分析

表1中：準(zhǔn)確率最大值為98.52%；MSE最小值為0.006 4；MSPE最小值為0.009 7。這3個評價指標(biāo)的最優(yōu)值都是在CQPSO-BP算法訓(xùn)練時取得。又因為電力負荷數(shù)據(jù)集的預(yù)測效果相對較好，預(yù)測值基本跟蹤實際值，準(zhǔn)確率最高。因此，選擇這一組數(shù)據(jù)集來分析3種算法的的訓(xùn)練誤差變化。誤差曲線如圖5所示。

圖5 3種算法的訓(xùn)練誤差曲線圖

從圖5可以直觀地看到，在電力負荷的預(yù)測模型中，當(dāng)?shù)螖?shù)最大值設(shè)為1 000時，BP算法的誤差曲線圖總體下降得較慢；在200步時開始更緩慢地下降；在1 000步時還沒有收斂。通過附加動量法的BP算法改進后，該算法訓(xùn)練誤差曲線圖開始下降得較快，整體的訓(xùn)練誤差比BP算法更接近預(yù)設(shè)要求。CQPSO-BP算法的訓(xùn)練誤差相對下降得較快，在接近940步時達到收斂，完成訓(xùn)練，且此時誤差達到預(yù)設(shè)要求為0.001。因此，CQPSO-BP算法的收斂速度最快，誤差相對較小。

4 結(jié)束語

本文針對傳統(tǒng)BP算法存在的過度擬合和預(yù)測精度不高的問題，提出了一種混沌量子粒子群BP算法。該算法將CQPSO算法與BP算法相結(jié)合，提高了種群的遍歷性。用混沌序列初始化粒子的初始角位置，并引入變異操作，避免網(wǎng)絡(luò)進入早熟收斂，從而對BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值和閾值進行優(yōu)化。通過與附加動量法的BP算法和傳統(tǒng)的BP算法進行對比，證明了CQPSO-BP算法的預(yù)測效果相對附加動量法和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有明顯的優(yōu)勢，也說明了CQPSO-BP算法有抗過擬合能力。在測試階段，準(zhǔn)確率、MSE、MSPE的最優(yōu)值都是在CQPSO-BP算法訓(xùn)練時取得的。CQPSO-BP算法模型是適用于研究預(yù)測問題的一種模型，具有實際應(yīng)用價值。