橫觀各向同性飽和沉積谷地對平面qP1波的散射

巴振寧　張恩瑋　梁建文　吳孟桃

摘要：基于Biot流體飽和多孔介質(zhì)模型，采用間接邊界元方法（IBEM）在頻域內(nèi)求解了橫觀各向同性（TI）飽和沉積谷地對平面qP1波的散射問題。通過與各向同性飽和結(jié)果的對比驗(yàn)證了方法的正確性，開展了不同情況的數(shù)值計(jì)算分析，重點(diǎn)研究了沉積TI性質(zhì)對地表動(dòng)力響應(yīng)的影響。結(jié)果表明：沉積TI性質(zhì)對地表位移的幅值及其空間分布均有顯著影響，且影響程度與qP1波的入射角度、入射頻率和觀測點(diǎn)位置有關(guān)?？紤]沉積的TI性質(zhì)可更為精確地模擬沉積谷地對平面qP1波的散射。

關(guān)鍵詞：沉積谷地;橫觀各向同性飽和;平面qP1波;地震波散射;間接邊界元法

中圖分類號：P315.9?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A?文章編號：1000-0666（2019）04-0474-09

0?引言

沉積谷地是十分常見的局部場地之一，其對地震動(dòng)的顯著放大作用已在多次地震觀測和震害調(diào)查中被證實(shí)。如1976年唐山MS7.8地震中，天津古河道及新近沉積土內(nèi)外兩側(cè)建筑物破壞情況更為嚴(yán)重（首培烋等，2009）;2008年汶川MS8.0地震中，漢源縣沖積河谷出現(xiàn)了整體Ⅵ度區(qū)內(nèi)的Ⅷ度震害異常區(qū)（張建毅等，2012）。近年來，沉積谷地對地震動(dòng)的影響一直是地震工程、地震學(xué)和地球物理等諸多領(lǐng)域中備受矚目的研究課題。

國內(nèi)外學(xué)者在沉積地形地震效應(yīng)方面已開展了大量研究，其研究方法總體上可分為以波函數(shù)展開法為主的解析法和包括域離散型方法、邊界型方法和混合方法等在內(nèi)的數(shù)值方法。對于彈性介質(zhì)的研究始于Trifunac（1971）采用波函數(shù)展開法解決均勻半空間中半圓形沉積谷地對平面SH波散射問題;隨后Wong和Trifunac（1974）以及Yuan和Liao（1995）進(jìn)一步給出了SH波入射半橢圓形沉積的地表位移動(dòng)力響應(yīng)解析解;Dravinski（1983）采用間接邊界積分方法，研究了均勻半空間中任意形狀二維沉積盆地在平面SH波作用時(shí)的地震響應(yīng)問題，指出地表位移依賴于入射波類型、入射角、入射頻率和場地條件等因素;Dravinski和Mossessian（1987）用同一方法進(jìn)一步研究了P波、SV波和Rayleigh波作用的情況;梁建文和巴振寧（2007）、巴振寧和梁建文（2011）采用間接邊界元法研究了入射平面SH和SV波在層狀半空間中沉積谷地周圍的散射問題，表明入射波在層狀半空間中沉積谷地周圍的散射和均勻半空間中情況有著本質(zhì)區(qū)別;巴振寧等（2017）采用“分區(qū)契合”技術(shù)，發(fā)展了一種多域間接邊界元方法，研究了層狀半空間中多層沉積層序?qū)H波入射下地表位移的影響;Sanchez-Sesma和Luzon（1995）、Liang等（2008）、Chaillat等（2010）、Lee（2013）、Liu等（2015）、劉中憲等（2017）、Fajardo等（2017）采用各種數(shù)值方法研究了三維沉積盆地對地震波的散射，獲得了許多有益成果。對于飽和介質(zhì)，李偉華和趙成剛（2003，2004）利用波函數(shù)展開法給出了飽和半空間中圓弧形沉積河谷對平面P和SV波的散射解析解;趙成剛和韓錚（2007）進(jìn)一步給出了平面Rayleigh波入射飽和沉積的地表位移動(dòng)力響應(yīng)解析解;梁建文和劉中憲（2010）利用間接邊界積分方程法求解了平面SV波在飽和半空間中任意形狀沉積谷地周圍的二維散射問題;劉中憲和梁建文（2013）進(jìn)一步研究了層狀飽和半空間中任意形狀沉積谷地對平面P1，P2和SV波的散射;巴振寧等（2013）采用間接邊界元法研究了斜入射P1波在層狀飽和半空間沉積谷地周圍的散射。

上述研究均基于各向同性介質(zhì)（彈性或飽和）的假定。而長期沉積和風(fēng)化作用使得天然土體呈現(xiàn)出明顯的各向異性性質(zhì)，且眾多學(xué)者（Payton，Harris，1983;龔曉南，1990;丁浩江，1997）指出橫觀各向同性（TI）介質(zhì)是描述土體各向異性的合理力學(xué)模型，相關(guān)研究已在地基Lamb問題（王小崗，黃義，2004;蔡袁強(qiáng)等，2005）、樁-土相互作用（吳大志，2005;Gharahi?et?al，2014）和列車運(yùn)行地基振動(dòng)（周曄等，2011;高廣運(yùn)等，2014）等方面開展。在TI介質(zhì)相關(guān)的局部地形場地效應(yīng)方面，劉殿魁和韓峰（1990）、劉殿魁和許貽燕（1993）、韓峰和劉殿魁（1997）采用復(fù)變函數(shù)法研究了TI均勻半空間中半圓凹陷、襯砌凹陷和多個(gè)凹陷對SH波的散射;薛松濤等（2000，2002，2004）研究了層狀TI彈性場地在SH、P和SV波入射下的自由場;巴振寧等（2018）利用間接邊界元法對層狀TI半空間中多種局部地形對SH、qP和qSV波的散射進(jìn)行了比較全面的研究;此外，Lin和Han（2014）、Han等（2015）、Morshedifard和Eskandari（2017）、Ba和Gao（2017）研究了層狀TI半空間土-結(jié)構(gòu)地震相互作用問題。可以看出，基于TI介質(zhì)模型的局部場地地震效應(yīng)研究尚處于起步階段，尤其是同時(shí)考慮天然土體的飽和多孔特性和TI特性、基于TI飽和層狀介質(zhì)模型的局部場地地震效應(yīng)研究還較少。

基于上述分析，本文將IBEM（巴振寧等，2018）進(jìn)一步拓展到TI飽和介質(zhì)情況，并對平面qP1波在TI飽和沉積谷地周圍的散射問題進(jìn)行研究。文中介紹了求解TI飽和沉積地形地震動(dòng)響應(yīng)的思路和方法，通過與飽和各向同性結(jié)果對比，驗(yàn)證了方法的正確性。進(jìn)而以層狀半空間中半圓形TI飽和沉積為例，在頻域內(nèi)進(jìn)行計(jì)算分析，重點(diǎn)討論了TI參數(shù)對沉積谷地地表動(dòng)力響應(yīng)的影響。

1?模型與求解方法

如圖1所示，一任意截面形狀的沉積谷地位于層狀半空間中，半空間由N層水平土層及其下基巖組成，其中土層和基巖半空間均可考慮為TI飽和介質(zhì)。介質(zhì)特性由5個(gè)工程常數(shù)（Eh，Ev，Gv、νh，νvh）、8個(gè)飽和相關(guān)參數(shù)（m1，m3，α1，α3，k1，k3，η，φ）、質(zhì)量密度ρ和阻尼比ξ進(jìn)行描述（Ba?et?al，2017）。假設(shè)模型中土層厚度為D，沉積地形與層狀半空間的交界面為S。設(shè)qP1波在基巖露頭處入射，入射方向與豎直方向夾角為θ。值得注意的是，在TI介質(zhì)中，P波的振動(dòng)方向不再與傳播方向一致，二者之間存在偏振角。

圖1?TI飽和沉積模型圖

Fig.1?The?model?of?TI?saturated?alluvial

為獲得層狀TI飽和半空間中沉積地形的地震響應(yīng)，采用IBEM方法并結(jié)合“分區(qū)契合”技術(shù)進(jìn)行模型求解，將整個(gè)沉積場地分解成層狀半空間開口域和沉積閉合域，同時(shí)將波場分解為自由波場和散射波場。自由波場定義為無沉積存在時(shí)層狀半空間的動(dòng)力響應(yīng)，可由直接剛度法求得;散射波場定義為由于沉積地形存在而產(chǎn)生的附加場，可通過求解格林函數(shù)來模擬，其中邊界上的虛擬荷載通過邊界條件確定。最后，將開口域內(nèi)的響應(yīng)（包括自由場和散射場）和閉合域內(nèi)（僅有散射場）的響應(yīng)疊加，即可求得問題的解。

1.1?直接剛度法求解自由波場

本文在Ba等（2017）已給出的層狀TI飽和場地平面內(nèi)土層精確動(dòng)力剛度矩陣[SL]和基巖精確動(dòng)力剛度矩陣[SR]的基礎(chǔ)上，采用直接剛度法求解自由波場。首先，通過集整得到的場地總剛度矩陣為：

其次，將土層的外荷載與位移之間的關(guān)系表示為：

Rx1，iRz1，iPz1，L，Rx（N+1），iRz（N+1），iPz（N+1）T=SqP1-qP2-qSVUx1，iuz1，iwz1，L，ux（n+1），iuz（n+1），iwz（N+1）（2）

式中：Rx1，iRz1，iPz1，…，Rx（N+1），iRz（N+1），iPz（N+1）T為作用在土層交界面上的外荷載幅值向量;ux1，iuz1，iwz1，…，ux（N+1），iuz（N+1），iwz（N+1）T為土層交界面上的位移幅值向量。最后，將入射qP1波產(chǎn)生的基巖頂部位移向量乘以基巖剛度矩陣求得的外荷載代入式（2），則可求出土層交界面的位移幅值，進(jìn)而得到土層中任一點(diǎn)的自由場響應(yīng)。

1.2?格林函數(shù)模擬散射波場

采用動(dòng)力格林函數(shù)法求解散射波場，即在邊界上施加虛擬均布斜線荷載，通過求解虛擬荷載所產(chǎn)生的動(dòng)力響應(yīng)來模擬。

對于層狀TI飽和半空間，設(shè)斜線上作用有x和z向的均布荷載p0和r0以及孔隙水壓q0，則均布斜線荷載及孔壓動(dòng)力格林函數(shù)的求解方法為：首先，采用傅里葉變換將荷載由空間域轉(zhuǎn)換到波數(shù)域;然后，將受荷載作用層固定，在波數(shù)域內(nèi)求得層內(nèi)響應(yīng)和固端反力，進(jìn)而由剛度矩陣方法求得反加固端反力于整個(gè)層狀半空間而產(chǎn)生的響應(yīng);最后，疊加層內(nèi)解和固端反力解經(jīng)由傅里葉逆變換求得空間域內(nèi)解。對于斜線格林函數(shù)，段化貞（2018）的研究中已給出了詳細(xì)的求解過程，在此不再贅述。

開口域內(nèi)波場包括自由波場（以“f”表示）和散射波場（以“L”表示），將沉積與層狀半空間交界面邊界S離散為M個(gè)單元，其位移和應(yīng)力可表示為：

uLx（x）uLz（x）wLn（x）=∑Mi=1gLu（x，ξi）PL+ufx（x）ufz（x）wfn（x）（3）

tLx（x）tLz（x）pLn（x）=∑Mi=1gLt（x，ξi）PL+tfx（x）tfz（x）pfn（x）（4）

式中：gLu（x，ξi）和gLt（x，ξi）分別為層狀TI飽和半空間中的位移和應(yīng)力格林函數(shù)，表示在第i個(gè)單元土層內(nèi)作用單位均布荷載時(shí)，點(diǎn)x處產(chǎn)生的位移和應(yīng)力;PL=pL（ξ1），pL（ξ2），…，pL（ξM），rL（ξ1），rL（ξ2），…，rL（ξM），qL（ξ1），qL（ξ2），…，qL（ξM）T是為了構(gòu)造開口域內(nèi)散射波場而在沉積邊界上施加的虛擬荷載向量，包括x方向、z方向的均布荷載以及孔隙水壓力。

閉合域內(nèi)僅存在散射波場（以“V”表示），將沉積與層狀半空間交界面邊界S離散為M個(gè)單元，其位移和應(yīng)力可表示為：

uVx（x）uVz（x）wVn（x）=∑Mi=1gVu（x，ξi）PV（5）

tVx（x）tVz（x）pVn（x）=∑Mi=1gVt（x，ξi）PV（6）

式中：gVu（x，ξi）和gVt（x，ξi）分別為沉積內(nèi)部閉合域的位移和應(yīng)力格林函數(shù);PV=pV（ξ1），pV（ξ2），…，pV（ξM），rV（ξ1），rV（ξ2），…，rV（ξM），qV（ξ1），qV（ξ2），…，qV（ξM）T是為了構(gòu)造閉合域內(nèi)散射波場而在沉積邊界上施加的虛擬荷載向量。

1.3?邊界條件

對于TI飽和層狀半空間中的波動(dòng)問題，由于傳播介質(zhì)為固液兩相材料，建立邊界條件時(shí)，不但要考慮土體的性質(zhì)，還要考慮土體與孔隙流體的相互作用。假定半空間界面與交界面完全透水，即孔隙水可以自由透過邊界流動(dòng)，孔隙水相對于土骨架的相對位移連續(xù)、孔壓連續(xù)，則邊界條件可表示為：

∫S[W（s）]TuLx（s）uLz（s）wLnds=∫s[w（s）]TuVx（s）uVz（s）wVn（s）ds（7）

∫S[W（s）]TtLx（s）tLz（s）pLn（s）ds=∫s[w（s）]TtVx（s）tVz（s）pVn（s）ds（8）

假定半空間界面與交界面完全不透水，孔隙水相對土骨架的位移為零，邊界條件可表示為：

∫S[W（s）]TuLx（s）uLz（s）ds=∫s[w（s）]TuVx（s）uVz（s）ds（9）

∫S[W（s）]TtLx（s）tLz（s）ds=∫s[w（s）]TtVx（s）tVz（s）ds（10）

wLn=0（11）

wVn=0（12）

式中：[W（s）]為權(quán)函數(shù)，取為單位矩陣，可在每層內(nèi)獨(dú)立積分。根據(jù)邊界條件求得作用在沉積邊界上荷載密度后，將其代入式（3）～（6），即可得到場地任意位置的動(dòng)力響應(yīng)。

2?方法驗(yàn)證

將TI飽和半空間退化為各向同性情況，通過與Liu和Liang（2010）給出的各向同性飽和半空間中半圓形沉積的散射結(jié)果進(jìn)行對比來驗(yàn)證本文方法。由于各向同性情況是橫觀各向同性的一種特殊情況，因此將TI介質(zhì)水平和豎向材料參數(shù)取為相等，即可計(jì)算沉積內(nèi)外均為各向同性飽和介質(zhì)情況的結(jié)果。

計(jì)算中，沉積地形的半徑取為a;沉積內(nèi)的彈性模量Eh=Ev=2.31?GPa，土骨架體積模量Ks=9?GPa，泊松比νh=νvh=0.25，土顆粒密度ρs=2?650?kg/m3，阻尼比ξ=0.001;沉積外部半空間的彈性模量Eh=Ev=9.25?GPa，土骨架體積模量Ks=36?GPa，泊松比、土顆粒密度、阻尼比與沉積內(nèi)部相同;沉積內(nèi)外飽和相關(guān)參數(shù)取值為：流體體積模量Kl=2.0?GPa，m=7?223.33?kg/m3，a=2.167，孔隙率φ=0.3，流體密度ρl=1?000?kg/m3，動(dòng)態(tài)滲透率k=1?000?m2，孔隙流體動(dòng)力黏滯系數(shù)取為0.001。無量綱頻率定義為η=ωa/πcs（下同），其中ω為振動(dòng)圓頻率，cs為半空間的剪切波速。圖2給出了P波入射時(shí)不同入射角度下的各向同性飽合介質(zhì)地表位移幅值，圖中u/AqP1、w/AqP1為水平、豎直方向無量綱位移幅值，其中u、w分別為地表水平、豎直方向位移，AqP1為入射qP1波位移幅值。從圖2中可以看出，本文計(jì)算結(jié)果與Liu和Liang（2010）給出的結(jié)果十分吻合，驗(yàn)證了本文方法的正確性。

3?結(jié)果與分析

以基巖上單一TI飽和土層中半圓形沉積為例進(jìn)行計(jì)算分析，研究沉積TI性質(zhì)、入射頻率和

圖2?不同P波入射角下水平向（a）和豎向（b）地表位移幅值與Liu和Liang（2010）研究結(jié)果的比較（η=0.5）

Fig.2?Comparison?of?the?horizontal（a）and?vertical（b）surface?displacement?amplitudeswhen?η=0.5?with?the?results?of?Liu?and?Liang（2010）

入射角度對場地動(dòng)力響應(yīng)的影響，給出了沉積附近地表位移幅值（單個(gè)頻率）及頻譜結(jié)果。計(jì)算中沉積半徑為a，土層厚度為D=2a。詳細(xì)材料參數(shù)如表1所示，其中將沉積內(nèi)部土層材料考慮為TI飽和介質(zhì)，由Jamiolkowski等（1995）和Conte（1998）的研究可知，TI土層的水平與豎向模量比值范圍為0.55～4.0，因此將沉積材料分3種情況進(jìn)行參數(shù)研究：Eh/Ev=0.5，Eh/Ev=1.0，Eh/Ev=2.0。沉積外部土層與基巖考慮為各向同性飽和介質(zhì)。頻域結(jié)果圖2～6中無量綱位移幅值為u/AqP1和w/AqP1，其中u和w分別為水平向和豎向位移幅值，AqP1為入射波的位移幅值。

圖3和圖4分別給出了η=0.5和η=1.0時(shí)，qP1波在不同入射角度θ=0°（垂直入射）、30°和60°對應(yīng)的沉積地形附近地表的無量綱位移幅值。

從圖3和圖4中可以看出：①沉積TI性質(zhì)對場地地表動(dòng)力響應(yīng)有重要影響，表現(xiàn)為不同模量比Eh/Ev對應(yīng)地表位移幅值的大小和空間分布有明顯差異。比較沉積內(nèi)外的地表位移幅值可以發(fā)現(xiàn)，沉積內(nèi)部動(dòng)力響應(yīng)受TI性質(zhì)影響更為顯著，而沉積外部差異較小。②TI性質(zhì)對地表動(dòng)力響應(yīng)的影響依賴于入射角度和入射頻率。以較低頻率η=0.5入射時(shí)，地表位移幅值變化規(guī)律較為簡單，總體上，隨著Eh/Ev的增大，幅值逐漸減小;而隨著入射角度的增大，水平位移幅值逐漸增大（除Eh/Ev=0.5情況外），豎向位移幅值逐漸減小。以較高頻率η=1.0入射時(shí)，地表位移幅值分布變得更加復(fù)雜，沉積內(nèi)的幅值分布呈現(xiàn)出

從圖5和圖6中可以看出：頻率很低（η接近于0.0）時(shí)，幅值譜放大曲線基本重合，此時(shí)地表動(dòng)力響應(yīng)主要取決于土層自身的特性（對于自由場響應(yīng)）;隨著頻率增大，沉積TI性質(zhì)對地表動(dòng)力響應(yīng)的影響逐漸明顯，但其差異仍然較小;在較高頻率范圍內(nèi)（η=1.0～2.0），不同TI參數(shù)對應(yīng)地表位移幅值差異較為突出，總體上隨著Eh/Ev的增大，頻譜的共振頻率基本不變，而對應(yīng)峰值頻率有增大趨勢。這表明沉積TI性質(zhì)的變化改變了場地的動(dòng)力特性，使得不同TI參數(shù)場地對地震波產(chǎn)生了不同的濾波和放大效應(yīng)，進(jìn)而使得地表地震動(dòng)頻譜成分產(chǎn)生差異。另一方面，TI參數(shù)對地表動(dòng)力響應(yīng)影響程度與觀測點(diǎn)位置有關(guān)，沉積邊緣處（x/a=±0.8）的地表位移幅值差異較小，而沉積中心處（x/a=0.0）的地表位移幅值隨Eh/Ev的變化而明顯改變。這是由于沉積TI性質(zhì)的變化既改變了沉積本身的動(dòng)力特性也改變了沉積外部土層的動(dòng)力特性，二者的相互作用使得地表各位置的動(dòng)力響應(yīng)產(chǎn)生差異。

4?結(jié)論

本文將IBEM方法拓展到TI飽和介質(zhì)情況，求解了qP1波入射時(shí)TI飽和沉積谷地的動(dòng)力響應(yīng)問題。與已有文獻(xiàn)對比驗(yàn)證了方法的正確性，進(jìn)而進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算分析，重點(diǎn)研究了沉積的TI參數(shù)對場地地表動(dòng)力響應(yīng)的影響，得到以下主要結(jié)論：

（1）沉積TI性質(zhì)對場地地表動(dòng)力響應(yīng)有重要影響，表現(xiàn)為不同模量比Eh/Ev對應(yīng)地表位移幅值的大小和空間分布有明顯差異，且影響程度依賴于qP1波的入射角度、入射頻率和觀測點(diǎn)位置。qP1波以較低頻率入射時(shí)，地表位移幅值隨模量比和入射角度的變化規(guī)律較為明顯;qP1波以較高頻率入射時(shí)，地表位移幅值分布變得非常復(fù)雜，沉積內(nèi)的幅值曲線呈現(xiàn)出明顯的振蕩，出現(xiàn)了多個(gè)波峰和波谷。比較沉積內(nèi)外的地表位移幅值及頻譜結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，沉積內(nèi)部動(dòng)力響應(yīng)受TI參數(shù)影響更為顯著，而沉積外部差異較小。

（2）沉積TI性質(zhì)的變化改變了場地的動(dòng)力特性，使得不同TI參數(shù)場地對地震波產(chǎn)生了不同的濾波和放大效應(yīng)，進(jìn)而使得地表地震動(dòng)頻譜成分產(chǎn)生差異。再者，沉積地形地表地震動(dòng)是由沉積本身的動(dòng)力特性和土層動(dòng)力特性共同決定，二者的相互作用使得地表各位置的動(dòng)力響應(yīng)產(chǎn)生差異。本文研究表明，考慮沉積的TI性質(zhì)可更為精確地模擬沉積谷地對平面qP1波的散射。

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Scattering?by?a?Transverse?Isotropic?Saturated?Alluvial?Valleyfor?Incident?Plane?qP1?Wave

BA?Zhenning1，2，ZHANG?Enwei1，2，LIANG?Jianwen1，2，WU?Mengtao1，2

（1.Department?of?Civil?Engineering，Tianjin?University，Tianjin?300350，China）

（2.Key?Laboratory?of?Coast?Civil?Structure?Safety，Ministry?of?Education，Tianjin?300350，China）

Abstract

Based?on?Biots?theory?of?fluid?saturated?medium，the?Indirect?Boundary?Element?Method（IBEM）is?used?to?solve?the?scattering?problem?of?the?plane?qP1?wave?from?transversely?isotropic（TI）saturated?alluvial?valley?in?frequency?domain.The?correctness?of?the?method?is?verified?by?comparing?with?the?results?of?isotropic?saturated?sites.Numerical?calculation?and?analysis?of?different?situations?were?carried?out，with?emphasis?on?the?influence?of?TI?properties?of?alluvial?valley?on?the?dynamic?response?of?the?surface.The?results?show?that?the?TI?properties?have?significant?influence?on?the?amplitude?and?spatial?distribution?of?surface?displacement，and?the?degree?of?influence?depends?on?the?incident?angle，incident?frequency?and?observation?point?location?of?the?qP1?wave.Considering?the?TI?properties，the?scattering?of?the?plane?qP1?waves?by?alluvial?valleys?can?be?simulated?more?accurately.

Keywords：alluvial?valley;transverse?isotropic?saturated;plane?qP1?wave;seismic?wave?scattering;indirect?boundary?element?method（IBEM）