spline插值法在鉛酸電池放電曲線數(shù)學(xué)模型建立中的應(yīng)用

呂揚(yáng)

摘 要：本文建立一元多項(xiàng)式回歸模型來表示20A～100A之間任一恒定電流強(qiáng)度鉛酸電池放電曲線的數(shù)學(xué)模型。首先，利用spline插值方法進(jìn)行插值得到樣本點(diǎn)，然后擬合出多項(xiàng)式函數(shù)的系數(shù)，最后計(jì)算出平均相對誤差MRE評估模型精度。利用該模型計(jì)算出電流強(qiáng)度為55A時(shí)的放電曲線，并計(jì)算出平均相對誤差MRE= 0.0104943，模型精度較優(yōu)。

關(guān)鍵詞：一元多項(xiàng)式回歸;spline插值法;鉛酸電池放電曲線

隨著科技的發(fā)展，人們生活的進(jìn)步，鉛酸電池作為電源被廣泛用于工業(yè)、軍事、日常生活中。為了提高鉛酸電池的利用效率，減少資源的浪費(fèi)和對環(huán)境的污染，方便人們的生活，我們可以對實(shí)際生活中鉛酸電池的使用情況做出記錄，得到準(zhǔn)確合理的相關(guān)數(shù)據(jù)（本文數(shù)據(jù)來源于2016年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽C題附件），并對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，建立某電流強(qiáng)度下電池放電時(shí)間與電壓之間的函數(shù)模型，即放電曲線模型，從而計(jì)算出電池剩余放電時(shí)間。

一、利用spline插值法建立一元多項(xiàng)式回歸的放電曲線數(shù)學(xué)模型

（一）一元多項(xiàng)式回歸模型的建立20A，30A，...100A九種電流強(qiáng)度下的放電曲線多項(xiàng)式函數(shù)規(guī)律十分一致，因此，我們類比推理建立20A-100A之間任一恒定電流強(qiáng)度放電曲線多項(xiàng)式函數(shù)模型如下：

，

其中表示歸一化后的電壓值，表示歸一化后的放電時(shí)間值。

（二）利用spline插值方法進(jìn)行插值，求出20A-100A范圍內(nèi)任意恒定電流I下總的放電時(shí)間，從而利用公式將時(shí)間數(shù)據(jù)歸一化，把相應(yīng)的電壓值也做歸一化處理：。

（三）在放電時(shí)間范圍[0-]內(nèi)，以兩分鐘為間隔，利用20A-100A的9個(gè)樣本點(diǎn)，進(jìn)行spline插值求出恒定電流I下的電壓值，一共有270組樣本點(diǎn)，再利用20A-90A的8個(gè)樣本點(diǎn)，進(jìn)行spline插值求出恒定電流I下的電壓值，一共有41組樣本點(diǎn)，以此類推，一直利用20A-大于I的的最小整十安培的樣本點(diǎn)，進(jìn)行spline插值求出恒定電流I下的電壓值，將得到的所有樣本點(diǎn)再加上歸一化放電曲線必然經(jīng)過的（0，1）點(diǎn)，利用這些樣本點(diǎn)對電流I下放電曲線進(jìn)行擬合，得到函數(shù)關(guān)系，從而計(jì)算出從某放電時(shí)間開始一直到所對應(yīng)的未知電壓值。于是，就把整個(gè)時(shí)間范圍[0-]內(nèi)每隔兩分鐘對應(yīng)時(shí)間的電壓值全部計(jì)算出來，得到任一恒定電流I下的放電曲線。

（四）用平均相對誤差MRE（從Um開始按不超過0.005V的最大間隔提取231個(gè)電壓樣本點(diǎn)。這些電壓值對應(yīng)的模型已放電時(shí)間與采樣已放電時(shí)間的平均相對誤差即為MRE。）評估模型精度。

二、電流強(qiáng)度為55A時(shí)的放電曲線計(jì)算

利用上面四個(gè)步驟進(jìn)行計(jì)算：

（一）設(shè)恒定電流強(qiáng)度55A下放電曲線多項(xiàng)式函數(shù)模型如下：

，

其中表示歸一化后的電壓值，表示歸一化后的放電時(shí)間值。

（二）計(jì)算出電流強(qiáng)度55A下的總放電時(shí)間。20A-100A分別對應(yīng)的9個(gè)總放電時(shí)間數(shù)據(jù)作為樣本點(diǎn)進(jìn)行spline插值求得分鐘。

（三）在放電時(shí)間范圍[0-1168]內(nèi)，以兩分鐘為間隔，利用20A-100A的9個(gè)樣本點(diǎn)，進(jìn)行spline插值求出恒定電流55A下的電壓值，一共有270組樣本點(diǎn)，再利用20A-90A的8個(gè)樣本點(diǎn)，進(jìn)行spline插值求出恒定電流55A下的電壓值，一共有41組樣本點(diǎn)，利用20A-80A的7個(gè)樣本點(diǎn)，進(jìn)行spline插值求出恒定電流55A下的電壓值，一共有55組樣本點(diǎn)，利用20A-70A的6個(gè)樣本點(diǎn)，進(jìn)行spline插值求出恒定電流55A下的電壓值，一共有66組樣本點(diǎn)，最后利用20A-60A的5個(gè)樣本點(diǎn)，進(jìn)行spline插值求出恒定電流I下的電壓值，一共有91組樣本點(diǎn)，將得到的所有樣本點(diǎn)再加上歸一化放電曲線必然經(jīng)過的（0，1）點(diǎn)，利用這些樣本點(diǎn)對電流55A下放電曲線進(jìn)行擬合，得到函數(shù)關(guān)系（擬合圖見圖1）：

圖1 電流55A下放電曲線擬合圖

圖2 電流強(qiáng)度為55安培下放電曲線散點(diǎn)圖

從而計(jì)算出從某放電時(shí)間開始一直到1168分鐘所對應(yīng)的未知電壓值。于是，就把整個(gè)時(shí)間范圍[0-1168]內(nèi)每隔兩分鐘對應(yīng)時(shí)間的電壓值全部計(jì)算出來，得到恒定電流強(qiáng)度55A下的放電曲線。具體數(shù)據(jù)見表1，歸一化后放電曲線散點(diǎn)圖見圖2。

（四）模型精度評估

根據(jù)MRE的定義，在電流強(qiáng)度為55A下的585個(gè)樣本點(diǎn)中剔除利用擬合曲線計(jì)算的電壓數(shù)據(jù)，從下往上選取231個(gè)間隔最大不超過0.005伏的電壓數(shù)據(jù)點(diǎn)，計(jì)算出平均相對誤差MRE= 0.0104943，數(shù)值非常小，模型精度優(yōu)。

本文方法可以推廣，建立任一恒定電流強(qiáng)度放電時(shí)的鉛酸電池放電曲線的數(shù)學(xué)模型，為了實(shí)際應(yīng)用方便，在保證模型精度通過檢驗(yàn)的前提下，可以將回歸多項(xiàng)式次數(shù)降低，比如建立二次多項(xiàng)式回歸模型，從而減少系數(shù)計(jì)算，增強(qiáng)模型的實(shí)用價(jià)值。

參考文獻(xiàn)

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