基于狀態(tài)觀測器的LQR四輪轉(zhuǎn)向控制

李 偉，王薇薇，徐灝飛

(重慶交通大學(xué) 機(jī)電與車輛工程學(xué)院，重慶，400074)

0 引 言

四輪轉(zhuǎn)向4WS(four-wheel steering)的基本原理是利用車輛行駛中的某些信息來控制后輪的轉(zhuǎn)角輸入，以提高車輛的操縱性和穩(wěn)定性。早在20世紀(jì)初，車輛工程師們就發(fā)現(xiàn)了在低速工況下，后輪與前輪反向轉(zhuǎn)動時(shí)可以有效地減小車輛轉(zhuǎn)彎半徑的特點(diǎn)，并將其運(yùn)用于軍用和工程車輛。四輪轉(zhuǎn)向技術(shù)在現(xiàn)代汽車(尤其是轎車)中的應(yīng)用源于對中、高車速下的車輛操穩(wěn)性和駕駛員主觀評價(jià)的研究。

近年來，國內(nèi)外眾多學(xué)者都致力于解決四輪轉(zhuǎn)向控制系統(tǒng)中，同向危險(xiǎn)性及反向控制策略矛盾性問題，并利用各種控制策略設(shè)計(jì)四輪轉(zhuǎn)向控制器，以達(dá)到追蹤最佳操縱穩(wěn)定性[1-3]。在四輪轉(zhuǎn)向車輛控制模型中，質(zhì)心側(cè)偏角很難用現(xiàn)有傳感器進(jìn)行測量，在基于最優(yōu)控制的控制器設(shè)計(jì)時(shí)，大多利用狀態(tài)調(diào)節(jié)器，對質(zhì)心側(cè)偏角和橫擺角速度與期望橫擺角速度的差值進(jìn)行加權(quán)，使性能指標(biāo)達(dá)到最小，以達(dá)到質(zhì)心側(cè)偏角趨近于零，且橫擺角速度能追蹤期望橫擺角速度的目的?，F(xiàn)有方法導(dǎo)致在質(zhì)心側(cè)偏角趨近于零的同時(shí)必然降低橫擺角速度的追蹤效果，筆者在建立四輪轉(zhuǎn)向車輛狀態(tài)空間模型的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)一種降維狀態(tài)觀測器對模型中質(zhì)心側(cè)偏角進(jìn)行觀測，運(yùn)用極點(diǎn)配置法和線性二次型最優(yōu)控制LQR(linear quadratic regulator)兩種方法設(shè)計(jì)控制器，對質(zhì)心側(cè)偏角和橫擺角速度兩個(gè)重要性能參數(shù)均進(jìn)行加權(quán)控制，對典型階躍工況響應(yīng)和典型單移線工況進(jìn)行仿真分析。

1 建立四輪轉(zhuǎn)向車輛動力學(xué)模型

車輛本身是一個(gè)非常復(fù)雜的系統(tǒng)，涉及諸如輪胎側(cè)偏、摩擦、間隙等非線性環(huán)節(jié)。研究四輪轉(zhuǎn)向系統(tǒng)需在建模過程中設(shè)定很多假設(shè)，一方面能夠?yàn)檠芯刻峁┓奖?，另一方面也能更好的?yàn)證控制器設(shè)計(jì)效果?，F(xiàn)做基本假設(shè)如下：

1)車輛行駛于平坦路面，即無垂向路面不平度輸；

2)不考慮車身的側(cè)傾和俯仰運(yùn)動，即包括懸架結(jié)構(gòu)在內(nèi)的車身結(jié)構(gòu)是剛性的；

3)忽略轉(zhuǎn)向系統(tǒng)，將輸入直接施加在前后轉(zhuǎn)向輪上；

4)車輛僅受平衡狀態(tài)(如直線行駛或穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向)附近的小擾動，即前后轉(zhuǎn)向輪轉(zhuǎn)角足夠小，從而保證車輛運(yùn)動方程線性；

5)假定車速恒定，即不考慮車輛前進(jìn)方向的自由度。

根據(jù)假設(shè)，車輛被簡化為一個(gè)僅剩側(cè)向和橫擺兩個(gè)運(yùn)動自由度的經(jīng)典“二輪自行車”模型，稱之為“基本操縱模型”。簡化后的四輪轉(zhuǎn)向2自由度模型，如圖1。

圖1 四輪轉(zhuǎn)向二自由度模型Fig. 1 Two-degree-of-freedom model of four-wheel steering

汽車前后輪側(cè)偏角與其運(yùn)動參數(shù)有關(guān)，根據(jù)相關(guān)坐標(biāo)系定義，有：

(1)

式中：αf、αr分別為前后輪側(cè)偏角，°；lf、lr分別為前、后軸到質(zhì)心的距離，m；δf、δr分別為前、后輪轉(zhuǎn)角，°；u為汽車前進(jìn)方向的速度，m·s-1；r為整車橫擺角速度，rad·s-1；β為整車質(zhì)心處側(cè)偏角，°，即車輛質(zhì)心的運(yùn)動方向與汽車前進(jìn)方向之間的夾角，定義v為汽車質(zhì)心處的側(cè)向速度m·s-1，則有：

(2)

由圖1假設(shè)可列出外力、外力矩與汽車運(yùn)動參數(shù)之間的關(guān)系式為：

(3)

式中：Fy為側(cè)偏力，N；Mz為外力矩，N·m；，Cαf、Cαr分別為等效前軸側(cè)偏剛度，N·m-1。

根據(jù)牛頓-歐拉方程，二自由度汽車運(yùn)動微分方程式為

(4)

化為標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)空間模型為：

(5)

需要注意，車輛的質(zhì)心側(cè)偏角β很難用傳感器測量得到，而車輛的橫擺角速度可以通過陀螺儀等儀器測量得到，因此，我們認(rèn)為系統(tǒng)的輸出僅為整車橫擺角速度r。則在式(5)中，狀態(tài)向量x，狀態(tài)系數(shù)矩陣A，輸入向量u，控制矩陣B，輸出向量y，輸出狀態(tài)系數(shù)矩陣C，輸出控制系數(shù)矩陣分別為：

x=[βr]T,u=[δfδr]T,y=r

C=[0 1],D=0

模型的其他參數(shù)如表1。

表1 模型參數(shù)Table 1 Model parameters

2 系統(tǒng)性能指標(biāo)

研究中只考慮車輛以較高速度行駛的狀態(tài)，旨在改進(jìn)車輛高速操穩(wěn)性時(shí)的四輪轉(zhuǎn)向控制策略，低速時(shí)不予考慮(低速時(shí)旨在提高車輛轉(zhuǎn)向輕便性，通過前后輪方向轉(zhuǎn)動即可實(shí)現(xiàn))。

車輛前后車輪如果同向轉(zhuǎn)動，產(chǎn)生的車輛質(zhì)心側(cè)偏角和橫擺角速度方向相反，也可驗(yàn)證前后車輪如果反向轉(zhuǎn)動，則產(chǎn)生的車輛質(zhì)心側(cè)偏角和橫擺角速度方向相同，這些結(jié)論在各種車速下都是成立的。對比前輪轉(zhuǎn)向與四輪轉(zhuǎn)向，如圖2。

圖2 前輪轉(zhuǎn)向和四輪轉(zhuǎn)向?qū)Ρ菷ig. 2 Contrast of front-wheel steering and four-wheel steering

圖3 穩(wěn)態(tài)橫擺角速度增益的滿意區(qū)域Fig. 3 Satisfactory area of steady-state yaw rate gain

車輛在高速行駛時(shí)，前后輪反向轉(zhuǎn)動是非常危險(xiǎn)的情況，因?yàn)檫@會進(jìn)一步惡化車輛轉(zhuǎn)彎時(shí)的操穩(wěn)性能。當(dāng)前后輪同向轉(zhuǎn)動時(shí)，控制策略存在的矛盾就在于：一方面，同向轉(zhuǎn)動會使車輛的質(zhì)心側(cè)偏角減小至零附近，有助于提高車輛的路徑跟蹤能力；另一方面，也有可能使整車橫擺角速度降低，從而使駕駛員對轉(zhuǎn)彎時(shí)“路感”降低，造成車輛操縱性下降。

當(dāng)前后輪同向轉(zhuǎn)動相同的角度時(shí)，與前輪轉(zhuǎn)動相比整車質(zhì)心側(cè)偏角變成正值，同時(shí)，車輛橫擺角速度穩(wěn)態(tài)值基本為零，這種情況下車輛將完全喪失轉(zhuǎn)向能力，斜向前駛離彎道。由此可見，后輪轉(zhuǎn)角控制策略的制定非常關(guān)鍵，制定時(shí)如發(fā)生前后輪同時(shí)轉(zhuǎn)相同角度的情況，不僅不會增加車輛轉(zhuǎn)向時(shí)的操控性，反而會惡化操穩(wěn)性[5-6]。

綜上，性能指標(biāo)可以描述為：在特定車速(25 m/s)和前輪轉(zhuǎn)角(3°)下，通過后輪轉(zhuǎn)角控制策略的實(shí)施，使車輛轉(zhuǎn)彎時(shí)質(zhì)心側(cè)偏角響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值以最好的效果接近于零；同時(shí)還需保證車輛的橫擺角速度響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值在滿意區(qū)間內(nèi)。前一問題為典型的狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題，后一問題為典型的跟蹤問題。

3 系統(tǒng)狀態(tài)觀測

車輛的橫擺角速度可以根據(jù)陀螺儀等測得，但整車質(zhì)心側(cè)偏角的測量很困難，為了實(shí)現(xiàn)后期控制器的設(shè)計(jì)，首先進(jìn)行系統(tǒng)狀態(tài)觀測。

3.1 判斷系統(tǒng)的能觀性

當(dāng)車速為25m/s時(shí)，代入相關(guān)參數(shù)，有：

(6)

因此系統(tǒng)完全能觀測。

3.2 系統(tǒng)狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì)

在進(jìn)行系統(tǒng)狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì)之前，首先求出原系統(tǒng)極點(diǎn)，在MATLAB中輸入eig(A)，可得原系統(tǒng)的極點(diǎn)為：-3.270 4±3.253 8i。

由于輸出變量為系統(tǒng)的一個(gè)狀態(tài)變量，即橫擺角速度，因此選擇降維狀態(tài)觀測器，觀測器極點(diǎn)取為-10，如式(7)：

(7)

輸出y為x2，因此只需設(shè)計(jì)一維觀測器觀測x1即可。

(8)

計(jì)算可得g=0.596 7，進(jìn)一步有：

(9)

(10)

代入數(shù)據(jù)，有：

(11)

最后采用觀測器所得狀態(tài)變量表達(dá)式為：

(12)

對降維狀態(tài)觀測器進(jìn)行驗(yàn)證，仿真工況為：車速25 m/s，前輪施加3°階躍激勵，后輪施加1°階躍激勵，分別給出仿真直接輸出和通過觀測器觀測輸出的狀態(tài)變量響應(yīng)曲線，如圖4。圖4(a)表示仿真直接輸出的響應(yīng)曲線，圖4(b)表示觀測器觀測輸出的響應(yīng)曲線。

圖4 仿真直接輸出的響應(yīng)曲線和觀測器觀測輸出的響應(yīng)曲線Fig. 4 Response curves of simulation direct output and observer observation output

從圖4中可以看出，兩者的結(jié)果吻合的非常好，因此，設(shè)計(jì)的降維狀態(tài)觀測器能夠?qū)崿F(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)的觀測。

4 反饋控制律設(shè)計(jì)

線性二次型最優(yōu)控制(LQR)設(shè)計(jì)的思路為：車輛以固定車速25m/s行駛，給前輪施加一個(gè)固定的階躍轉(zhuǎn)角取為3°，通過控制后輪的轉(zhuǎn)角以實(shí)現(xiàn)車輛的質(zhì)心側(cè)偏角穩(wěn)態(tài)時(shí)接近于0；同時(shí)使車輛穩(wěn)態(tài)時(shí)橫擺角速度在滿意區(qū)間內(nèi)。根據(jù)圖3得出滿意的橫擺角速度為9°·s-1。

可以將前輪轉(zhuǎn)角視為外界干擾δf，而將后輪轉(zhuǎn)角作為系統(tǒng)的控制輸入u，重新列寫系統(tǒng)狀態(tài)方程為：

(13)

式中參數(shù)如下，其余參數(shù)不變：

4.1 質(zhì)心側(cè)偏角穩(wěn)態(tài)值接近于零模式

性能指標(biāo)[7-8]取為：

(14)

控制律為：

(15)

式中，P滿足矩陣?yán)杩ㄌ岽鷶?shù)微分方程[9]。

(16)

此時(shí)，控制律是線性的，即：

u*=-Kx

(17)

選取三組合適的加權(quán)矩陣：

分別代入三組加權(quán)矩陣進(jìn)行狀態(tài)調(diào)節(jié)器仿真如圖5。

圖5 質(zhì)心側(cè)偏角響應(yīng)曲線和橫擺角速度響應(yīng)曲線Fig. 5 Response curves of sideslip angle of centroid and yaw rate

由三組仿真曲線分析可看出，第二組加權(quán)矩陣對應(yīng)的質(zhì)心側(cè)偏角相比另外兩組加權(quán)矩陣更加趨近于期望值0，由于狀態(tài)調(diào)節(jié)器的主要目的在于質(zhì)心側(cè)偏角偏向于0，因此選第二組加權(quán)矩陣更為合適，但是橫擺角速度并不趨于期望值9°·s-1。

經(jīng)計(jì)算可得，控制律為：

(18)

4.2 橫擺角速度趨近期望值模式

取滿意的橫擺角速度yr=9°·s-1，定義誤差向量為e(t)=yr(t)-y(t)，性能指標(biāo)為：

(19)

進(jìn)而可得：

(20)

根據(jù)相關(guān)推導(dǎo)[4],最終可得控制律為：

(21)

其中P和g滿足：

(22)

選取三組合適的加權(quán)系數(shù)：

分別代入三組加權(quán)系數(shù)，進(jìn)行橫擺角速度跟蹤仿真如圖6。

圖6 橫擺角速度響應(yīng)曲線和質(zhì)心側(cè)偏角響應(yīng)曲線Fig. 6 Response curves of yaw rate and sideslip angle of centroid

由三組仿真曲線可看出，第一組加權(quán)系數(shù)對應(yīng)的橫擺角速度相比另外兩組加權(quán)系數(shù)更加趨近于期望值9°·s-1，滿足橫擺角速度追蹤期望值的要求。因此選取第一組加權(quán)系數(shù)，但是質(zhì)心側(cè)偏角并不趨于期望值0。

經(jīng)計(jì)算可得，控制律為：

(23)

4.3 加權(quán)線性二次型最優(yōu)控制模式

如4.1、4.2所述，采用狀態(tài)調(diào)節(jié)器時(shí)，車輛質(zhì)心側(cè)偏角可以穩(wěn)定在0°附近，滿足響應(yīng)要求，但車輛穩(wěn)態(tài)橫擺角速度較小，只有6°·s-1附近；采用車輛目標(biāo)橫擺角速度跟蹤法求得控制律時(shí)，系統(tǒng)最終的穩(wěn)態(tài)橫擺角速度穩(wěn)定在9°·s-1附近，滿足響應(yīng)要求，但車輛質(zhì)心側(cè)偏角相對較大，其絕對值達(dá)到0.2°附近。

為此，筆者采用兩種控制律加權(quán)的形式對車輛的后輪進(jìn)行控制，狀態(tài)調(diào)節(jié)器的控制律為：

(24)

橫擺角速度跟蹤的控制律律為：

(25)

最終的加權(quán)控制律取為：

(26)

在給定的25 m/s工況下，輸入方向盤3°階躍，不斷調(diào)節(jié)加權(quán)控制率參數(shù)k1和k2，使得質(zhì)心側(cè)偏角趨近于0，同時(shí)使得橫擺角速度趨近于期望值，達(dá)到最優(yōu)控制效果，根據(jù)不斷調(diào)試的結(jié)果選取最優(yōu)加權(quán)控制率參數(shù)為：k1=0.2,k2=0.8。

在不同車速工況下，加權(quán)控制率參數(shù)需根據(jù)預(yù)先仿真所得參數(shù)表進(jìn)行查表選取。

5 仿真與分析

筆者通過MATLAB/Simulink對輸入前輪轉(zhuǎn)角為典型階躍工況和典型單移線工況分別進(jìn)行仿真分析，并與前輪轉(zhuǎn)向控制系統(tǒng)進(jìn)行對比，分析總結(jié)控制器對于穩(wěn)定性的控制效果。

5.1 階躍工況仿真

典型階躍工況仿真，整個(gè)控制系統(tǒng)在Simulink環(huán)境下的仿真模型如圖7。

圖7 階躍工況Simulink仿真模型Fig. 7 Simulink simulation model of step condition

取車速為25 m/s，前輪階躍輸入為3°，仿真曲線如圖8。

圖8 質(zhì)心側(cè)偏角響應(yīng)曲線對比和橫擺角速度響應(yīng)曲線對比Fig. 8 Comparison of response curves of the sideslip angle of centroid and yaw rate

5.2 單移線工況仿真

典型單移線工況仿真，轉(zhuǎn)向控制策略采用多點(diǎn)預(yù)瞄駕駛員模型[10]，整個(gè)控制系統(tǒng)在Simulink環(huán)境下的仿真模型如圖9。

圖9 單移線工況Simulink仿真模型Fig. 9 Simulink simulation model of single-lane condition

取車速25 m/s，行車軌跡、前輪轉(zhuǎn)角曲線、試驗(yàn)仿真曲線如圖10。

圖10 實(shí)驗(yàn)仿真Fig. 10 Experimental simulation diagram

5.3 仿真響應(yīng)分析

仿真結(jié)果分析可知：2自由度系統(tǒng)只有一個(gè)輸入作用的情況下不可能同時(shí)將狀態(tài)變量調(diào)到最優(yōu)，因此設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測器不斷觀測質(zhì)心側(cè)偏角，然后通過由狀態(tài)調(diào)節(jié)器和由橫標(biāo)角速度跟蹤的控制器進(jìn)行加權(quán)，求得最優(yōu)的控制律。由階躍工況和單移線工況的仿真結(jié)果可見，設(shè)計(jì)的四輪轉(zhuǎn)向控制器相對于前輪轉(zhuǎn)向車輛而言，在不明顯喪失駕駛員轉(zhuǎn)彎時(shí)“路感”的同時(shí)(穩(wěn)態(tài)時(shí)橫擺角速度稍有減少)能夠顯著提高車輛的路徑跟蹤能力，同時(shí)可看出筆者設(shè)計(jì)的控制器還能夠提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度，減小滯后環(huán)節(jié)，而這對于駕駛員高速時(shí)緊急轉(zhuǎn)向安全性很有幫助。

6 結(jié) 語

在輪胎側(cè)偏等概念的基礎(chǔ)上，運(yùn)用機(jī)理建模的方法，建立了四輪轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的2自由度數(shù)學(xué)模型，設(shè)計(jì)的一階降維狀態(tài)觀測器對模型中質(zhì)心側(cè)偏角進(jìn)行了觀測，結(jié)果顯示，所建立的觀測器具有很好的觀測效果；并且在狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)之上分別運(yùn)用極點(diǎn)配置法和線性2次型最優(yōu)控制兩種方法對控制器進(jìn)行設(shè)計(jì)，提出了一種對狀態(tài)調(diào)節(jié)器和目標(biāo)橫擺角速度跟蹤進(jìn)行加權(quán)的控制律設(shè)計(jì)方法，通過階躍工況和單移線工況仿真試驗(yàn)結(jié)果顯示，所設(shè)計(jì)的控制器能夠在不顯著降低駕駛員轉(zhuǎn)向“路感”的前提下，明顯的提升了車輛轉(zhuǎn)彎時(shí)的路徑跟蹤能力，在維持汽車穩(wěn)定性控制上具有一定的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。