振子網(wǎng)絡(luò)中內(nèi)能和熵的探究

肖琴 許慶祥 楊會(huì)杰 嚴(yán)捷冰

摘 要： 將復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)視為振子網(wǎng)絡(luò)，對(duì)小世界（WS）網(wǎng)絡(luò)、Barabasi & Alber（BA）網(wǎng)絡(luò)和實(shí)際的釀酒酵母蛋白質(zhì)相互作用（PPI）網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)能和熵進(jìn)行了分析.分析結(jié)果表明：隨著網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)、連邊概率、熱浴溫度等參數(shù)的變化，不同網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)能和熵的變化趨勢(shì)差異很大，可以以這種差異來判別網(wǎng)絡(luò)的類型.

關(guān)鍵詞： 振子網(wǎng)絡(luò); 內(nèi)能; 熵

中圖分類號(hào)： N 941 ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A ?文章編號(hào)： 1000-5137（2019）05-0472-07

Abstract： By considering the complex network as oscillator network，the internal energy and entropy were analyzed for small world network，Barabasi & Alber（BA） network，Logistic chaotic series visibility graph and the real saccharomyces cerevisiae protein-protein interaction （PPI） network.The analysis results showed that the variation trends of internal energy and entropy for different networks were changed greatly with parameters such as the number of network nodes，the probability of connecting edges and the hot-bath temperature.Furthermore，the type of the network could be discriminated by such differences.

Key words： neton network; internal energy; entropy

0 引 言

對(duì)振子網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)及其實(shí)際意義的研究已經(jīng)成為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)[1-2] 研究領(lǐng)域的熱點(diǎn).振子網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)在對(duì)生物系統(tǒng)[3]、多智能體網(wǎng)絡(luò)[4]、耦合振子網(wǎng)絡(luò)[5]以及振子網(wǎng)絡(luò)的同步[6-8]等方面的研究中起到重要作用，其中的網(wǎng)絡(luò)振子能被用來探測(cè)發(fā)生在許多復(fù)雜系統(tǒng)中的動(dòng)力學(xué)過程，如代謝網(wǎng)絡(luò)中代謝物在不同濃度下的振動(dòng)過程.

KIM等[9-10]應(yīng)用振子網(wǎng)絡(luò)研究了不同網(wǎng)絡(luò)上晶格振動(dòng)與頻譜之間的相互關(guān)系，ESTRADA等[11]在其基礎(chǔ)上研究了網(wǎng)絡(luò)振子的勢(shì)能函數(shù).XU等[12]和ZHOU等[13]分析了帶有時(shí)滯的小世界（WS）網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性、不穩(wěn)定性，以及Hop分岔和控制等.

對(duì)于一個(gè)社會(huì)網(wǎng)絡(luò)[14]的振子，一般至少受到兩個(gè)方面的影響，即其他節(jié)點(diǎn)的影響和環(huán)境影響.本文作者將復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建成振子網(wǎng)絡(luò)，運(yùn)用振子網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)方程，分析了WS網(wǎng)絡(luò)和Barabasi & Albert（BA）網(wǎng)絡(luò)在振子熱浴條件下的熱力學(xué)性質(zhì).以振子網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)能和熵為對(duì)象，對(duì)以上兩種不同類型的網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了分析.最后對(duì)真實(shí)的釀酒酵母蛋白質(zhì)-蛋白質(zhì)相互作用網(wǎng)絡(luò)（PPI）的內(nèi)能和熵進(jìn)行了分析，通過兩者的變化，可判斷其為BA網(wǎng)絡(luò).

1 模 型

如果把復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)視為質(zhì)量均為M的小質(zhì)點(diǎn)，將連邊看成是連接2個(gè)小質(zhì)點(diǎn)，彈性系數(shù)為K的彈簧，那么復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)就轉(zhuǎn)換成了一個(gè)振子網(wǎng)絡(luò).若將該振子網(wǎng)絡(luò)置于溫度為T的熱浴中，小質(zhì)點(diǎn)會(huì)在熱擾動(dòng)下振動(dòng)，構(gòu)建出復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)在外部環(huán)境影響下的振動(dòng)模型.當(dāng)系統(tǒng)與環(huán)境達(dá)到熱平衡時(shí)，由能級(jí)譜可以獲得能量和熵等統(tǒng)計(jì)量，并發(fā)現(xiàn)非平凡的結(jié)構(gòu)模式能引起物理性質(zhì)的顯著變化.網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的改變可以形成網(wǎng)絡(luò)不同的熱力學(xué)特性，反之，不同的熱力學(xué)特性也反映了網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)不同的動(dòng)力學(xué)性質(zhì).為簡(jiǎn)化討論，本研究假設(shè)系統(tǒng)內(nèi)沒有阻尼，也沒有其他外力作用于該系統(tǒng).

2 實(shí)驗(yàn)過程和結(jié)論

以WS網(wǎng)絡(luò)和BA網(wǎng)絡(luò)為例，分析了不同網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部的內(nèi)能和熵隨著溫度以及網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)變化而變化的規(guī)律.由于變化規(guī)律相似，對(duì)應(yīng)于不同情況，本文作者隨機(jī)取了一種特殊情況進(jìn)行分析.對(duì)于不同的網(wǎng)絡(luò)類型，其內(nèi)能和熵的變化與網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)密切相關(guān).

2.1 WS網(wǎng)絡(luò)

WS網(wǎng)絡(luò)[15]是WATTS和STROGATZ于1998年提出的，它將規(guī)則網(wǎng)絡(luò)和隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合在一起，具有較大的平均集聚系數(shù)和較小的平均距離，引起了對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究熱潮.WS網(wǎng)絡(luò)的形成過程為：1）從一個(gè)總節(jié)點(diǎn)數(shù)為N且每個(gè)節(jié)點(diǎn)與最近鄰2k個(gè)節(jié)點(diǎn)相連的環(huán)狀晶格開始，為了保證網(wǎng)絡(luò)的稀疏性，令N2klnN1;2）隨機(jī)選取網(wǎng)絡(luò)的一條邊，按一定連邊概率p對(duì)該邊進(jìn)行重新連接.在構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)的過程中，須保證重連過程中網(wǎng)絡(luò)沒有自連邊和重復(fù)的連邊.

考慮當(dāng)最近鄰邊為4時(shí)（k=2）網(wǎng)絡(luò)的3種情況：

1）當(dāng)連邊概率分別為10%，30%，熱浴溫度分別為2，4（arb.units）時(shí)的內(nèi)能和熵隨著網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)（100～2080）的變化關(guān)系，如圖1所示.

比較圖1（a），1（c）可知：當(dāng)熱浴溫度與連邊概率一定時(shí)，內(nèi)能并不隨著網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)的增加而增加，而是趨向于某個(gè)定值，并在此定值附近震蕩;而當(dāng)溫度與連邊概率變大，該定值也會(huì)變大.比較圖1（b），1（d）可知：熵隨著網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)的增加而增加，且隨著溫度與連邊概率的增大，網(wǎng)絡(luò)的熵變小.

2） 當(dāng)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)N為3000、熱浴溫度為3時(shí)，網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)能與熵隨連邊概率p（0.02～0.99）的變化關(guān)系如圖2所示.

由圖2可知：當(dāng)連邊概率從0.02增加到0.99時(shí)，網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)能逐漸增加，而熵逐漸減少.這可能是因?yàn)殡S著網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)連接概率的增加，網(wǎng)絡(luò)的有序性增加了.這一結(jié)果與WS網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建過程有關(guān).

3） 在網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)數(shù)和連邊概率不變的情況下，網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)能和熵隨熱浴溫度的變化關(guān)系如圖3所示，其中m為連邊數(shù).由圖3可知：網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)能隨著熱浴溫度的增加而增加;當(dāng)熱浴溫度從0開始增加，網(wǎng)絡(luò)的熵先是快速下降，在溫度約為0.23時(shí)到達(dá)最小值，隨后快速上升，逐漸平穩(wěn).

2.2 BA網(wǎng)絡(luò)

BARABASI等[16]提出了無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型，引起了對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的又一研究熱潮[17-22].無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的形成過程為：1）當(dāng)t=0時(shí)，網(wǎng)絡(luò)共有m0個(gè)節(jié)點(diǎn);2）每1步增加1個(gè)節(jié)點(diǎn)，與m（m≤m0）個(gè)舊節(jié)點(diǎn)相連;3）加入的節(jié)點(diǎn)與第i個(gè)節(jié)點(diǎn)相連的概率pi=ki∑Nj=1kj，其中，ki為節(jié)點(diǎn)i的度，kj為節(jié)點(diǎn)j的度，由于這個(gè)網(wǎng)絡(luò)是變化的，新加入的點(diǎn)根據(jù)度選擇連邊，選擇定了后面網(wǎng)絡(luò)的連接發(fā)生了改變;4）當(dāng)網(wǎng)絡(luò)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)后停止生長(zhǎng).

在BA網(wǎng)絡(luò)中，同樣考慮3種情況：

1） 當(dāng)初始節(jié)點(diǎn)數(shù)m0為200、網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)N為2000、熱浴溫度T為1時(shí)，網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)能和熵隨連邊數(shù)m的變化關(guān)系，如圖4所示.由圖4可知：當(dāng)連邊數(shù)改變時(shí)，網(wǎng)絡(luò)的熵幾乎為定值（7.6），上下浮動(dòng)很小，而網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)能隨著連邊數(shù)的增加而增加.

2）當(dāng)m0=100，m=2，T=1時(shí)，網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)能和熵的隨網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)N（130～3 030）的變化關(guān)系如圖5所示.由圖5可知：隨著網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)的增加，網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)能反而減少，而熵越來越大.使用不同的初始節(jié)點(diǎn)數(shù)、連邊數(shù)目和熱浴溫度，變化趨勢(shì)相同.這一結(jié)果可能與BA網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)有關(guān)，當(dāng)初始節(jié)點(diǎn)數(shù)、連邊數(shù)目和溫度不變時(shí)，網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)的增加使網(wǎng)絡(luò)變得越來越稀疏，導(dǎo)致內(nèi)能減少，而熵即無序性增加.

3）當(dāng)m0=200，m=7，N=2000時(shí)，網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)能和熵隨熱浴溫度的變化關(guān)系如圖6所示.由圖6可知：網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)能和熵基本一致，當(dāng)溫度低于0.23前，變化很小;當(dāng)溫度介于0.23與0.50之間時(shí)，快速上升，之后逐漸趨向穩(wěn)定.

3 酵母蛋白質(zhì)相互作用網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)能和熵的分析

蛋白質(zhì)是生物功能的最終執(zhí)行者，蛋白質(zhì)和蛋白質(zhì)之間的相互作用是蛋白質(zhì)發(fā)揮作用的重要方式[23]，因此研究蛋白質(zhì)之間的相互作用是當(dāng)前生物學(xué)研究的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容.目前，對(duì)于釀酒酵母（Saccharomyces Cerevisiae）這種單細(xì)胞的真核生物，已經(jīng)建立了蛋白質(zhì)數(shù)據(jù)庫，能在全基因組水平上研究蛋白質(zhì)之間的相互作用.學(xué)者們用不同的方法構(gòu)建了幾種不同置信水平的PPI網(wǎng)絡(luò).

研究者們分析了5種置信水平不同的釀酒酵母蛋白質(zhì)相互作用網(wǎng)絡(luò).將文獻(xiàn)[24]中的高置信度的酵母PPI網(wǎng)絡(luò)記為“YHC”，其和前11000個(gè)相互作用的酵母PPI網(wǎng)絡(luò)記為“Y11K”.文獻(xiàn)[25]中的“核心”酵母PPI網(wǎng)絡(luò)記為“YIC”，文獻(xiàn)[26]中的酵母PPI網(wǎng)絡(luò)記為“YU”，結(jié)合了兩者的酵母PPI網(wǎng)絡(luò)記為“YICU”.它們分別來自不同的高通量研究方法，其中YHC和Y11K主要來自于串聯(lián)親和純化[27]和高通量質(zhì)譜蛋白質(zhì)鑒定[28]，而YIC，YU和YICU則來自酵母雙雜交.

圖7為5種實(shí)際PPI網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)能和熵與環(huán)境溫度的關(guān)系圖.由圖7可知：YIC和YU這2種由酵母雙雜交的PPI網(wǎng)絡(luò)的熱力學(xué)性質(zhì)幾乎完全一樣.而它們的組合——YICU的PPI網(wǎng)絡(luò)在熵值上的區(qū)別較大.對(duì)于分別來自串聯(lián)親和純化的YHC和高通量質(zhì)譜蛋白質(zhì)鑒定的Y11K的PPI網(wǎng)絡(luò)之間的差別也較大.因此可以認(rèn)為：由不同方法構(gòu)建的蛋白質(zhì)相互作用網(wǎng)絡(luò)的熱力學(xué)性質(zhì)有著顯著的差異.

另外，由圖7還可知：隨著熱浴溫度的升高，5種蛋白質(zhì)相互作用網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)能和熵都增加了，這與BA網(wǎng)絡(luò)的變化相同.BARABASI等 [29]對(duì)酵母PPI網(wǎng)絡(luò)的分析說明度其分布滿足冪律分布，為BA網(wǎng)絡(luò).這一結(jié)果說明網(wǎng)絡(luò)內(nèi)能和熵隨網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的變化特征差異有可能作為判別網(wǎng)絡(luò)類型的表征.

4 結(jié) 論

WS網(wǎng)絡(luò)和BA網(wǎng)絡(luò)是現(xiàn)實(shí)生活中非常常見的網(wǎng)絡(luò)，它們?cè)诰W(wǎng)絡(luò)構(gòu)建方式上和網(wǎng)絡(luò)的異質(zhì)性質(zhì)上有很大的不同.本文作者在3種情況下比較和分析了這兩種網(wǎng)絡(luò)的熱力學(xué)性質(zhì)：首先在網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)為定值的情況下，隨著連接概率或連邊數(shù)的增加，WS網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)能增加，熵值減少，而BA網(wǎng)絡(luò)內(nèi)能增加，熵值趨向于一個(gè)常數(shù);其次在連邊概率或數(shù)目為定值而網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)增加的情況下，WS網(wǎng)絡(luò)內(nèi)能趨向一個(gè)定值，熵值遞增，而BA網(wǎng)絡(luò)內(nèi)能減少，熵值增加;最后在節(jié)點(diǎn)數(shù)目等條件均為定值只有溫度增加的情況下，WS網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)能增加，熵值先減后增，而BA網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)能增加，熵值增加.對(duì)實(shí)際酵母PPI網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)能和熵值的計(jì)算也表明：網(wǎng)絡(luò)的熱力學(xué)性質(zhì)能反映出網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)上的不同，內(nèi)能和熵值的變化也能反映出網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)部的動(dòng)力學(xué)特征.

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（責(zé)任編輯：顧浩然）