渦脫落熱聲振蕩中相似性及渦聲鎖頻行為*

王偉 出口祥啓 何永森 張家忠?

1) (西安交通大學(xué)能源與動力工程學(xué)院,西安 710049)

2) (德島大學(xué)大學(xué)院理工學(xué)研究部,德島 770-8506,日本)

基于Matveev和Culick提出的渦脫落引起的熱聲不穩(wěn)定性一維簡化模型,對渦脫落引起的熱聲振蕩中的典型非線性現(xiàn)象進行研究,著重研究了系統(tǒng)的初值敏感性、關(guān)鍵參數(shù)對熱聲振蕩的影響規(guī)律及渦聲鎖頻現(xiàn)象.首先,采用Galerkin方法將控制方程中壓力和速度波動在基函數(shù)下展開,使偏微分方程組轉(zhuǎn)化為一簇常微分方程；然后,數(shù)值求解得到了不同系統(tǒng)參數(shù)下聲場的壓力和速度波動,并詳細分析了系統(tǒng)在不同初始條件下的熱聲不穩(wěn)定性,同時研究了不同穩(wěn)態(tài)流動速度對系統(tǒng)熱聲振蕩的影響規(guī)律,以及在不同穩(wěn)態(tài)流動速度下熱聲振蕩過程中出現(xiàn)的渦聲鎖頻現(xiàn)象.結(jié)果表明：該渦脫落熱聲振蕩系統(tǒng)對初值極為敏感,是典型的非線性系統(tǒng)；隨著穩(wěn)態(tài)流動速度增大,壓力波動的振幅總體有增大趨勢,但在幾個速度區(qū)間內(nèi)卻重復(fù)出現(xiàn)振幅先減小后增大的相似結(jié)構(gòu)；系統(tǒng)最終以渦撞擊頻率(fs)的整數(shù)(fp/fs)倍做周期振蕩,呈現(xiàn)轉(zhuǎn)數(shù)為fp/fs的渦聲鎖頻,該渦聲鎖頻可以作為周期性燃燒振蕩的重要特征.

1 引 言

反應(yīng)物在燃燒室內(nèi)燃燒過程中伴隨著顯著的壓力振蕩,若該壓力振蕩由不穩(wěn)定熱釋放引起,則該現(xiàn)象被稱為燃燒不穩(wěn)定.此類現(xiàn)象廣泛存在于許多實際系統(tǒng)或設(shè)備中,如：沖壓式噴氣發(fā)動機、火箭發(fā)動機、加力燃燒室、燃氣輪機以及鍋爐.該燃燒不穩(wěn)定性是由熱源不穩(wěn)定放熱引起的聲場振蕩,又被稱為熱聲不穩(wěn)定性或熱聲振蕩,其表現(xiàn)為熱釋放和壓力的快速波動,以及燃燒室一種或多種聲學(xué)模態(tài)的大幅度振蕩.各種燃燒室內(nèi)的燃燒振蕩將帶來許多令人困擾的問題,如：其產(chǎn)生的大幅度壓力和速度振蕩,將導(dǎo)致噴氣發(fā)動機推力振蕩；其產(chǎn)生的嚴重振動,將干擾控制系統(tǒng)的運行；燃燒振蕩將加重燃燒室壁面的熱應(yīng)力；燃燒振蕩將加大系統(tǒng)組件的機械負載,引起低周或高周疲勞；燃燒振蕩可能導(dǎo)致燃燒室熄火或火焰閃回[1].因此研究熱聲不穩(wěn)定性現(xiàn)象,揭示其發(fā)生機理與發(fā)展規(guī)律,對興利避害,合理利用熱聲振蕩具有重大意義.

熱聲不穩(wěn)定性是由波動的熱釋放率與燃燒室聲場之間形成正反饋回路而引起的,即：反應(yīng)物燃燒造成的不穩(wěn)定熱量釋放引起聲場的振蕩,而聲場的振蕩又反過來加劇熱量釋放的波動過程,從而形成正反饋回路[2].文獻[1]對熱聲振蕩的產(chǎn)生機理給出了解釋：燃燒過程向聲場振蕩中添加(或移除)能量取決于Rayleigh積分的正(或負),Rayleigh積分的正負取決于壓力波動與熱量釋放間的相位差,該相位差小于90°,相應(yīng)的Rayleigh積分為正,燃燒過程向聲場振蕩中加入能量.若加入的能量大于燃燒室中傳熱、輻射、對流及黏性耗散等消耗的能量,振蕩將逐漸加強,直至趨向某一極限環(huán)振蕩.

事實上,熱聲振蕩是由非線性過程主導(dǎo)的復(fù)雜現(xiàn)象,Rayleigh準則和線性分析方法雖然能夠解釋熱聲振蕩產(chǎn)生和維持的機理,但卻無法預(yù)測系統(tǒng)失穩(wěn)后的狀態(tài),也無法對熱聲振蕩中可能存在的模態(tài)耦合、鎖頻、遲滯、分岔及混沌等復(fù)雜非線性現(xiàn)象進行分析,因此有必要采用非線性動力學(xué)分析方法研究熱聲振蕩.

對于該問題的研究,在基本模型方面,Rijke管是研究熱聲振蕩的最方便最經(jīng)典的模型,因此一些學(xué)者基于該模型對熱聲振蕩進行了大量研究,其中不乏采用非線性動力學(xué)方法進行的研究.Balasubramanian等[3]就以一維Rijke管熱聲振蕩模型為研究對象,數(shù)值研究了熱聲不穩(wěn)定過程中的非正常和非線性現(xiàn)象.Subramanian等[4]對水平Rijke管的動力學(xué)行為進行了分岔分析,采用數(shù)值延拓法得到了包含不穩(wěn)定極限環(huán)振幅的分岔圖,并對不同參數(shù)下的亞臨界分岔和雙穩(wěn)態(tài)區(qū)進行了分析.黨南南等[5]采用數(shù)值方法研究了強弱兩種阻尼條件下Rijke管熱聲振蕩穩(wěn)定性切換行為與傳熱遲滯時間的關(guān)系.

基于以上背景,本文研究基于Rijke管的帶后向臺階的模型,該模型就是一種火焰穩(wěn)定器,在實際燃燒室中很常見.早在1956年,Rogers等[6]就對一小型二維燃燒室進行實驗研究,觀察了高頻振蕩伴隨的火焰穩(wěn)定器邊緣周期性渦脫落,提出了振蕩發(fā)生的機理.后來,許多學(xué)者通過大量的實驗研究了渦脫落在熱聲振蕩中的作用[7-11].同時,隨著計算流體動力學(xué)(CFD)技術(shù)的發(fā)展,學(xué)者們開始用CFD軟件模擬燃燒-渦-聲相互作用的過程[12,13].如今,大渦模擬(LES)成為了數(shù)值模擬燃燒過程及燃燒不穩(wěn)定性的最有力工具[14-17].

目前對帶后向臺階燃燒室的熱聲振蕩研究主要以實驗和數(shù)值模擬為主,理論研究和機理分析較少.由于實驗和數(shù)值研究消耗大量資源和時間,因此有必要基于基本模型的研究,給出渦脫落熱聲振蕩產(chǎn)生的機理及演化規(guī)律.在此方面,學(xué)者們做了許多研究.Matveev和Culick[18]基于帶后向臺階燃燒室的簡化模型推導(dǎo)出了渦脫落、燃燒室聲場和燃燒過程之間相互作用的降階模型,并用該模型計算了熱聲振蕩過程的鎖頻,與實驗結(jié)果進行了對比驗證,同時指出該簡化模型可以模擬許多真實燃燒室中存在的模態(tài)耦合、鎖頻、遲滯及混沌等非線性現(xiàn)象.Tulsyan等[19]以Matveev提出的模型為基礎(chǔ),數(shù)值計算了不同參數(shù)下系統(tǒng)熱聲振蕩的時間序列,對比了初始擾動、阻尼系數(shù)等系統(tǒng)參數(shù)對熱聲振蕩的影響.文獻[20-22]均基于該渦脫落引起的熱聲振蕩簡化模型對渦脫落、聲場與燃燒過程相互作用中的非線性現(xiàn)象進行了研究.Singaravelu和Mariappan[23]對該模型的控制方程進行了無量綱化,并做了線性穩(wěn)定性分析,導(dǎo)出了熱聲振蕩過程中的龐加萊截面計算公式,得出系統(tǒng)的穩(wěn)定性與龐加萊映射的特征值有關(guān)的結(jié)論,量化了該熱聲相互作用的穩(wěn)定性.Singaravelu和Mariappan[24]進一步基于該無量綱化控制方程,研究了燃燒不穩(wěn)定性中的渦聲鎖頻現(xiàn)象,以系統(tǒng)中速度波動量從零到峰值的幅度作為判斷Helmholtz數(shù)從旋渦脫落模式向聲模式轉(zhuǎn)變的標準,提出了判斷渦聲鎖頻的準則并與實驗結(jié)果進行了比較.Chakravarthy等[25]通過實驗研究了后向臺階燃燒室中的渦聲鎖頻現(xiàn)象,結(jié)果表明渦聲鎖頻是燃燒不穩(wěn)定性出現(xiàn)的重要標志.

目前為止,基于Matveev和Culick[18]提出的渦脫落熱聲模型的研究,雖然分析了某些關(guān)鍵參數(shù)對系統(tǒng)的影響,以及發(fā)現(xiàn)了渦聲鎖頻等非線性現(xiàn)象,但是沒有研究燃燒室主流流速對系統(tǒng)熱聲振蕩過程的影響規(guī)律,也沒有從非線性動力學(xué)角度對實驗中發(fā)現(xiàn)的渦聲鎖頻現(xiàn)象的機理進行分析.因此本文以此為背景,首先介紹了所研究的物理模型及控制方程,然后采用Galerkin方法逼近控制方程,取前十階模態(tài)進行數(shù)值計算,得到了聲場的壓力和速度波動.對比不同參數(shù)下的計算結(jié)果,首先研究了系統(tǒng)的初值敏感性,證實了其為典型的非線性系統(tǒng)；然后研究了主流平均流速對熱聲振蕩的影響規(guī)律,發(fā)現(xiàn)了平均流速改變下壓力波動振幅呈現(xiàn)相似結(jié)構(gòu)；最后通過頻率比研究了系統(tǒng)熱聲振蕩中渦聲鎖頻的特點,揭示了實驗中發(fā)現(xiàn)的渦聲鎖頻的形成機理.本文主要研究了渦脫落引起的熱聲振蕩中相似性和渦聲鎖頻這兩種典型非線性現(xiàn)象,對于從動力學(xué)角度揭示熱聲不穩(wěn)定性的機理及指導(dǎo)相關(guān)實驗具有重要意義.

2 數(shù)學(xué)物理模型及求解

2.1 物理模型

如圖1所示,采用Matveev和Culick論文中提出的渦脫落熱聲模型對熱聲振蕩進行研究.該熱聲系統(tǒng)是一兩端開口且內(nèi)部具有后向臺階的管道,管道總長度為L.本研究中采用圖中的一維坐標系,Ls為后向臺階的位置,此處有旋渦的生成和脫落,Lc為脫落渦撞擊下游壁面的位置.

圖1 帶后向臺階的燃燒室簡化模型Fig.1.The simplified model of combustor with backward facing step.

在一定流速 u0下,由于 Ls處剪切層的不穩(wěn)定性,將有旋渦產(chǎn)生.滿足一定條件后,攜帶著反應(yīng)物的旋渦從臺階 Ls處脫落,并在凹腔內(nèi)沿主流與回流區(qū)的邊界向下游對流,在 Lc處撞擊下游壁面并破裂,造成集中燃燒并伴隨瞬時熱量釋放.事實上,在非定常流動中渦的生成、對流、破裂過程的控制方程都是非線性的.為了研究方便,引入Matveev和Culick發(fā)展的非定常流中旋渦脫落模型.

2.2 旋渦脫落模型

穩(wěn)態(tài)流動中鈍體后將出現(xiàn)有規(guī)律的旋渦脫落,渦脫落頻率表示為

其中St 為Strouhal數(shù),d 為特征尺寸.由于該熱聲系統(tǒng)中波動的壓力和速度將影響渦脫落過程,Matveev和Culick[18]提出了非定常流中簡化渦脫落模型,其中St 與穩(wěn)態(tài)流動下相同,瞬時合速度u (t)=u0+u′(t),臺階后產(chǎn)生的旋渦環(huán)量增長率表示為

第m 個渦從 Ls處脫落后,向下游運動的速度等于旋渦瞬時位置處的合速度：

其中 xm為第m 個渦的瞬時位置,u′(xm,t) 為xm處的瞬時脈動速度,α為小于1的系數(shù),通常取0.4—0.6[23].在分段式固體火箭發(fā)動機的空腔中,α常取0.5—0.6[26].

2.3 熱聲模型

忽略溫度梯度、黏性效應(yīng)以及穩(wěn)態(tài)流動對聲場的所有直接影響,該系統(tǒng)中聲場的動量和能量控制方程可表示為：

式中 p′和 u′分別為聲場的壓力和速度波動,γ為比熱容比,p0為未擾動的平均壓力.為熱釋放率,可用空間和時間上的delta函數(shù)表示為[18]

式中的求和可由脫落渦的數(shù)量確定,β為一恰當?shù)臒後尫畔禂?shù),它將渦撞擊與熱釋放率聯(lián)系起來,tm為環(huán)量為 Γm的第m 個渦的撞擊時刻.

采用Galerkin方法將偏微分方程(5)和(6)降階為一簇常微分方程,為滿足兩端開口管道的聲學(xué)邊界條件[19],壓力和速度波動的Galerkin分解分別為：

引入阻尼系數(shù) ξn[18]：

式中 c1和 c2分別為端部損失和邊界層損失引起的阻尼系數(shù)[9].添加阻尼項并將熱源項(7)式代入(10)式可得：

3 計算結(jié)果與分析

3.1 計算參數(shù)設(shè)置與模型驗證

本文的計算由編寫的MATLAB程序完成,根據(jù)已有文獻的研究結(jié)果及對各種系統(tǒng)參數(shù)的試算過程,選擇以下參數(shù)可以更清晰地呈現(xiàn)該模型的非線性特征：L= 1 m,Ls= 0.3 m,Lc= 0.45 m,α=0.5,γ= 1.4,c0= 750 m/s,c =—0.0015,St /d =10 m—1[19].Matveev和Culick[18]以及Nair和Sujith[21]對模態(tài)數(shù)進行了討論,指出取前十階模態(tài)進行研究可滿足計算的精度要求和收斂性,因此本文取前十階模態(tài)(N=10)進行計算和分析.當沒有脫落渦撞擊到 Lc處時(即 t／=tm時),(12)式等號右端為0,采用四階Runge-Kutta積分計算ηn(t)和(t) ,時間步長 dt 取 10-6s.然后,根據(jù)(8)式和(9)式計算出瞬時的壓力和速度,再由(2)式和(3)式計算 Ls處的環(huán)量及臨界環(huán)量.如果 Γm≥Γsep,第m 個渦脫落,Ls處的環(huán)量重置為0,下一時間步開始計算第(m + 1)個渦的環(huán)量.所有的脫落渦在凹腔內(nèi)以方程(4)的速度向下游運動.當?shù)趍 個渦撞擊到 Lc處時(即 t =tm時),(t) 以方程(13)發(fā)生突跳,而 ηn(t) 不發(fā)生變化.在整個計算時間內(nèi)重復(fù)這樣的過程,最終可由(8)式和(9)式得到任何時刻和位置的聲場壓力和速度.文中所有計算結(jié)果均取后向臺階處(x =Ls)的時間序列.

為了驗證計算模型的準確性,首先將計算參數(shù)設(shè)置為α= 0.4,c1= 0.0225,c2= 0.0025,u0=50 m/s,其他參數(shù)與前文相同,分別在初始擾動η1(0)=0.05和 η1(0)=0.07 下(其他初始擾動均為零 ηn/=1(0)=0,(0)=0)進行計算,與Tulsyan[19]論文中的結(jié)果進行對比.圖2為計算結(jié)果與已有文獻的結(jié)果對比,數(shù)值結(jié)果符合較好,左圖為η1(0)=0.05時的結(jié)果,隨時間推移,振蕩衰減,右圖為 η1(0)=0.07 時的結(jié)果,隨時間推移,振蕩發(fā)散.可以看出,初始擾動差異很小,系統(tǒng)的振蕩卻出現(xiàn)了截然不同的結(jié)果.

3.2 系統(tǒng)的初值敏感性

為了進一步分析系統(tǒng)的多解性,將計算參數(shù)設(shè)置為 c1=0.03375,c2=0.00375[19],u0=50m/s.在兩個非常接近的初始擾動 η1(0)=0.01240087 和η1(0)=0.01240088下(其他初始擾動均為零ηn/=1(0)=0,(0)=0),對系統(tǒng)的壓力和速度波動進行計算.

取振蕩穩(wěn)定后的 p′/p0時間序列分別進行相空間重構(gòu),得到圖3(a)和圖3(c)所示的壓力比的三維相圖,其中延遲時間 τ取100.在圖3(a)和圖3(c)中取 p′/p0(t)=0 的截面,分別得到圖3(b)和圖3(d)所示的龐加萊截面.其中圖3(a)和圖3(b)對應(yīng)η1(0)=0.01240087的計算結(jié)果,圖3(c)和圖3(d)對應(yīng) η1(0)=0.01240088 的計算結(jié)果.由三維相圖和龐加萊截面看出,η1(0)=0.01240087 時,龐加萊截面上呈少量有限個點,說明系統(tǒng)最終趨于小振幅的周期振蕩.而對 η1(0)=0.01240088 的初始擾動,取足夠長的時間序列,龐加萊截面上沒有出現(xiàn)封閉曲線,依然呈現(xiàn)大量有限個點,說明系統(tǒng)最終趨于振幅略大的復(fù)雜周期振蕩.

圖4(a)和圖4(b)分別為η1(0)=0.01240087和 η1(0)=0.01240088 下壓力比的前0.2 s的時間序列,圖中虛豎線為脫落渦撞擊并燃燒引起壓力突跳的瞬間.可以看出,在兩個極為接近的初始擾動下,0.1 s前的時間序列幾乎相同,但0.1 s后的時間序列,圖4(a)振幅減小,圖4(b)振幅增大.初始擾動的微小差異,導(dǎo)致渦脫落的頻率及環(huán)量大小存在微小差異,差異的積累產(chǎn)生了非線性效應(yīng).由于兩個初始擾動在不同的吸引域內(nèi),系統(tǒng)最終趨于兩種不同的解分支,具有典型的非線性特征.

圖2 計算模型驗證[19]Fig.2.Verification of computation model[19].

圖3 相空間重構(gòu)后的相圖及龐加萊截面Fig.3.Phase diagram after phase space reconstruction and Poincaré section.

圖4 不同初始擾動下壓力比的初始時間序列Fig.4.Initial time series of pressure ratios under different initial disturbances.

3.3 壓力波動振幅的相似結(jié)構(gòu)

為了研究 u0對系統(tǒng)熱聲振蕩的影響規(guī)律,將u0在區(qū)間 [5, 100] 內(nèi)均勻改變,分別計算了381個工況下的 u′,p′.計算過程中阻尼系數(shù)c1= 0.135,c2=0.015[9,18],其他參數(shù)固定不變,初始條件為零擾動(ηn(0)=(0)=0).在每個工況下 p′的時間序列穩(wěn)定后,取1.4 s以后的 p′/p0時間序列在每個渦脫落時間間隔內(nèi)的最大值點和最小值點,得到圖5所示結(jié)果.

隨著 u0增大,穩(wěn)態(tài)渦脫落頻率 fs0增大,但壓力波動的振幅不一定增大.圖5中顯示了在不同u0下,壓力波動的振幅變化具有相似結(jié)構(gòu).圖6為圖5的局部放大圖,曲線O1—O2,O2—O3,O3—O4,O4—O5,O5—O6,O6—O7具有相似結(jié)構(gòu),O1,O2,O3,O4,O5,O6,O7為每一段曲線的峰值點.

圖5 不同 u0下的壓力比的最大值和最小值Fig.5.Maximum and minimum pressure ratios at different u0.

圖7(a)—圖7(f)分別為O1—O6的 p′/p0的時間序列,圖中虛豎線為脫落渦撞擊并燃燒引起壓力突跳的瞬間.從圖7(a)可以看出,O1點兩次渦撞擊時間間隔內(nèi)壓力波動經(jīng)歷了7次衰減的周期振蕩.從O1—O6工況,兩次渦撞擊時間間隔內(nèi)壓力波動的周期振蕩數(shù)目由7次減小到2次.因為隨著u0的增大,第一次渦撞擊的時刻不斷前移,同時渦撞擊頻率增大,熱量釋放的頻率增大,所以兩次渦撞擊間隔內(nèi)的周期數(shù)減小.由于速度波動 u′相對于u0很小,Γm主要由 u0主導(dǎo),隨著 u0增大,臨界環(huán)量 Γsep增大,脫落渦的環(huán)量增大,進而由(14)式引起的壓力突跳增大.相當于熱量釋放的強度增大,燃燒過程向聲場中加入的能量增大,所以從O1至O6工況下壓力振蕩的幅值不斷增大.同時觀察圖7(a)—圖7(f),六個峰值點處,每次壓力突跳(熱量釋放)均發(fā)生在壓力振蕩的波峰位置,這樣使得振蕩不斷加強.從圖7(f)的前幾次渦撞擊明顯看出振蕩加強,振幅增大,直到穩(wěn)定的過程.

圖6 圖5的局部放大圖Fig.6.Partial enlargement of Fig.5.

為了研究每一段相似曲線上振幅由減小到增大的規(guī)律,取O6—O7曲線上S1,S2,S3,S4,S5五個點及O7的 p′/p0的時間序列,得到圖8(a)—(f).圖8中虛豎線為脫落渦撞擊并燃燒引起壓力突跳的瞬間,六個工況點的 u0分別為20,24.25,25.75,33.5,37和39 m/s.雖然隨著 u0增大,脫落渦的環(huán)量增大,熱釋放強度增大,但是壓力波動的振幅卻呈現(xiàn)由減小到增大的過程.

優(yōu)質(zhì)旅游發(fā)展是新時代旅游目的地形象的重要載體。當前旅游規(guī)劃不僅局限于對景區(qū)等旅游目的地的規(guī)劃建設(shè)，對于旅游目的地城市形象以及配套服務(wù)設(shè)施的規(guī)劃建設(shè)也同樣有較高要求。優(yōu)質(zhì)旅游發(fā)展并不等同于簡單的優(yōu)質(zhì)旅游服務(wù)，它是全域旅游發(fā)展到一定階段的產(chǎn)物，包括優(yōu)質(zhì)的旅游治理機制、旅游綜合服務(wù)、旅游目的地環(huán)境等。旅游市場需要高端的規(guī)劃設(shè)計人才，來滿足旅游者的更高消費需求。

觀察圖8(a)—圖8(f)中前四次渦撞擊的時間序列的放大圖,可以看出渦撞擊并燃燒放熱的瞬間與壓力波動之間存在相位差.圖8(a)中S1工況下,熱量釋放(壓力突跳)發(fā)生在壓力振蕩的波峰之前,所以相比O6工況振幅減小.隨著 u0增大,渦撞擊頻率增大,熱量釋放的時刻前移.在圖8(b)和圖8(c)中,S2和S3工況下熱量釋放的時刻接近壓力振蕩的波谷,振蕩減弱,所以振幅較小.圖8(d)中S4工況下,熱量釋放發(fā)生在壓力振蕩的波腹,振幅依然較小.圖8(e)中S5工況下,熱量釋放的時刻接近壓力振蕩的前一個波峰,振蕩開始加強,振幅逐漸增大.圖8(f)中O7工況下,熱量釋放發(fā)生在壓力振蕩的前一個波峰處,振蕩加強,振幅增大.該變化過程符合Rayleigh準則,即當熱量在壓力波動的最高點加入或者最低點取出,則振蕩加強；反之,振蕩減弱.

圖7 O1,O2,O3,O4,O5,O6的 p ′/p0時間序列 (a) u0= 5.50；(b) u0= 6.25；(c) u0= 7.50；(d) u0= 9.50；(e) u0= 12.75；(f) u0= 19.25Fig.7.p ′/p0 time series of O1,O2,O3,O4,O5,O6：(a) u0= 5.50；(b) u0= 6.25；(c) u0= 7.50；(d) u0= 9.50；(e) u0= 12.75；(f) u0= 19.25.

隨著 u0的增大,壓力波動的振幅變化呈現(xiàn)的相似結(jié)構(gòu)將繼續(xù)下去.u0增大導(dǎo)致渦撞擊頻率增大,進而熱量釋放的頻率增大,所以兩次渦撞擊間隔內(nèi)的壓力波動周期數(shù)減小,最終將減小到1次,即渦脫落頻率與壓力波動頻率達到1∶1的狀態(tài).在每一段相似曲線上振幅由減小到增大,這是由于u0的增大改變了渦撞擊并燃燒放熱的時刻,熱量釋放時刻從壓力振蕩的波峰前移到前一個波谷,再到前一個波峰,熱量釋放與壓力振蕩之間的相位差發(fā)生了改變.根據(jù)Rayleigh準則,相位差的改變導(dǎo)致了壓力波動的振幅呈現(xiàn)由減小到增大的相似結(jié)構(gòu).

3.4 渦聲鎖頻

對3.3節(jié)中381個工況下的振蕩穩(wěn)定后的p′/p0時間序列分別做快速Fourier變換(FFT),取FFT變換后最大振幅對應(yīng)的主頻作為壓力波動的主頻率 fp.根據(jù)方程(1)求得穩(wěn)態(tài)渦脫落頻率為fs0,實際的渦脫落頻率為 fs,由頻率比 fs0/fp和fs/fp可得圖9所示結(jié)果.

由圖9可以看出,壓力波動的主頻 fp與渦脫落頻率 fs之間存在鎖頻關(guān)系,形成圖中所示的三角形鎖頻區(qū)域.圖9中從右上角到左下角呈現(xiàn)8個臺階,fs/fp依次為1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,1/7,1/8.該鎖頻現(xiàn)象稱之為渦聲鎖頻,其可以作為周期性燃燒振蕩出現(xiàn)的重要標志.該渦聲鎖頻現(xiàn)象的出現(xiàn)本質(zhì)上是由于發(fā)生了穩(wěn)定的自激振蕩：熱聲振蕩現(xiàn)象是不穩(wěn)定熱釋放率與燃燒室內(nèi)聲場波動相互作用的過程,燃燒振蕩穩(wěn)定后,渦脫落并撞擊燃燒導(dǎo)致的熱量釋放與聲場的壓力、速度波動之間構(gòu)成了可以自持的正反饋回路,形成了穩(wěn)定的自激振蕩.計算模型中不穩(wěn)定熱釋放由渦脫落導(dǎo)致,所以渦脫落頻率是影響該熱聲振蕩過程的關(guān)鍵因素.隨著 u0變化,渦脫落頻率改變,進而熱量釋放頻率改變,當熱量釋放與壓力波動之間發(fā)生穩(wěn)定自激振蕩,穩(wěn)定的熱聲振蕩出現(xiàn),同時渦脫落頻率與壓力波動頻率呈現(xiàn)鎖頻現(xiàn)象.圖10為 fp與 fs的關(guān)系及fs/fp隨 u0的變化圖.由圖10可以看出,隨著 u0增大,渦脫落頻率 fs增大,壓力波動的主頻率 fp向高頻發(fā)展,同時 fs/fp接近1.u0增大導(dǎo)致渦脫落頻率增大,進而熱釋放頻率增大,由3.3節(jié)的分析可以發(fā)現(xiàn),兩次渦撞擊間隔內(nèi)的壓力波動周期數(shù)最終將減小到1,所以渦聲鎖頻的頻率比最終趨于1,這也與3.3節(jié)的解釋一致.

圖8 S1,S2,S3,S4,S5,O7的 p ′/p0時間序列Fig.8.p ′/p0 time series of S1,S2,S3,S4,S5,O7.

圖9 渦聲鎖頻Fig.9.Vortex-acoustic frequency locking.

圖11為圖7中O1,O2,O3,O4,O5,O6六個不同工況下的 u′-p′/p0相圖.相圖中的短豎線顯示了脫落渦撞擊并燃燒放熱的瞬間,壓力發(fā)生突跳,而速度不變.圖11(a)—圖11(f)中 fs/fp分別近似等于1/7,1/6,1/5,1/4,1/3,1/2,相應(yīng)的u′-p′/p0相圖中相軌跡旋轉(zhuǎn)了7,6,5,4,3,2圈.該現(xiàn)象與圖7一致,從圖7(a)—圖7(f)每經(jīng)過一次渦撞擊并燃燒放熱,阻尼振子(壓力波動)分別經(jīng)歷7,6,5,4,3,2次周期振蕩.系統(tǒng)的振蕩穩(wěn)定后,阻尼振子受到周期性渦撞擊燃燒放熱這一強迫作用,系統(tǒng)近似可以看作兩個振子的耦合.此時可以將系統(tǒng)當作離散系統(tǒng),用離散映射處理.兩振子耦合時,它們在三維相空間的軌跡將限于一個二維環(huán)面上.相角和頻率是決定耦合振子運動性質(zhì)的關(guān)鍵因素,所以在環(huán)面上選取適當?shù)凝嫾尤R截面,只考慮圓周上的龐加萊映射,即圓映射.在二維環(huán)面上當?shù)诙褡愚D(zhuǎn)動一周時,第一振子轉(zhuǎn)動的圈數(shù)為第一振子與第二振子頻率之比.在該熱聲振蕩系統(tǒng)中,兩次渦撞擊時間間隔內(nèi)阻尼振子的周期振蕩數(shù)目即為二維環(huán)面上周期的強迫振子(渦撞擊)轉(zhuǎn)動一周,阻尼振子轉(zhuǎn)動的圈數(shù).該圈數(shù)即為壓力波動的主頻率fp與渦脫落頻率 fs的比值 fp/fs.該比值也與圖11中相軌跡旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)一致.同時,該比值為整數(shù),所以在所選的龐加萊截面上映射結(jié)果不變,系統(tǒng)的熱聲振蕩就是以周期強迫振子(渦撞擊)的頻率(fs)的整數(shù)(fp/fs)倍做周期振蕩,即轉(zhuǎn)數(shù)為fp/fs的鎖頻(又稱鎖相或鎖模).

圖10 f p 與 f s 的關(guān)系及 f p/f s 隨 u 0 的變化圖Fig.10.The relationship between fp and fs and the change of fp/fs with u0.

圖11 6個不同頻率比下的 u ′-p ′/p0相圖 (a) fs/fp= 0.1430；(b) fs/fp= 0.1669；(c) fs/fp= 0.2003；(d) fs/fp= 0.2500；(e) fs/fp=0.3330；(f) fs/fp= 0.4999Fig.11.u ′-p ′/p0 phase diagram at six different frequency ratios：(a) fs/fp= 0.1430；(b) fs/fp= 0.1669；(c) fs/fp= 0.2003；(d) fs/fp=0.2500；(e) fs/fp= 0.3330；(f) fs/fp= 0.4999.

4 結(jié) 論

基于Matveev和Culick提出的渦脫落熱聲模型,引入旋渦脫落模型,建立系統(tǒng)熱聲振蕩的控制方程,采用Galerkin方法將控制方程轉(zhuǎn)化為常微分方程并進行數(shù)值求解,得到了聲場的壓力和速度波動,分析了穩(wěn)態(tài)流動速度 u0對熱聲振蕩的影響,同時對出現(xiàn)的渦聲鎖頻行為進行了研究,得到如下結(jié)論.

1)該渦脫落熱聲振蕩系統(tǒng)對初值極為敏感,是典型的非線性動力系統(tǒng).初始擾動的微小差異,導(dǎo)致了不同的非線性效應(yīng),系統(tǒng)呈現(xiàn)多解性.

2)隨著 u0增大,穩(wěn)態(tài)渦脫落頻率 fs0增大,但壓力波動的振幅不一定持續(xù)增大,而是具有相似結(jié)構(gòu).隨 u0增大,脫落渦的環(huán)量增大,熱量釋放強度增大,壓力波動的振幅總體呈增大趨勢,但在 u0的每個小區(qū)間內(nèi)振幅又重復(fù)出現(xiàn)先減小后增大的相似結(jié)構(gòu).渦撞擊并燃燒放熱的瞬間與壓力波動之間存在的相位差影響著振幅變化,在振幅極大值點,渦撞擊并燃燒放熱發(fā)生在壓力振蕩的波峰處,振蕩加強,符合Rayleigh準則.

3)該模型在不同 u0下的熱聲振蕩過程均呈現(xiàn)了渦聲鎖頻現(xiàn)象.系統(tǒng)最終的熱聲振蕩就是以渦撞擊的頻率(fs)的整數(shù)(fp/fs)倍做周期振蕩,即呈現(xiàn)轉(zhuǎn)數(shù)為 fp/fs的鎖頻.文中所研究的工況形成了fs/fp依次為1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,1/7,1/8的三角形渦聲鎖頻區(qū).該渦聲鎖頻現(xiàn)象可以作為周期性燃燒振蕩的重要特征.

雖然本文對渦脫落引起的熱聲振蕩中相似性和渦聲鎖頻這兩種典型非線性現(xiàn)象進行了研究,發(fā)現(xiàn)了主流平均流速改變下壓力波動振幅呈現(xiàn)的相似結(jié)構(gòu),以及解釋了熱聲振蕩實驗中出現(xiàn)的渦聲鎖頻的形成機理,但是對該熱聲振蕩中存在的其他復(fù)雜非線性現(xiàn)象并未涉及,特別是實驗中出現(xiàn)的遲滯、分岔等非線性行為,這將是下一步的研究工作.