理解概念本質(zhì)　探尋方法源頭

葉智超

在學(xué)習(xí)“方差”的過程中，相當(dāng)一部分同學(xué)對“方差”的理解僅僅是這樣兩個(gè)層面：一是把“方差越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定”以記憶的形式儲(chǔ)藏于腦海;二是比較兩組數(shù)據(jù)的方差時(shí)，就一定要通過方差公式進(jìn)行計(jì)算后再比較，忽視了對“方差”的本質(zhì)的理解。為了幫助同學(xué)們能深刻地認(rèn)識(shí)“方差”的本質(zhì)，請看下面幾個(gè)問題。

例1 甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員在某場測試中各射擊10次，甲、乙兩人的測試成績?nèi)缦拢?/p>

則測試成績比較穩(wěn)定的是（）。

A.甲

B.乙

C.甲、乙兩人成績穩(wěn)定情況相同

D.無法確定

【解析】作為一道選擇題，本題試圖通過“點(diǎn)狀圖”的呈現(xiàn)方式考查同學(xué)們對數(shù)據(jù)“穩(wěn)定”程度的理解。幾乎所有版本的數(shù)學(xué)教材中，對“方差”的教學(xué)引入都使用了“點(diǎn)狀圖”，因此，本題再現(xiàn)了對“方差”概念的探索和理解過程。解決本題的策略一是通過計(jì)算，先算出兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再通過方差的計(jì)算公式——s2=[1n][（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2]計(jì)算出兩組數(shù)據(jù)的方差，從而比較得出甲的成績比較穩(wěn)定。策略二是觀察。題中數(shù)據(jù)從小到大排列，就是便于同學(xué)們觀察，特別是方差本身還蘊(yùn)含了對“平均數(shù)”的理解，本題可從“形”中直接判斷平均成績?yōu)?.5環(huán)，接著從“形”上判斷出甲的成績中所有數(shù)據(jù)與平均數(shù)的偏離情況要小于乙的成績中所有數(shù)據(jù)與平均數(shù)的偏離情況，從而得出甲的成績比較穩(wěn)定。

【說明】顯然，策略一費(fèi)時(shí)、易錯(cuò)。因此本題的價(jià)值就在于同學(xué)們對統(tǒng)計(jì)特征數(shù)的本質(zhì)的理解——根據(jù)距離平均水平的波動(dòng)情況來判斷方差的大小，而不僅僅關(guān)注計(jì)算技能。

再請同學(xué)們觀察下面兩題：

例2 甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員在某場測試中各射擊20次，甲、乙兩人的測試成績?nèi)缦卤恚?/p>

[甲的成績 環(huán)數(shù) 7 8 9 10 頻數(shù) 4 6 6 4 ][乙的成績 環(huán)數(shù) 7 8 9 10 頻數(shù) 6 4 4 6 ]

則測試成績比較穩(wěn)定的是（）。

A.甲

B.乙

C.甲、乙兩人成績穩(wěn)定情況相同

D.無法確定

【解析】相較例1，本題更改了數(shù)據(jù)的呈現(xiàn)形式，從最能直接反映數(shù)據(jù)波動(dòng)情況的點(diǎn)狀圖改為利用表格呈現(xiàn)。本題的解決策略仍然與例1的相同。一是通過計(jì)算，先算出兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再通過方差的計(jì)算公式——s2=[1n][（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2]計(jì)算出兩組數(shù)據(jù)的方差，從而比較得出甲的成績比較穩(wěn)定。策略二是觀察。本題可從“形”中直接判斷平均成績?nèi)詾?.5環(huán)，再從“形”上判斷出甲的成績中所有數(shù)據(jù)與平均數(shù)的偏離程度要小于乙的成績中所有數(shù)據(jù)與平均數(shù)的偏離程度，從而得出甲的成績比較穩(wěn)定。

[甲的成績 環(huán)數(shù) 7 8 9 10 頻數(shù) 4 6 6 4 ][乙的成績 環(huán)數(shù) 7 8 9 10 頻數(shù) 6 4 4 6 ][平均數(shù)]

【說明】本題的價(jià)值就在于同學(xué)們能利用例1中根據(jù)“形”直觀地觀察距離平均水平的波動(dòng)情況來判斷方差的大小。從這個(gè)意義上說，本題具有較高的可推廣性和較好的理解基本概念的功能。

例3 為了從小明和小剛兩人中選拔一人參加射擊比賽，現(xiàn)對他們的射擊成績進(jìn)行了測試，5次打靶命中的環(huán)數(shù)如下：

小明：7，8，7，8，10;

小剛：5，9，10，7，9。

（1）填寫下表：

[ 平均數(shù) 中位數(shù) 方差 小明 8 1 小剛 9 3.2 ]

（2）根據(jù)以上信息，若教練選擇小明參加射擊比賽，教練的理由是什么？

（3）若小剛再射擊2次，分別命中7環(huán)、9環(huán)，則小剛這7次射擊成績的方差 。（填“變大”“不變”或“變小”）

【解析】本題通過呈現(xiàn)兩組簡單數(shù)據(jù)，基本覆蓋了統(tǒng)計(jì)中反映數(shù)據(jù)集中程度和離散程度的統(tǒng)計(jì)特征數(shù)的考查。第（1）問是技能考查，即直接考查同學(xué)們是否會(huì)計(jì)算平均數(shù)和中位數(shù)。第（2）問是統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用價(jià)值的考查，即用學(xué)習(xí)過的統(tǒng)計(jì)特征數(shù)來做出決策。第（3）問則是理解層次的考查，即關(guān)注的是對方差這個(gè)統(tǒng)計(jì)特征數(shù)的本質(zhì)的理解，由于該題型是做出一個(gè)選擇，所以真正理解方差本質(zhì)的同學(xué)會(huì)做得既快又準(zhǔn)。

本題的答案是：（1）8，8;（2）小明與小剛射擊成績的平均數(shù)都是8，而小明射擊成績的方差小，因此成績更穩(wěn)定，所以，教練選擇小明參加射擊比賽;（3）變小。由于小剛射擊兩次分別為7環(huán)、9環(huán)，平均成績?nèi)詾?環(huán)，新的數(shù)據(jù)比原來數(shù)據(jù)穩(wěn)定，所以方差變小。

為了更深入對集中量數(shù)和離散量數(shù)的本質(zhì)理解，同學(xué)們在解決本題后還可進(jìn)行反思，可以追問自己幾個(gè)問題，如：“小明再射擊一次，命中幾環(huán)，6次射擊成績的中位數(shù)不會(huì)變？”“若小剛再射擊2次，命中6.5環(huán)和9.5環(huán)，則小剛這7次射擊成績的方差發(fā)生變化嗎？命中6環(huán)和10環(huán)呢？你認(rèn)為他再射擊2次（保證平均數(shù)不變，還是8環(huán)），命中幾環(huán)，方差不變？”等，從而可幫助同學(xué)們對統(tǒng)計(jì)特征數(shù)的認(rèn)識(shí)從僅僅知道計(jì)算公式上升到逐步理解本質(zhì)。

【說明】為了最大化地引導(dǎo)同學(xué)們對統(tǒng)計(jì)特征數(shù)本質(zhì)的理解，3道題在數(shù)據(jù)的呈現(xiàn)時(shí)，有意識(shí)地以點(diǎn)狀圖、表格及數(shù)據(jù)本身三種不同形式呈現(xiàn)，意圖讓同學(xué)們能深刻理解平均數(shù)、方差的概念，只要看到圖，就可以知道兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)情況、數(shù)據(jù)距離平均水平波動(dòng)情況，直觀地判斷方差的大小。

（作者單位：南京航空航天大學(xué)附屬初級中學(xué)）