例說古典概型中的“等可能”

文鄭金華

第四章 等可能條件下的概率

領(lǐng) 銜 人：潘建明

組稿團(tuán)隊(duì)：常州市初中數(shù)學(xué)鄉(xiāng)村骨干教師“自覺教育”培育站

古典概型在概率研究史上最先被研究，發(fā)展較為成熟，它具有以下兩個(gè)特征：（1）試驗(yàn)的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果為有限個(gè)；（2）每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同。要運(yùn)用古典概型計(jì)算事件A發(fā)生的概率，可以借助公式其中m表示事件A發(fā)生可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，n表示所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)。

例1 （1）拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣1次，結(jié)果是正面朝上的概率為____？

（2）同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣1次，結(jié)果兩枚硬幣都是正面朝上的概率是多少？

【分析】（1）拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣1次，有兩種等可能的結(jié)果，正面或反面朝上。

（2）在拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣1次的試驗(yàn)中，同學(xué)們很容易誤認(rèn)為出現(xiàn)這三種等可能的結(jié)果：兩個(gè)正面，一個(gè)正面一個(gè)反面，兩個(gè)反面。事實(shí)上這三種結(jié)果的可能性不一樣，無論是兩個(gè)正面還是兩個(gè)反面，必須滿足兩枚硬幣同時(shí)擲出相同的一面，而一個(gè)正面一個(gè)反面事實(shí)上包含兩種情況，那就是一正一反和一反一正，在表述上，我們把一正一反和一反一正都統(tǒng)稱為一個(gè)正面一個(gè)反面，由此，一個(gè)正面一個(gè)反面的可能性大。

在這里，對于一正一反和一反一正的區(qū)別，我們借取一元和五角兩枚質(zhì)地均勻的硬幣來說明。很顯然，一元硬幣正面朝上、五角硬幣反面朝上和一元硬幣反面朝上、五角硬幣正面朝上是兩種截然不同又等可能的試驗(yàn)結(jié)果，所以區(qū)分兩枚硬幣很重要。那么，我們還有其他類似于一元和五角那樣區(qū)分這兩枚質(zhì)地均勻的硬幣的方法嗎？同學(xué)們自然會(huì)想到“起名字”“簡稱”“縮寫”“編碼”等，比如用“紅1”“紅2”標(biāo)記兩個(gè)除顏色外都相同的紅球，用“Y”“K”標(biāo)記衣服和褲子……這些方法既起到區(qū)分作用又簡單易于書寫。所以在此題中，我們不妨記這兩枚硬幣為Y1和Y2，然后畫樹狀圖或表格羅列所有的試驗(yàn)結(jié)果，并要注意，每一個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果必須是等可能的。

【解答】（1）

（2）分別記這兩枚硬幣為Y1、Y2，樹狀圖如下：

列表如下：

結(jié)果Y1 Y2正反正反（正，正）（反，正）（正，反）（反，反）

共有4種等可能的結(jié)果，其中，兩枚硬幣都是正面朝上（記為事件A）的只有1種可能（正，正），所以

變式拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣2次，結(jié)果兩次都正面朝上的概率是多少？

【分析】從“拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣1次”到“拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣2次”，這兩個(gè)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果有什么異同？在這里原來的編號“硬幣1”“硬幣2”就不再適用了。那么出現(xiàn)幾種等可能的結(jié)果呢？類似于一個(gè)媽媽生了兩個(gè)孩子，兩個(gè)孩子都是女兒、兩個(gè)孩子都是兒子這兩種結(jié)果與一個(gè)孩子是女兒、一個(gè)孩子是兒子這一結(jié)果可能性一樣嗎？很顯然，不一樣！兩個(gè)女兒是姐妹；兩個(gè)兒子就是兄弟；一兒一女可能是兄妹，也可能是姐弟，先兒后女是兄妹，先女后兒是姐弟。所以試驗(yàn)中的順序也很重要，在這里，我們可以用“第一次”“第二次”來區(qū)分兩次拋擲過程。這個(gè)試驗(yàn)中有兩個(gè)元素，樹狀圖和表格均可羅列所有的結(jié)果。

【解答】樹狀圖如下：

列表如下：

第一次正反結(jié)果第二次正反（正，正）（反，正）（正，反）（反，反）

共有4種等可能的結(jié)果，其中，兩枚硬幣都是正面朝上（記為事件A）的只有1種可能（正，正），所以

例2 在4件產(chǎn)品中有2件正品，2件次品。

（1）從中任取出1件產(chǎn)品，該產(chǎn)品為次品的概率為_______。

（2）若每次取出1件做檢查（查完后不再放回），直到2件次品找到為止。求經(jīng)過2次檢查恰好將2件次品找到的概率。

【分析】第（1）題是基礎(chǔ)題。第（2）題要特別注意“不放回”，列出的表格從對角線上看非常明顯，區(qū)別于放回的情況。（B1，B2），（B2，B1）是找到2件次品的情況。題中還有一個(gè)陷阱，（A1，A2），（A2，A1）也符合題意哦。聰明的同學(xué)們，你們想明白了嗎？

【解答】（1

（2）分別記2件正品為A1、A2，2件次品記為B1、B2，列表如下：

A1 A2（A2，A1）B2（B2，A1）（B2，A2）（B2，B1）B1（B1，A1）（B1，A2）A1 A2 B1 B2（A1，A2）（A1，B1）（A1，B2）（A2，B1）（A2，B2）（B1，B2）

共有12種等可能的結(jié)果，其中，恰好將2件次品確定（記為事件A）的有（A2，A1）、（A1，A2）、（B2，B1）、（B1，B2），共4種結(jié)果，所以

例3 把3顆算珠放在計(jì)數(shù)器的3根插棒上構(gòu)成一個(gè)數(shù)字，例如，如圖擺放的算珠表示數(shù)300?，F(xiàn)將3顆算珠任意擺放在這3根插棒上。

（1）若構(gòu)成的數(shù)是兩位數(shù)，則十位數(shù)字為1的概率為_______；

（2）求構(gòu)成的數(shù)是三位數(shù)的概率。

【分析】（1）此題很多同學(xué)會(huì)錯(cuò)解：所有等可能的結(jié)果有三種，12、21、30，其中十位數(shù)字為1有一種，從而得到錯(cuò)誤答案。

（2）此題的錯(cuò)解：所有等可能的結(jié)果有10種，3、30、21、12、300、210、201、120、102、111，其中三位數(shù)有6種，從而得到錯(cuò)誤答案P（三位數(shù)）=

看到這些錯(cuò)解我們會(huì)覺得非常遺憾，更想弄明白究竟錯(cuò)在哪？接下來讓我們一起來探個(gè)究竟，尋個(gè)明白。

在第（1）問的解答中，12、21、30真的是等可能的實(shí)驗(yàn)結(jié)果嗎？細(xì)細(xì)琢磨，不難發(fā)現(xiàn)它們不是等可能的。比如12和30，12表示只要其中任意一顆算珠插在十位的棒上，余下兩顆插在個(gè)位的棒上；30則表示所有的算珠都要插在十位的棒上，所以，12比30的可能性要大，而12和21具有一定的對稱性，其可能性是一樣的。既然12、21、30三者的可能性不一樣，那么這種擺放方式就不符合古典概型的基本特征，計(jì)算得到的概率必然是錯(cuò)誤的。由此及彼，再看第（2）問，錯(cuò)誤的實(shí)質(zhì)一樣，那就是羅列的所有結(jié)果不具有等可能性，必然導(dǎo)致模型使用錯(cuò)誤。

【解答】

（2）將3顆算珠任意擺放在3根插棒上，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有：（百，百，百）、（百，百，十）、（百，百，個(gè)）、（百，十，百）、（百，十，十）、（百，十，個(gè)）、（百，個(gè)，百）、（百，個(gè)，十）、（百，個(gè)，個(gè)）、（十，百，百）、……、（十、個(gè)、個(gè)）、（個(gè)、百、百）、……、（個(gè)，個(gè)，個(gè)），共有27種，它們出現(xiàn)的可能性相同。所有的結(jié)果中，滿足“構(gòu)成的數(shù)是三位數(shù)”（記為事件A）的結(jié)果有19種，所以P（A）=

同學(xué)們，希望你們能通過閱讀此文練就一雙慧眼，在古典概型中找到真正所有的“等可能”實(shí)驗(yàn)結(jié)果。