基于T-S模糊模型的CSTR系統(tǒng)廣義預(yù)測(cè)控制

許 娣，佃松宜，高鈺凱

（四川大學(xué) 電氣工程學(xué)院，成都 610065）

近年來，工業(yè)過程中具有大量的非線性、時(shí)滯性、耦合性以及不確定性的受控對(duì)象，其建模和控制是過程控制領(lǐng)域中的熱點(diǎn)問題[1]。1985年，Takagi和Sugeno提出T-S模糊模型，實(shí)現(xiàn)了以任意精度對(duì)非線性系統(tǒng)進(jìn)行逼近，該特點(diǎn)對(duì)于解決非線性系統(tǒng)的建模和控制問題開辟了新途徑[2]。1987年由Clarke等人提出了廣義預(yù)測(cè)控制算法，該算法具有對(duì)數(shù)學(xué)模型要求較低、魯棒性強(qiáng)等特點(diǎn)[3]。文獻(xiàn)[4]采用了T-S模糊模型，逼近Hammerstein模型的靜態(tài)非線性特征，采用線性自回歸模型求解最優(yōu)控制效果，并以CSTR系統(tǒng)為例說明該方法的有效性。文獻(xiàn)[5]提出了新的無監(jiān)督模糊聚類算法，將k近鄰和模糊c均值方法相結(jié)合，控制模擬CSTR系統(tǒng)。文獻(xiàn)[6]采用DMC算法對(duì)非線性CSTR反應(yīng)器溫度進(jìn)行控制，即使在干擾和模型適配的情況下，仍可快速地跟蹤期望目標(biāo)。

在此，采用改進(jìn)的模糊劃分聚類算法，對(duì)T-S模糊模型的前件參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，同時(shí)采用帶有遺忘因子的遞推最小二乘法，對(duì)T-S模糊模型的后件參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)。辨識(shí)后可得到CSTR系統(tǒng)的T-S模糊模型，通過對(duì)模型轉(zhuǎn)換，進(jìn)一步得到受控自回歸積分滑動(dòng)平均CARIMA（controlled auto-regressive integrated moving average）模型。

1 T-S模糊模型辨識(shí)

1.1 改進(jìn)模糊劃分的模糊c均值聚類算法

模糊c均值聚類算法，是基于目標(biāo)函數(shù)的模糊聚類方法的典型代表，1974年由Dunn提出，在1981年，Bezdek將該方法進(jìn)一步改進(jìn)和擴(kuò)展，建立了較為完善的模糊聚類理論[7]。為克服原始FCM算法的不足，文獻(xiàn)[8]提出改進(jìn)模糊劃分的模糊c均值聚類IFP-FCM（improved fuzzy partitions fuzzy c-means algorithm）算法，與原始FCM算法相比，對(duì)于數(shù)據(jù)集X=｛x1，x2，…，xn｝，把這些數(shù)據(jù)劃分為c 類，每一類對(duì)應(yīng)一個(gè)聚類中心ci，每個(gè)樣本j屬于某一類的隸屬度定義為uij，對(duì)于一個(gè)單獨(dú)的樣本點(diǎn)xj，引入隸屬度約束函數(shù)：

構(gòu)造新的目標(biāo)函數(shù)為

其中

式中：η為模糊度常數(shù)，一般取 η=0.01～0.2；式（2）等號(hào)右側(cè)的前半部分

為指定權(quán)重指數(shù)為2后的FCM算法的目標(biāo)函數(shù)；對(duì)于等號(hào)右側(cè)的后半部分，若數(shù)據(jù)點(diǎn)xj完全屬于第i類，則 uij=1，那么當(dāng) i≠j，uij=0 時(shí)，

因此，目標(biāo)函數(shù)后半部分的值與模糊化程度呈正相關(guān)。

對(duì)式（2）采用拉格朗日乘數(shù)法，得

式中：λ為拉格朗日乘子。對(duì)式（3）取極值，可逐步推導(dǎo)出隸屬度uij和聚類中心ci的迭代公式。隸屬度uij的迭代公式為

其中

式中：xj為樣本；ci為為模糊聚類算法的聚類中心；‖xj－ci‖為歐氏距離；dij為xj與第 i類聚類中心的距離。聚類中心的迭代公式為

1.2 遺忘因子遞推最小二乘法

對(duì)于 N 組｛y（k），u（k），k=1，2，…，N｝輸入輸出數(shù)據(jù)，根據(jù)最小二乘法，有取性能指標(biāo)函數(shù)：

式中：λ為遺忘因子。將λ作為對(duì)數(shù)據(jù)施加的時(shí)變加權(quán)系數(shù)，與原始遞推最小二乘法相比，能夠克服慢時(shí)變參數(shù)問題。

未知參數(shù)θ的遺忘因子遞推最小二乘估計(jì)值θ?的公式[9]為

其中，設(shè)初始值為

式中：k=1，2，…，N；α為充分大的正實(shí)數(shù) 104～1010；I為單位矩陣；ε為零向量或充分小的正實(shí)向量；一般取 0.9≤λ<1。

2 CSTR系統(tǒng)的T-S模糊模型建模

2.1 CSTR系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

CSTR系統(tǒng)的反應(yīng)是由原料A轉(zhuǎn)化為產(chǎn)物B的過程。CSTR系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 CSTR系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of CSTR system structure

根據(jù)能量守恒定律，建立CSTR系統(tǒng)的物料和能量平衡方程，假設(shè)nA為反應(yīng)釜中A的摩爾分?jǐn)?shù)，則物料A的質(zhì)量平衡方程為

其中

Arrhenius公式為

式中：rA為反應(yīng)物A每單位體積的反應(yīng)速率；k為反應(yīng)物A的反應(yīng)速率常數(shù)，一般可用Arrhenius公式表示。

通過分析各參數(shù)之間的關(guān)系，建立總的能量平衡方程為

將式（9）代入式（8）和式（10），可得 CSTR 的數(shù)學(xué)模型：

式（11）中的相關(guān)參數(shù)及其描述見表1。

表1 CSTR系統(tǒng)的模型參數(shù)Tab.1 Model parameters of the CSTR system

2.2 CSTR系統(tǒng)的T-S模糊模型

T-S模糊模型采用if-then規(guī)則來描述非線性系統(tǒng)，每條規(guī)則代表一個(gè)線性子系統(tǒng)。對(duì)于MISO系統(tǒng)，T-S模糊模型的規(guī)則如下[10]：

其中，Ri為第i條規(guī)則；p為輸入變量的個(gè)數(shù)；ny為輸出階次；n1，…，np為輸入變量的階次；t1，…，tp為純時(shí)間滯后。為方便起見，令：

其中

則T-S模糊模型規(guī)則可表示為

根據(jù)所得到的CSTR數(shù)學(xué)模型 （11），對(duì)CSTR系統(tǒng)進(jìn)行輸入輸出數(shù)據(jù)的采集，得到2000組數(shù)據(jù)；選擇規(guī)則數(shù)c=6，終止誤差ε=10-5，模糊度常數(shù)η=0.1，最大迭代次數(shù)為100。選用前1500組數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練，剩余的500組數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證。

CSTR系統(tǒng)的辨識(shí)模型與實(shí)際模型的輸出曲線、誤差曲線如圖2所示。圖2a中，3條曲線分別表示CSTR系統(tǒng)實(shí)際模型，以及分別采用FCM算法和IFP-FCM算法得到的CSTR系統(tǒng)的辨識(shí)模型；圖2b中，2條曲線分別表示采用FCM算法和IFP-FCM算法對(duì)CSTR系統(tǒng)進(jìn)行擬合得到的誤差曲線。

圖2 CSTR系統(tǒng)的辨識(shí)模型與實(shí)際模型的輸出曲線和誤差曲線Fig.2 Output curve and error curve of CSTR system identification model and actual model

仿真結(jié)果表明，采用FCM算法得到的均方誤差為13×10-4，而采用IFP-FCM算法得到的均方誤差為8.2714×10-4。因此采用IFP-FCM算法可較好地?cái)M合CSTR系統(tǒng)的反應(yīng)過程。

采用IFP-FCM算法對(duì)CSTR系統(tǒng)進(jìn)行辨識(shí)，選取 qc（t），CA（t），CA（t-1）作為T-S 模糊模型的輸入變量；CA（t+1）作為T-S模糊模型的輸出變量。T-S模糊模型輸入變量 qc（t），CA（t），CA（t-1）的隸屬度函數(shù)曲線如圖3所示。

圖 3 qc（t），CA（t），CA（t-1）的隸屬度函數(shù)曲線Fig.3 Membership function curve of qc（t），CA（t），CA（t-1）

結(jié)合帶有遺忘因子的最小二乘法，其中遺忘因子取λ=0.97，辨識(shí)得到T-S模糊模型的后件參數(shù)，最終可得到CSTR系統(tǒng)T-S模糊模型的六條規(guī)則，即：

3 基于T-S模糊模型的廣義預(yù)測(cè)控制

3.1 廣義預(yù)測(cè)控制算法

GPC算法采用CARIMA模型來描述系統(tǒng)[11]：

其中

式中：y（k），u（k）分別為系統(tǒng)的輸出、輸入；ξ（k）為互不相關(guān)的均值為0、方差為σ2的白噪聲序列；Δ為差分算子。為了突出方法原理，在此假設(shè)C（z-1）=1，CARIMA模型的系數(shù)矩陣如下：

為得到j(luò)步之后的輸出預(yù)測(cè)值，引入以下2個(gè)丟番圖方程（Diophantine）[12]：

式中：Ej（z-1）和 Fj（z-1）為由 Aj（z-1）和預(yù)測(cè)長度 j唯一確定的多項(xiàng)式?？傻迷趉+j時(shí)刻的預(yù)測(cè)值，即GPC的預(yù)測(cè)模型為

取k時(shí)刻的優(yōu)化性能指標(biāo)函數(shù)為

式中：E｛·｝為取數(shù)學(xué)期望；ys為對(duì)象輸出的期望值；N1，N2分別為優(yōu)化時(shí)域的起始、終止時(shí)刻；Nu為控制時(shí)域；λ（j）為控制加權(quán)系數(shù)。

用式（16）中的yˉ（k+j∣k）代替式（17）中的 y（k+j∣k），從而將性能指標(biāo)寫為向量形式：

其中

當(dāng)λI+GTG非奇異時(shí)，可得到性能指標(biāo)的最優(yōu)解：

最優(yōu)控制量為

式中：dT為矩陣 （λI + GTG ）-1GT的第1行。

3.2 CSTR系統(tǒng)的廣義預(yù)測(cè)控制

針對(duì)上述辨識(shí)所得到的CSTR六條規(guī)則的T-S模糊模型，通過局部線性化，轉(zhuǎn)化為CARIMA模型的形式，可得到該模型的系數(shù)矩陣A（z-1）和B（z-1），進(jìn)一步求解丟番圖方程得到控制律，最后將控制量施加于CSTR系統(tǒng)。

T-S模糊模型預(yù)測(cè)控制器的參數(shù)設(shè)置為：預(yù)測(cè)時(shí)域Np=20，控制時(shí)域Nu=2，控制加權(quán)矩陣為單位陣I2×2，柔化系數(shù)α=0.8。同時(shí)與PID控制相對(duì)比，PID控制參數(shù)設(shè)置分別為Kp=0.59，Ti=0.06，Td=0.2。

加入和未加入干擾時(shí)，PID算法與GPC算法的控制輸出曲線對(duì)比如圖4所示。其中，圖4a為未加入干擾時(shí)的曲線對(duì)比，由圖可見GPC算法的控制性能要優(yōu)于PID控制算法；圖4b為加入白噪聲干擾后的曲線對(duì)比。同樣可見GPC算法的抗干擾能力要優(yōu)于PID控制算法。

圖4 GPC控制與PID控制跟蹤效果的對(duì)比Fig.4 Comparison of tracking effect between GPC control and PID control

4 結(jié)語

針對(duì)化工生產(chǎn)過程中具有高度非線性特性的連續(xù)攪拌反應(yīng)釜CSTR，采用對(duì)隸屬度函數(shù)增加約束的IFP-FCM算法以及帶有遺忘因子的遞推最小二乘法對(duì)CSTR系統(tǒng)建立了精確度較高的T-S模糊模型。其中，仿真驗(yàn)證了IFP-FCM算法優(yōu)于傳統(tǒng)的FCM算法。將模糊模型進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為CARIMA模型進(jìn)行廣義預(yù)測(cè)控制。通過仿真驗(yàn)證，證明了本文方法是有效的，且優(yōu)于傳統(tǒng)的PID控制方法。