新高考中的概率與統(tǒng)計(jì)問題常見題型及處理策略

郭興甫

概率與統(tǒng)計(jì)是高中數(shù)學(xué)教材中的重要內(nèi)容，也是高考的必考內(nèi)容和高頻考點(diǎn)．隨著新高考的全面實(shí)施，新高考對概率與統(tǒng)計(jì)的考查提高了要求，加大考查的力度和難度．為幫助讀者更好地掌握新高考中概率與統(tǒng)計(jì)的常見問題，本文以近年各地的模擬題為例說明其常見題型及處理策略．

１ 頻率分布直方圖與方案選擇綜合問題

例１ 已知一芯片生產(chǎn)商用光刻機(jī)生產(chǎn)的Q 型芯片經(jīng)過十項(xiàng)指標(biāo)全面檢測后，分為Ⅰ級和Ⅱ級，兩種芯片的某項(xiàng)指標(biāo)的頻率分布如圖１所示．

若只利用該指標(biāo)制訂一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c 的產(chǎn)品應(yīng)用于A 型手機(jī)，小于或等于c 的產(chǎn)品應(yīng)用于B 型手機(jī)．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．

（１）求Q 型芯片Ⅰ 級品該項(xiàng)指標(biāo)的第７０ 百分位數(shù);

（２）當(dāng)臨界值c＝６５時(shí)，求Q 型芯片Ⅱ級品應(yīng)用于A 型手機(jī)的概率;

（３）已知c∈[５０，６０]，現(xiàn)有足夠多的Q 型芯片Ⅰ級品、Ⅱ級品，分別應(yīng)用于A 型手機(jī)、B 型手機(jī)各１萬部的生產(chǎn)．

方案１：直接將Q 型芯片Ⅰ級品應(yīng)用于A 型手機(jī)，其中該指標(biāo)小于或等于臨界值c 的芯片會導(dǎo)致芯片生產(chǎn)商每部手機(jī)損失７００元;直接將Q 型芯片Ⅱ級品應(yīng)用于B 型手機(jī)，其中該指標(biāo)大于臨界值c 的芯片，會導(dǎo)致芯片生產(chǎn)商每部手機(jī)損失３００元．

方案２：重新檢測Q 型芯片Ⅰ級品、Ⅱ級品，可以避免方案１的損失費(fèi)用，但檢測費(fèi)用共需要１０１萬元．

請從芯片生產(chǎn)商的成本考慮，選擇合理的方案．

解析

（１）設(shè)Q 型芯片Ⅰ級品該項(xiàng)指標(biāo)的第７０百分位數(shù)為a，該指標(biāo)在８０ 以下的概率為０５５，該指標(biāo)在９０以下的概率為０８，因此該項(xiàng)指標(biāo)的第７０百分位數(shù)a 一定在[８０，９０）內(nèi)，所以０００２×１０＋０００５×１０＋００２３×１０＋００２５×１０＋００２５×（a－８０）＝０７（也可以用００２×１０＋００２５×（９０－a）＝１－０７），解得a＝８６，所以Q 型芯片Ⅰ級品該項(xiàng)指標(biāo)的第７０百分位數(shù)為８６．

（２）當(dāng)臨界值c＝６５時(shí)，Q 型芯片Ⅱ級品應(yīng)用于A 型手機(jī)的概率為００１×（７０－６５）＝００５．

（３）設(shè)直接將Q 型芯片Ⅰ級品、Ⅱ級品應(yīng)用于A型、B 型手機(jī)時(shí)，該芯片生產(chǎn)商支出為y 萬元，則

y ＝７００× [０００２×１０＋０００５× （c－５０）]＋３００× [００１×１０＋００３× （６０－c）]＝４０９－５５c（c ∈ [５０，６０]）．

當(dāng)５０≤c＜５６時(shí)，y ＞１０１;當(dāng)c＝５６時(shí)，y ＝１０１;當(dāng)５６＜c≤６０時(shí)，y＜１０１．

綜上，為降低芯片生產(chǎn)商的成本，當(dāng)臨界值c∈[５０，５６）時(shí)，選擇方案２;當(dāng)臨界值c＝５６時(shí)，選擇方案１和方案２ 均可;當(dāng)臨界值c∈（５６，６０]時(shí)，選擇方案１．

點(diǎn)評

求解頻率分布直方圖與方案選擇綜合問題的關(guān)鍵：準(zhǔn)確將題中所涉及的事件進(jìn)行分解，明確所求問題所屬的事件類型，弄清題意，特別地，要注意挖掘頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)條件．

２ 頻率分布直方圖與分布列的綜合問題

例２ 為提高人民幸福指數(shù)，國家先后出臺了多項(xiàng)減稅增效政策．某地區(qū)對在職員工進(jìn)行了個(gè)人所得稅（以下簡稱個(gè)稅）的調(diào)查，經(jīng)過分層隨機(jī)抽樣，獲得５００位在職員工的年個(gè)稅（單位：百元）數(shù)據(jù)，按[０，２]，（２，４]，（４，６]，（６，８]，（８，１０]，（１０，１２]，（１２，１４]，（１４，１６]，（１６，１８]分成九組，制成如圖２所示的頻率分布直方圖，假設(shè)每個(gè)組內(nèi)的數(shù)據(jù)是均勻分布的．