衛(wèi)星大撓性結(jié)構(gòu)抑制技術(shù)地面試驗(yàn)系統(tǒng)設(shè)計(jì)*

張桀睿，聶欽博，于常利，夏紅偉，馬廣程，王常虹

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院·哈爾濱·150001;2.上海航天控制技術(shù)研究所·上?！?01109)

0 引 言

隨著空間技術(shù)的發(fā)展，大型化、低剛度和撓性化已成為現(xiàn)代航天器發(fā)展的一個(gè)重要趨勢(shì)。撓性附件的彈性振動(dòng)導(dǎo)致姿態(tài)振蕩甚至導(dǎo)致衛(wèi)星姿態(tài)發(fā)散的事故在歷史上有很多例子。因此，為了避免相應(yīng)事故的發(fā)生，確保航天任務(wù)的萬(wàn)無(wú)一失，研究撓性結(jié)構(gòu)對(duì)衛(wèi)星主體的影響,在地面上進(jìn)行物理仿真實(shí)驗(yàn)具有重大的意義。美國(guó)航天局[1]、荷蘭的歐洲空間技術(shù)研究中心[2]、北京控制工程研究所[3]、哈爾濱工業(yè)大學(xué)[4-6]等研究機(jī)構(gòu)均研制了地面全物理仿真平臺(tái)，研究撓性結(jié)構(gòu)對(duì)衛(wèi)星主體的影響。

關(guān)于撓性結(jié)構(gòu)抑制研究中需要解決一系列問(wèn)題，比如：將反饋控制環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)在什么位置能夠取得較好的撓性振動(dòng)抑制效果；如何消除重力場(chǎng)及工作環(huán)境的影響；怎樣對(duì)撓性桁架進(jìn)行數(shù)學(xué)建模[7-9]。結(jié)合桁架結(jié)構(gòu)在實(shí)際工作中的情況，本文針對(duì)一類(lèi)典型低頻大撓性桁架結(jié)構(gòu)[10]開(kāi)展研究，設(shè)計(jì)了一種衛(wèi)星大撓性結(jié)構(gòu)抑制技術(shù)地面試驗(yàn)系統(tǒng)，給出了撓性抑制算法，并通過(guò)仿真驗(yàn)證了方法的有效性。

1 整體方案設(shè)計(jì)

1.1 系統(tǒng)主動(dòng)控制方案設(shè)計(jì)

針對(duì)類(lèi)似圖1的一類(lèi)低頻大撓性桁架系統(tǒng)[7]，本文的控制思想為：在大撓性桁架結(jié)構(gòu)的連接處將其離散為有限個(gè)子系統(tǒng)，利用模態(tài)分析方法建立系統(tǒng)模型，控制器同時(shí)控制每個(gè)子系統(tǒng)，通過(guò)優(yōu)化所選取的子系統(tǒng)的位置和數(shù)目，給出最優(yōu)的控制方案。

桁架結(jié)構(gòu)子系統(tǒng)的主動(dòng)控制結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。將傳感器和執(zhí)行機(jī)構(gòu)放置在適當(dāng)?shù)倪B接結(jié)構(gòu)處構(gòu)成閉環(huán)控制環(huán)節(jié)，不同連接結(jié)構(gòu)處的閉環(huán)控制環(huán)節(jié)對(duì)不同的振型有控制作用。在本系統(tǒng)中，被控對(duì)象是低頻大撓性桁架結(jié)構(gòu)的某個(gè)桁架節(jié)點(diǎn)；傳感器是加速度計(jì)和陀螺儀，將其測(cè)量出的物理量轉(zhuǎn)換成該節(jié)點(diǎn)處的振動(dòng)線位置和振動(dòng)角位置；選用伺服電機(jī)作為執(zhí)行機(jī)構(gòu)來(lái)抑制該節(jié)點(diǎn)的振動(dòng)。桁架結(jié)構(gòu)的撓性振動(dòng)得到抑制的表現(xiàn)是：當(dāng)圖1中系統(tǒng)的期望輸入為零時(shí)，受到激勵(lì)后，各節(jié)點(diǎn)處的振動(dòng)位置曲線趨于零。

圖1 低頻大撓性桁架結(jié)構(gòu)Fig.1 Low frequency large flexible structure

圖2 桁架結(jié)構(gòu)子系統(tǒng)主動(dòng)控制結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Active control structure diagram of truss structure subsystem

1.2 重力補(bǔ)償方案設(shè)計(jì)

航天器的實(shí)際工作環(huán)境中并不存在重力，但地面仿真實(shí)驗(yàn)環(huán)境卻存在重力場(chǎng)的問(wèn)題。在對(duì)桁架模擬件進(jìn)行地面仿真實(shí)驗(yàn)時(shí)，可以通過(guò)懸掛系統(tǒng)來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)重力的補(bǔ)償。

結(jié)合對(duì)國(guó)內(nèi)外撓性結(jié)構(gòu)抑制技術(shù)研究現(xiàn)狀的分析，考慮到項(xiàng)目中的具體要求，通過(guò)有限元分析方法對(duì)比各種方案，本文采取將撓性梁主體豎直懸掛在固定邊界上的方式(如圖3所示)。與水平懸掛(支撐)的方式相比，豎直方向的懸掛方式能夠模擬桁架結(jié)構(gòu)在兩個(gè)自由度上的撓性振動(dòng)，更好地模擬航天器的實(shí)際工作環(huán)境。

圖3 懸掛方式示意圖Fig.3 Schematic diagram of suspension mode

1.3 地面驗(yàn)證系統(tǒng)組成

為了模擬太空環(huán)境，減小外界環(huán)境對(duì)撓性桁架的影響，將撓性桁架放置于真空室中，工作人員在控制室對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行管控。通過(guò)MATLAB/xPC Target的雙機(jī)運(yùn)行模式和以太網(wǎng)連接實(shí)現(xiàn)無(wú)線通信。能夠?qū)⒖刂扑惴o(wú)線下載到控制器中，實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)系統(tǒng)狀態(tài)，實(shí)時(shí)修改系統(tǒng)控制參數(shù)。

撓性模擬系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖如圖4所示(以豎直向下方向?yàn)閆軸，根據(jù)右手定則建立坐標(biāo)系)。撓性桁架系統(tǒng)主要由撓性梁主體，基于H型平臺(tái)的激勵(lì)發(fā)生裝置，基于十字軸式萬(wàn)向節(jié)的二自由度力矩電機(jī)組以及基于十字導(dǎo)軌的二自由度伺服電機(jī)組以及陀螺儀、加速度計(jì)組成。

圖4 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.4 Schematic diagram of system structure

激勵(lì)發(fā)生裝置位于①處，結(jié)構(gòu)如圖5所示，是一個(gè)H型的直線電機(jī)二維運(yùn)動(dòng)平臺(tái)，由三臺(tái)直線電機(jī)和三條導(dǎo)軌組成，由直線電機(jī)3的導(dǎo)軌構(gòu)成X軸，直線電機(jī)1、2的導(dǎo)軌構(gòu)成Y軸。直線電機(jī)1與直線電機(jī)2的運(yùn)動(dòng)高度同步，電機(jī)與梁有一定的承重性能。

圖5 激勵(lì)發(fā)生裝置示意圖Fig.5 Schematic diagram of excitation generator

研究表明，當(dāng)只在一對(duì)連接位置處施加控制作用時(shí)，在取得相近的振動(dòng)抑制效果的前提下，在距離固定支撐位置越遠(yuǎn)的地方，所施加的控制力矩越?。欢O(shè)置兩對(duì)或兩對(duì)以上反饋控制環(huán)節(jié)與設(shè)置一對(duì)反饋控制環(huán)節(jié)相比，振動(dòng)抑制效果相同，但增加反饋控制環(huán)節(jié)的數(shù)目能夠減小反饋?zhàn)饔昧?，在?shí)際系統(tǒng)中可以解決執(zhí)行機(jī)構(gòu)輸出飽和的問(wèn)題[11]。因此，本文在分析桁架振型特點(diǎn)和執(zhí)行機(jī)構(gòu)輸出能力的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了基于十字軸式萬(wàn)向節(jié)的二自由度力矩電機(jī)組和基于十字導(dǎo)軌的二自由度伺服電機(jī)組作為執(zhí)行機(jī)構(gòu)，并將其放置在撓性梁主體的相應(yīng)位置上[12]。

二自由度力矩電機(jī)組位于②處。十字軸結(jié)構(gòu)如圖6所示，4個(gè)力矩電機(jī)分別安裝在十字軸的兩個(gè)相互垂直的方向上(如圖7所示)，與④處(頂部)的二自由度陀螺儀形成閉環(huán)(與⑤處的配重塊對(duì)應(yīng))。要求每?jī)蓚€(gè)相對(duì)方向的力矩電機(jī)運(yùn)動(dòng)高度一致，該機(jī)構(gòu)能夠輸出繞X軸、Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)的二自由度力矩。

圖6 十字軸結(jié)構(gòu)Fig.6 Cross-axis structure

圖7 力矩電機(jī)安裝示意圖Fig.7 Drawing for installation of torque motor

二自由度伺服電機(jī)組位于③處，如圖8所示，由兩個(gè)導(dǎo)軌和兩個(gè)伺服電機(jī)組成(每個(gè)伺服電機(jī)配備一個(gè)加速度計(jì)進(jìn)行閉環(huán)控制)，可以輸出兩自由度的力。

圖8 二自由度伺服電機(jī)組示意圖Fig.8 Schematic diagram of two-degree-of-freedom servo motor unit

二自由度伺服電機(jī)組在撓性桁架上的安裝如圖9所示。

圖9 二自由度伺服電機(jī)組安裝示意圖Fig.9 Installation schematic diagram of two-degree-of-freedom servo motor set

位于④處(底部)的加速度計(jì)和陀螺儀計(jì)算撓性桁架底部的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，以此檢驗(yàn)振動(dòng)抑制效果。至此，本文給出了衛(wèi)星大撓性結(jié)構(gòu)抑制技術(shù)地面驗(yàn)證系統(tǒng)的整體方案設(shè)計(jì)。

2 基于模態(tài)分析方法的數(shù)學(xué)建模

2.1 撓性桁架的有限元模型

對(duì)低頻大撓性桁架結(jié)構(gòu)的振動(dòng)進(jìn)行抑制的前提是建立描述撓性結(jié)構(gòu)振動(dòng)的數(shù)學(xué)表達(dá)方式。本文利用有限元分析方法[13-14]建立某型號(hào)撓性桁架的有限元模型[15]。建立系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程并進(jìn)行解耦。

2.2 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程

對(duì)于單個(gè)撓性桁架節(jié)點(diǎn)，即單自由度彈性-阻尼系統(tǒng)，有

(1)

其中m為質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量，u為質(zhì)點(diǎn)位移，c為阻尼系數(shù)，k為彈性系數(shù)，f為合外力。

將其推廣至多個(gè)桁架節(jié)點(diǎn)，即多自由度彈性-阻尼系統(tǒng)，有

(2)

其中M為質(zhì)量矩陣，C為阻尼矩陣，K為剛度矩陣，u為位移向量，f為合外力向量。

由于式(2)的常微分方程組中各個(gè)微分方程相互耦合，無(wú)法得到傳遞函數(shù)。因此，要將此微分方程組解耦。

2.3 多自由度系統(tǒng)振動(dòng)微分方程的解耦坐標(biāo)變換

對(duì)于線性時(shí)不變的n自由度系統(tǒng)，系統(tǒng)任一點(diǎn)i的響應(yīng)u均可表示為各階模態(tài)值與模態(tài)坐標(biāo)向量q的乘積，即各階模態(tài)在這個(gè)位置產(chǎn)生的響應(yīng)的線性疊加。

系統(tǒng)響應(yīng)u和模態(tài)坐標(biāo)向量q有式(3)的關(guān)系。

u=Φq

(3)

(4)

(5)

Φ為模態(tài)矩陣。由n個(gè)測(cè)點(diǎn)的振型值所組成的列向量φi，是第r階模態(tài)向量。

將式(3)代入式(2)中，有

(6)

忽略阻尼影響，有

(7)

根據(jù)模態(tài)振型的正交性質(zhì)，有

ΦTMΦ=E

(8)

(9)

將式(8)、式(9)代入式(7)，有

(10)

實(shí)現(xiàn)了多自由度系統(tǒng)振動(dòng)微分方程的解耦。

某型號(hào)撓性桁架部分模態(tài)振型特征參數(shù)如表1所示[15]。

表1 某型號(hào)撓性桁架部分模態(tài)振型Tab.1 Partial modal modes of a certain type of flexible truss

取6個(gè)集中質(zhì)量點(diǎn)，2個(gè)振動(dòng)模態(tài)0.90Hz、0.91Hz進(jìn)行分析，代入式(10)即可得到式(11)、(12)的系統(tǒng)振動(dòng)微分方程。

《兒子與情人》主要描寫(xiě)了主人公保羅和他的母親莫瑞爾太太、他的初戀情人米麗安以及情人克拉拉三個(gè)女人之間的情感糾葛。其中，保羅與后兩者的戀愛(ài)故事，充分展現(xiàn)了勞倫斯對(duì)人類(lèi)兩性之間的精神之愛(ài)與肉體之愛(ài)的深刻思索。

(11)

(12)

本節(jié)對(duì)撓性桁架模型進(jìn)行了簡(jiǎn)化分析，建立了完整的數(shù)學(xué)模型，下一節(jié)給出控制器的設(shè)計(jì)方法。

3 控制算法設(shè)計(jì)及仿真驗(yàn)證

3.1 比例-微分-積分控制律設(shè)計(jì)

在工程實(shí)際中，應(yīng)用最為廣泛的控制律就是比例-微分-積分(Proportion-Integral-Differential，PID)控制率。根據(jù)上一節(jié)推導(dǎo)出的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行拉普拉斯變換得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，搭建PID控制律數(shù)學(xué)仿真模型，仿真結(jié)果如圖10、圖11所示。圖中ui為系統(tǒng)中第i個(gè)點(diǎn)的響應(yīng)。

圖10 PID控制律系統(tǒng)響應(yīng)Fig.10 Response of PID control law system

圖11 PID控制律系統(tǒng)響應(yīng)Fig.11 Response of PID control law system

從仿真結(jié)果可以看出，PID控制律的控制效果不是很理想，超調(diào)量與震蕩次數(shù)均較多，下一小節(jié)將進(jìn)行線性二次型調(diào)節(jié)器(Linear Quadratic Regulator，LQR)控制律設(shè)計(jì)，可得到狀態(tài)線性反饋的最優(yōu)控制規(guī)律，構(gòu)成閉環(huán)最優(yōu)控制。

3.2 線性二次型調(diào)節(jié)器控制律設(shè)計(jì)

設(shè)有一狀態(tài)變量均可測(cè)量的線性系統(tǒng)

(13)

其中，u為輸入矢量，y為輸出矢量，x為狀態(tài)矢量，A為系統(tǒng)矩陣，B為輸入矩陣或控制矩陣，C為輸出矩陣。

設(shè)能量函數(shù)為

(14)

其中Q為半正定矩陣，R為正定矩陣。最優(yōu)的控制軌跡應(yīng)設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器u=-kx，使該能量函數(shù)最小。

此時(shí)

(15)

將u=-kx代入能量函數(shù)(14)得到

(16)

為了求出K，不妨假設(shè)存在一個(gè)常量矩陣P使得

(17)

假設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，將式(17)代入式(16)得到

(18)

(19)

取

K=R-1BTP

(20)

假設(shè)系統(tǒng)輸入為零，將式(16)、(20)代入式(19)，有

ATP+PA+Q+PBR-1BTP=0

(21)

求解式(21)的Riccati方程，代入式(20)即可解算出反饋矩陣K。

由于該系統(tǒng)的狀態(tài)變量為模態(tài)坐標(biāo)，不可以直接測(cè)量，無(wú)法進(jìn)行LQR設(shè)計(jì)，所以需構(gòu)建全維狀態(tài)觀測(cè)器。構(gòu)建其超調(diào)量為5%，調(diào)整時(shí)間為0.5s，設(shè)計(jì)其極點(diǎn)為-16±12j、-300、-400。

取LQR的參數(shù)如式(22)、(23)所示，得到狀態(tài)反饋K如式(24)所示。

R=diag(0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1)

(22)

Q=diag(10000,0,10000,0)

(23)

(24)

仿真結(jié)果如圖12、13所示。

圖12 LQR控制律系統(tǒng)響應(yīng)Fig.12 Control law system response of LQR

圖13 LQR控制律系統(tǒng)響應(yīng)Fig.13 Control law system response of LQR

由系統(tǒng)響應(yīng)可知，與PID控制律相比，LQR能夠取得更好的控制效果，超調(diào)量、振蕩次數(shù)均大幅減少。

本節(jié)在建立了桁架結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了PID控制律和LQR控制律。仿真結(jié)果表明，針對(duì)該多輸入多輸出的線性系統(tǒng)，LQR能夠取得更好的控制效果。

4 結(jié) 論

本文針對(duì)低頻大撓性桁架結(jié)構(gòu)，給出了衛(wèi)星大撓性結(jié)構(gòu)抑制技術(shù)的主動(dòng)控制方案，包括基于H型平臺(tái)的激勵(lì)發(fā)生裝置，基于十字軸式萬(wàn)向節(jié)的二自由度力矩電機(jī)組以及基于十字導(dǎo)軌的二自由度伺服電機(jī)組；基于模態(tài)分析方法建立了撓性桁架的數(shù)學(xué)模型，并給出了PID控制律和LQR的設(shè)計(jì)與仿真，驗(yàn)證了本文方法的有效性。