三數(shù)兩差經(jīng)常考 善用概念是妙招

文陳新合

“數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)和離散程度”這一章的主要內(nèi)容可以概括為：三數(shù)兩差。三數(shù)指平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)；兩差指極差和方差。它們是中考考查的熱門(mén)知識(shí)點(diǎn)，理解概念是解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵。

一、考查三數(shù)的概念及意義

例1 （2019·十堰）一次數(shù)學(xué)測(cè)試，某小組5名同學(xué)的成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下（有兩個(gè)數(shù)據(jù)被遮蓋），則被遮蓋的兩個(gè)數(shù)據(jù)依次是（ ）。

眾數(shù)■組員得分甲乙丁戊81 77丙 ■80 82平均成績(jī)80

A.80，80 B.81，80

C.80，2 D.81，2

【解析】本題考查平均數(shù)和眾數(shù)的概念。平均數(shù)是所有數(shù)據(jù)的和除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)；眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)。根據(jù)表格數(shù)據(jù)可先利用平均數(shù)的計(jì)算公式求出丙的得分：設(shè)丙的得分為x，80×5=x+81+77+80+82，求得x=80，所以丙的得分是80分，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是80，故選A。

例2 （2019·成都）某校開(kāi)展了主題為“青春·夢(mèng)想”的藝術(shù)作品征集活動(dòng)，從九年級(jí)五個(gè)班收集到的作品數(shù)量（單位：件）分別為：42，50，45，46，50，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（ ）。

A.42件 B.45件

C.46件 D.50件

【解析】本題考查中位數(shù)的概念。中位數(shù)是指：將這列數(shù)按從小到大（或從大到小）排列后，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。所以先將數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列：42，45，46，50，50，這組數(shù)據(jù)有5個(gè)，則取中間的數(shù)據(jù)46，故選C。

口訣：排序小大大小，奇取中偶取均。

例3 （2019·長(zhǎng)沙）在慶祝新中國(guó)成立70周年的校園歌唱比賽中，11名參賽同學(xué)的成績(jī)各不相同，按照成績(jī)?nèi)∏?名進(jìn)入決賽。如果小明知道了自己的比賽成績(jī)，要判斷能否進(jìn)入決賽，小明需要知道這11名同學(xué)成績(jī)的（ ）。

A.平均數(shù) B.中位數(shù)

C.眾數(shù) D.方差

【解析】本題考查平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)和方差的意義。平均數(shù)表達(dá)一組數(shù)據(jù)的平均水平；中位數(shù)表達(dá)一組數(shù)據(jù)的中等水平；眾數(shù)表達(dá)一組數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)；方差表達(dá)一組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度。根據(jù)題意可知比賽取前5名參加決賽，共有11名選手參加，只要知道自己的成績(jī)和中位數(shù)就可以知道是否進(jìn)入決賽了，所以根據(jù)中位數(shù)的意義可知選B。

二、考查兩差的概念及意義

例4 （2019·金華）某地一周前四天每天的最高氣溫與最低氣溫如下表，則這四天中溫差最大的是（ ）。

9℃-3℃星期最高氣溫最低氣溫一二三四10℃3℃12℃0℃11℃-2℃

A.星期一 B.星期二

C.星期三 D.星期四

【解析】本題考查極差的概念。極差是一組數(shù)據(jù)的最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)的差值。溫差就是一天的最高溫度與最低溫度的差值。星期一：10-3=7（℃）；星期二：12-0=12（℃）；星期三：11-（-2）=13（℃）；星期四：9-（-3）=12（℃）。∵7＜12＜13，∴這四天中溫差最大的是星期三。故答案為：C。

例5 （2019·巴中）如果一組數(shù)據(jù)為4，a，5，3，8，其平均數(shù)為a，那么這組是：s（簡(jiǎn)記：方差等于差方的平均數(shù)）。由題意得：先根據(jù)平均數(shù)的概念確定a的值：解得：a=5，則這組數(shù)據(jù)為4，5，5，3，8，其平均數(shù)是5，再根據(jù)方差公式進(jìn)行計(jì)算：，故答案為：數(shù)據(jù)的方差為_(kāi)_______。

【解析】本題考查平均數(shù)和方差的概念。一組數(shù)據(jù)中各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)，叫做這組數(shù)據(jù)的方差。求方差的步驟：先平均，再求差，然后平方，最后再平均。計(jì)算公式

例6 （2019·寧波）去年某果園隨機(jī)從甲、乙、丙、丁四個(gè)品種的葡萄樹(shù)中各采摘了10棵，每棵產(chǎn)量的平均數(shù)x（單位：千克）及方差s2（單位：千克2）如表所示：

乙甲丙____丁__20 1.9 x____s2 24____2.1____24____1.9____23 2

今年準(zhǔn)備從四個(gè)品種中選出一種產(chǎn)量既高又穩(wěn)定的葡萄樹(shù)進(jìn)行種植，應(yīng)選的品種是（ ）。

A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

【解析】本題考查平均數(shù)和方差的意義。方差是反映一組數(shù)據(jù)離散程度的量。方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度就越小，穩(wěn)定性越好。由題意可知：因?yàn)榧捉M、乙組的平均數(shù)比丙組、丁組的大，而乙組的方差比甲組的小，所以乙組的產(chǎn)量比甲組的穩(wěn)定，因此乙組的產(chǎn)量既高又穩(wěn)定，故選：B。

三、綜合考查三數(shù)兩差

例7 （2019·株洲）若一組數(shù)據(jù)x，3，1，6，3的中位數(shù)和平均數(shù)相等，則x的值為（ ）。

A.2 B.3 C.4 D.5

【解析】根據(jù)平均數(shù)與中位數(shù)的概念，分四種情況：x≤1，1＜x＜3，3≤x＜6，x≥6時(shí)，分別列出方程，進(jìn)行計(jì)算即可求出答案。

解：當(dāng)x≤1時(shí)，中位數(shù)與平均數(shù)相等，則得到（x+3+1+6+3）=3，解得x=2（舍去）；

所以x的值為2。故選：A。

例8 （2019·濱州）若一組數(shù)據(jù)4，x，5，y，7，9的平均數(shù)為6，眾數(shù)為5，則這組數(shù)據(jù)的方差為_(kāi)_______。

【解析】根據(jù)眾數(shù)的定義先判斷出x，y中至少有一個(gè)是5，再根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式求出x+y=11，然后代入方差公式得出答案。

解：∵一組數(shù)據(jù)4，x，5，y，7，9的眾數(shù)為5，∴x，y中至少有一個(gè)是5，∵一組數(shù)據(jù)4，x，5，y，7，9的平均數(shù)為6，∴（4+x+5+y+7+9）=6，∴x+y=11，∴x，y中一個(gè)是5，另一個(gè)是6，∴這組數(shù)據(jù)的方差為（5-6）2+（5-6）2+（6-6）2+（7-6）2+（9-6）2］故答案為

最后，同學(xué)們?cè)谔幚碛嘘P(guān)“三數(shù)兩差”的問(wèn)題時(shí)，務(wù)必要明確相關(guān)概念以及它們的意義，從它們的概念入手分析問(wèn)題，尋找解決問(wèn)題的突破口，問(wèn)題就可以迎刃而解了。