撓性空間結(jié)構(gòu)振動(dòng)的獨(dú)立模態(tài)空間最優(yōu)控制方法*

金 珊, 郭延寧，李傳江

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院·哈爾濱·150001)

0 引 言

隨著航天任務(wù)需求增多，航天器功能擴(kuò)展、平臺(tái)增大，越來(lái)越多的航天器都附帶撓性結(jié)構(gòu)，且尺寸、規(guī)模逐漸增大，結(jié)構(gòu)愈發(fā)復(fù)雜化。加拿大Radarsat-1衛(wèi)星的SAR天線(xiàn)的展開(kāi)長(zhǎng)度約15m，太陽(yáng)帆板的面積約25m2。美國(guó)的Lacross合成孔徑雷達(dá)衛(wèi)星，太陽(yáng)能電池陣長(zhǎng)達(dá)45.1m，最多可提供20kW的能量。2004年發(fā)射的Anik-F2衛(wèi)星，其太陽(yáng)能單翼長(zhǎng)達(dá)20m，提供18kW的能量。仍在規(guī)劃階段的，如美國(guó)國(guó)防部ISAT項(xiàng)目中，涉及長(zhǎng)度超過(guò)300m的展開(kāi)式桁架結(jié)構(gòu)。諸如此類(lèi)的航天器在未來(lái)航天器中具有顯著的發(fā)展趨勢(shì)。

外太空復(fù)雜的環(huán)境干擾作用，航天器不斷進(jìn)行姿態(tài)機(jī)動(dòng)或變軌，而撓性空間結(jié)構(gòu)表現(xiàn)出低頻振動(dòng)、模態(tài)密集等非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)特性，與本體強(qiáng)耦合，振動(dòng)會(huì)嚴(yán)重干擾航天器本身的姿軌控制，不僅影響正常載荷任務(wù)的進(jìn)行，更甚者會(huì)導(dǎo)致控制失效。改進(jìn)控制方案，能夠提高航天器的姿態(tài)跟蹤精度、響應(yīng)速度和系統(tǒng)穩(wěn)定性，研究如何對(duì)大型撓性空間結(jié)構(gòu)進(jìn)行有效主動(dòng)振動(dòng)抑制問(wèn)題具有實(shí)際工程意義。

調(diào)研國(guó)內(nèi)外文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)，對(duì)于普通帶撓性附件的航天器控制國(guó)內(nèi)外已經(jīng)進(jìn)行了大量理論研究和試驗(yàn)驗(yàn)證，取得眾多研究成果。被動(dòng)振動(dòng)控制是比較容易實(shí)現(xiàn)的一類(lèi)方法，成本較低，通常不需要額外能量，能保證系統(tǒng)穩(wěn)定性。其主要實(shí)現(xiàn)是利用阻尼材料改變系統(tǒng)特性[1-2]，或在撓性結(jié)構(gòu)上額外增加阻尼器等裝置[3]。

撓性結(jié)構(gòu)主動(dòng)振動(dòng)抑制有兩種設(shè)計(jì)思路，一種是沿襲傳統(tǒng)剛體航天器的振動(dòng)控制，將撓性結(jié)構(gòu)與中心體整合成一個(gè)全撓性系統(tǒng)進(jìn)行控制方法研究[4-7]。胡慶雷等[8]針對(duì)撓性航天器大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)，提出將輸入成形法與變結(jié)構(gòu)控制法相結(jié)合的控制方法。另一種是將控制作用直接施加于撓性結(jié)構(gòu)，通過(guò)構(gòu)成獨(dú)立的閉環(huán)反饋控制回路實(shí)現(xiàn)振動(dòng)抑制。Mehiel等[9]對(duì)太空可展開(kāi)望遠(yuǎn)鏡，設(shè)計(jì)了基于命令追蹤發(fā)生器的離散自適應(yīng)控制器。張維存等[10]提出了一種多模型自適應(yīng)控制算法，一定程度上克服傳統(tǒng)算法在被控系統(tǒng)參數(shù)跳變時(shí)響應(yīng)品質(zhì)下降的問(wèn)題。Ryan等[11]提出遞歸最小二乘法的自適應(yīng)參數(shù)估計(jì)量改進(jìn)正位置反饋控制。Mahmoodi等[12]利用一階補(bǔ)償器提供阻尼控制改進(jìn)傳統(tǒng)正位置反饋控制。陳學(xué)前等[13]采用離線(xiàn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)提高控制器的魯棒性，并給出了一種模態(tài)空間最優(yōu)控制律。王波等[14]對(duì)主被控模態(tài)獨(dú)立模態(tài)控制，對(duì)非主被控模態(tài)利用耦合模態(tài)控制，降低了系統(tǒng)能耗并提高魯棒性。李生權(quán)等[15]提出了一種基于加速度信號(hào)的獨(dú)立模態(tài)空間控制法。李維[16]對(duì)壓電智能結(jié)構(gòu)定義廣義本構(gòu)關(guān)系，設(shè)計(jì)線(xiàn)性二次型最優(yōu)反饋控制器。李傳江等[17-18]提出一種結(jié)合動(dòng)態(tài)補(bǔ)償思想的雙冪次趨近律與終端滑模面的有限時(shí)間控制律。由于存在次生模態(tài)、參數(shù)跳變時(shí)控制品質(zhì)下降等問(wèn)題，仍存在進(jìn)一步研究的必要性。針對(duì)撓性結(jié)構(gòu)各階模態(tài)在實(shí)模態(tài)空間下具有耦合特性，將控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化到獨(dú)立模態(tài)空間中進(jìn)行分析，并基于最優(yōu)理論設(shè)計(jì)控制器進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

1 撓性空間結(jié)構(gòu)有限元模型與模型降階

一般地，多自由度系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程式可表示為

(1)

其中，x為物理空間的結(jié)構(gòu)位移，M、D、K分別為系統(tǒng)n*n階的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，Q為節(jié)點(diǎn)載荷力?？臻g結(jié)構(gòu)可以抽象簡(jiǎn)化為桿等結(jié)構(gòu)單元的組合，集成可得到整體結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣。由動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的有限元分析方法[19]和上式，系統(tǒng)的特性矩陣有

(2)

ρ為系統(tǒng)的材料密度，μ為系統(tǒng)阻尼比，N為位移的插值函數(shù)，Σ為應(yīng)變量矩陣[20]。

對(duì)于這類(lèi)分布參數(shù)的結(jié)構(gòu)，仍采用偏微分方程描述其運(yùn)動(dòng)形式，從而建立常微分方程表達(dá)的控制模型。

(3)

其中，Dp為阻尼系數(shù)，B為n*r作動(dòng)器安裝位置矩陣，f為r*1控制力向量，r為作動(dòng)器安裝個(gè)數(shù)。y為m*1測(cè)量向量，m為傳感器安裝個(gè)數(shù)；Cd、Cv為輸出系數(shù)矩陣，分別代表位移和速度傳感器；D為作動(dòng)力直接輸出系數(shù)。

系統(tǒng)響應(yīng)按模態(tài)疊加可表示為

(4)

其中，φi為第i階振型，φ=[φ1,φ2,…φi]；ηi為第i階模態(tài)坐標(biāo)，η=[η1,η2,…ηi]T

式(4)代入式(3)得

(5)

其中DΓ=diag(2ξ1ω1,2ξ2ω2,…，2ξnωn)，ξi,ωi,i=1,2,…，n為系統(tǒng)固有模態(tài)阻尼比及頻率。

系統(tǒng)模態(tài)疊加的狀態(tài)方程為

(6)

式中PN為系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)向量。N=1,2,…,n為截?cái)嚯A數(shù)。

在線(xiàn)性空間中定義能量范數(shù)

(7)

進(jìn)一步，定義系統(tǒng)能量判據(jù)

(8)

取不同的模態(tài)截?cái)嚯A數(shù)，計(jì)算式(8)，得到曲線(xiàn)如圖1所示，當(dāng)模態(tài)階數(shù)超過(guò)10以后，曲線(xiàn)變化趨于平緩，因此選擇前10階模態(tài)進(jìn)行計(jì)算來(lái)近似代替整體結(jié)構(gòu)的振動(dòng)狀態(tài)。

圖1 能量判據(jù)與模態(tài)截?cái)嚯A數(shù)關(guān)系曲線(xiàn)Fig.1 Energy criterion and modal truncation order curve

2 基于獨(dú)立模態(tài)空間理論的控制器設(shè)計(jì)

根據(jù)系統(tǒng)響應(yīng)(5)，可得其在實(shí)模態(tài)空間的表達(dá)式：

(9)

轉(zhuǎn)換成關(guān)于模態(tài)狀態(tài)向量z的狀態(tài)方程：

(10)

i=1,2,…,n

由模態(tài)正交歸一化條件，得到從物理空間到模態(tài)空間的狀態(tài)解耦為

(11)

(12)

則閉環(huán)系統(tǒng)的模態(tài)方程為

(13)

可確定實(shí)際控制力為

u=φTBf=Γf

(14)

2.1 系統(tǒng)頻率響應(yīng)的模態(tài)濾波器設(shè)計(jì)

由振型的疊加原理如式(5)，又由于模態(tài)具有正交性和歸一性，狀態(tài)解耦后的模態(tài)空間方程可以表示為

η=φTMp=ΨTδ

(15)

其中nt為測(cè)量點(diǎn)數(shù)。ΨT=φTM為模態(tài)濾波器解耦矩陣。

定義系統(tǒng)在第t自由度下激勵(lì)的頻率響應(yīng)函數(shù)為

(16)

對(duì)于一個(gè)特定的輸入頻率，頻率響應(yīng)函數(shù)可簡(jiǎn)化為

(17)

2.2 模態(tài)參數(shù)獲取的Luenberger觀(guān)測(cè)器設(shè)計(jì)

狀態(tài)空間中系統(tǒng)的被控模態(tài)用狀態(tài)方程表示為

(18)

為系統(tǒng)引入Luenberger觀(guān)測(cè)器，觀(guān)測(cè)器的形式為

(19)

其中Kr為觀(guān)測(cè)器的增益矩陣。

模態(tài)控制力可表示為

(20)

令Vr=(Ir+KrCr)-1，其中Ir為單位矩陣，則有

(21)

觀(guān)測(cè)器的誤差為

(22)

2.3 基于最優(yōu)理論的獨(dú)立模態(tài)空間控制器設(shè)計(jì)

設(shè)第i階模態(tài)的控制力向量為fi=gi1ηi+gi2ηi,i=1,2,…,n，其中g(shù)i1、gi2為控制器的增益系數(shù)。

建立最優(yōu)控制的性能指標(biāo)函數(shù)為

(23)

Ri用于平衡系統(tǒng)能量和外界輸入能量，將控制力向量的線(xiàn)性反饋代入性能指標(biāo)函數(shù)，并使Si最小，可以解得控制器增益為

Ri+2Riωia)1/2

(24)

存在可測(cè)的外界擾動(dòng)λ時(shí)，第i階模態(tài)狀態(tài)空間方程可寫(xiě)成

(25)

模態(tài)控制力為

(26)

求取合適的Gi使?fàn)顟B(tài)反饋滿(mǎn)足系統(tǒng)漸近穩(wěn)定[21]，系統(tǒng)的第i階傳遞函數(shù)‖Ci(sI-Ai-Bi1Gi)-1Bi2‖∞<γ，且Ai+Bi1Gi漸近穩(wěn)定，其中γ為一正常數(shù)。根據(jù)H∞次優(yōu)控制方法可知存在ε>0和正定矩陣Q，使以下代數(shù)Ricatti方程存在正定解Pi

(27)

求解上述方程組得

2+2(1+a)1/2)1/2)-1]

(28)

系統(tǒng)控制增益系數(shù)為

(29)

3 撓性空間結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制仿真分析

3.1 仿真模型

以桁架結(jié)構(gòu)和一組帆板結(jié)構(gòu)為例(如圖2所示)給出相關(guān)撓性空間結(jié)構(gòu)的部分主要參數(shù)如表1所示。截取前10階模態(tài)參數(shù)，只對(duì)前3階進(jìn)行控制，分別在中心體保持靜止和不同轉(zhuǎn)動(dòng)和干擾工況下進(jìn)行主動(dòng)振動(dòng)控制。

(a) 桁架節(jié)點(diǎn)編號(hào)示意圖

(b) 帆板結(jié)構(gòu)示意圖圖2 仿真撓性空間結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Schematic diagram of the flexible space structures

表1 被控大型撓性空間結(jié)構(gòu)模型部分參數(shù)Tab.1 Partial parameters of the controlled large flexible space structure model

3.2 結(jié)果分析

參考作動(dòng)器配置的計(jì)算結(jié)果，采用1、2階布置5個(gè)作動(dòng)器，3階布置2個(gè)作動(dòng)器。從圖3中可以看出能夠有效地進(jìn)行主動(dòng)振動(dòng)抑制。如圖3中虛線(xiàn)所示，桁架結(jié)構(gòu)的振動(dòng)在自然狀態(tài)下衰減得很慢，施加控制后結(jié)構(gòu)的振動(dòng)很快衰減。各方向的位移衰減超過(guò)97%，同時(shí)各階作動(dòng)器的作用時(shí)間均小于150s。將控制器增益換成H∞次優(yōu)控制律，控制效果類(lèi)似。

對(duì)于單翼帆板結(jié)構(gòu)，假設(shè)航天器中心體從初始位置姿態(tài)[0.5,-0.5,0.5]°、初始角速度[-0.01,0.02,-0.03] (°)/s開(kāi)始，調(diào)整中心體附帶天線(xiàn)以固定角速度繞-Y軸、+X軸旋轉(zhuǎn)，到目標(biāo)姿態(tài)，在此過(guò)程中考慮撓性空間結(jié)構(gòu)的振動(dòng)情況并進(jìn)行主動(dòng)振動(dòng)控制。采用比例積分微分(Proportional Integral Differentiation, PID)控制器進(jìn)行控制效果對(duì)比。圖4給出前5階模態(tài)坐標(biāo)變化和被控對(duì)象三軸振動(dòng)耦合力矩變化。

(a)1階模態(tài)振動(dòng)和作動(dòng)器輸出

(b)2階模態(tài)振動(dòng)和作動(dòng)器輸出

(c)3階模態(tài)振動(dòng)和作動(dòng)器輸出圖3 前3階模態(tài)曲線(xiàn)和作動(dòng)器輸出Fig.3 1-3 order modal curve and actuator output

如圖4所示，作動(dòng)器的輸出對(duì)1階模態(tài)的控制溢出影響較大，與PID控制器相比，第1階模態(tài)振動(dòng)的衰減程度較小，最優(yōu)獨(dú)立模態(tài)空間控制(Independent Modal Space Control, IMSC)控制器最大振幅約為后者的70%，H∞次優(yōu)IMSC控制器最大振幅約為PID的57%，而2～5階模態(tài)振動(dòng)的衰減程度明顯減小，系統(tǒng)的振動(dòng)抑制能力增強(qiáng)，三軸耦合力矩的大小有所減弱。

(a)PID方法

(b)最優(yōu)IMSC方法

(c)PID方法

(d)H∞次優(yōu)IMSC方法圖4 帆板結(jié)構(gòu)主動(dòng)振動(dòng)控制仿真曲線(xiàn)Fig.4 Simulation curve of active vibration control of panel

在中心體調(diào)整穩(wěn)定過(guò)程中，在15s時(shí)外加幅值為0.1的脈沖干擾，振動(dòng)控制曲線(xiàn)如圖5所示，均會(huì)在10s內(nèi)產(chǎn)生一個(gè)較大的振幅，最優(yōu)控制IMSC方法下模態(tài)坐標(biāo)的最大振幅約0.23，H∞次優(yōu)IMSC方法下模態(tài)坐標(biāo)的最大振幅約為0.15，較前者小約35%。這是由于H∞次優(yōu)獨(dú)立模態(tài)空間控制律的設(shè)計(jì)中包括了外力干擾項(xiàng)，控制律的作用更有針對(duì)性，在抑制外力引起的干擾時(shí)，系統(tǒng)具有更好的抗擾性能。

(a)最優(yōu)IMSC方法

(b)H∞次優(yōu)IMSC方法圖5 脈沖干擾下帆板結(jié)構(gòu)IMSC方法振動(dòng)控制仿真曲線(xiàn)Fig.5 Simulation of panel IMSC vibration control under pulse interference

4 結(jié) 論

本文研究了大型撓性空間結(jié)構(gòu)的有限元分析與建模、主動(dòng)振動(dòng)控制，采用簡(jiǎn)化的空間撓性附件，如桁架和帆板等為仿真模型算例，驗(yàn)證了基于獨(dú)立模態(tài)空間控制理論的控制律，對(duì)中心體機(jī)動(dòng)工況和受到外部干擾激勵(lì)下，撓性結(jié)構(gòu)的振動(dòng)模態(tài)進(jìn)行了主動(dòng)控制。但本文未考慮溢出問(wèn)題和密集模態(tài)的影響，因此在后續(xù)研究中應(yīng)考慮觀(guān)測(cè)溢出、控制溢出和低頻模態(tài)密集分布的控制問(wèn)題。