直板葉片振動響應(yīng)試驗的相似關(guān)系確定方法

張文笛，羅 忠，于清文，王 菲

（東北大學(xué)機(jī)械工程與自動化學(xué)院，沈陽110819）

0 引言

航空發(fā)動機(jī)壓氣機(jī)工作葉片在設(shè)計中可簡化為懸臂薄板，基于薄板類模型，通常進(jìn)行的振動特性分析主要包括系統(tǒng)固有特性（固有頻率、振型）分析以及動力響應(yīng)分析。其中動力響應(yīng)為結(jié)構(gòu)在特定或隨機(jī)載荷作用下?lián)隙入S時間變化的時程曲線。葉片通常會受到離心力、氣動力、熱載荷、振動載荷等不均勻脈沖載荷的作用，因此進(jìn)行葉片在脈沖載荷下的振動響應(yīng)分析具有重要意義。由于航空發(fā)動機(jī)壓氣機(jī)工作葉片具有復(fù)雜的工作環(huán)境、加工復(fù)雜性以及成本、場地等的局限性，常采用相似理論中的模型對原型固有特性進(jìn)行預(yù)測，而對于振動響應(yīng)與載荷的相似關(guān)系的研究較少。

在相似模型動力響應(yīng)研究中，Quercetti等[1]以燃料桶下落為對象，以沖擊載荷下動力響應(yīng)為主要參數(shù)驗證了原型與模型的相似關(guān)系；Ramu等[2]采用量綱分析法確定結(jié)構(gòu)模型參數(shù)的相似關(guān)系，并采用實(shí)例驗證懸臂梁分別受橫向和縱向階躍載荷的撓度、應(yīng)力等相似關(guān)系；Qian等[3-4]對層合板進(jìn)行沖擊試驗，分析了彈性變形階段與塑性變形階段完全相似關(guān)系的預(yù)測情況，得到彈性變形階段可以使用完全相似關(guān)系，塑性變形階段不能使用完全相似關(guān)系的結(jié)論；陳喆等[5]在相似理論和量綱分析的基礎(chǔ)上結(jié)合模態(tài)分析理論推導(dǎo)了結(jié)構(gòu)固有特性、頻域響應(yīng)與時域響應(yīng)的完全相似關(guān)系，并對機(jī)翼進(jìn)行有限元仿真，得到加速度與位移的時程曲線；Wu[6-7]采用完全相似模型預(yù)測彈性支撐板在圓環(huán)動載荷作用下的彈性振動特性，根據(jù)動力學(xué)方程，采用方程分析法確定各物理量之間的相似關(guān)系。針對不完全相似的研究，羅忠等[8]針對板、殼等模型進(jìn)行固有特性的不完全幾何相似關(guān)系的確定；James等[9-10]將渦輪發(fā)動機(jī)葉片簡化為簡支矩形板，通過方程分析法預(yù)測其完全幾何相似與不完全幾何相似下的固有特性；又將其簡化為簡支薄壁復(fù)合工字梁，通過控制方程推導(dǎo)出靜態(tài)撓度的相似律，預(yù)測原型與模型最大靜撓度的相似性與準(zhǔn)確性；Simites等[11]對線性載荷下簡支板相似關(guān)系進(jìn)行分析，通過對不同方程下的預(yù)測撓度進(jìn)行比較，得到預(yù)測誤差最小的相似關(guān)系；張瑋等[12]根據(jù)有限元預(yù)測系數(shù)法對單參數(shù)畸變相似模型進(jìn)行沖擊響應(yīng)研究，實(shí)現(xiàn)預(yù)測原模型的振動特性。而目前關(guān)于直板葉片在脈沖載荷下振動響應(yīng)相似關(guān)系的研究較少。

本文針對直板葉片的振動響應(yīng)相似模型設(shè)計問題，結(jié)合相似理論中的方程分析法和敏感性分析法，建立葉片試驗?zāi)Ｐ偷恼駝禹憫?yīng)分析的相似關(guān)系。分析振動響應(yīng)機(jī)理并通過有限元預(yù)測系數(shù)法，提高預(yù)測精度，消除尺寸效應(yīng)帶來的影響。通過數(shù)值仿真結(jié)果對振動響應(yīng)進(jìn)行驗證，得到了理想的預(yù)測效果。

1 動力學(xué)模型的確定

將航空發(fā)動機(jī)壓氣機(jī)工作葉片簡化為懸臂薄板結(jié)構(gòu)，如圖1所示。左端為固定端，右端為自由端，以固定端前端點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，定義懸臂薄板結(jié)構(gòu)長、寬、厚分別為l、b、h，薄板可受集中載荷F或均布載荷q。

圖1 懸臂薄板結(jié)構(gòu)

根據(jù)板殼振動理論[13]可得懸臂薄板的振動微分方程

當(dāng)載荷作用時間非常小時，視其為沖擊情況下的振型分量

2 脈沖載荷下振動響應(yīng)的相似關(guān)系

在評價脈沖響應(yīng)特性時，由于頻響特性只提供響應(yīng)幅度隨頻率的分布，而結(jié)構(gòu)的位移、速度、加速度以及彈性力學(xué)參數(shù)可作為表征線彈性振動問題中的主要指標(biāo)，因此時域響應(yīng)特性也尤為重要。且由于碰撞、爆炸、地震等工況產(chǎn)生的脈沖載荷加載時間十分短暫，振動響應(yīng)只受到相對少數(shù)頻率支配，因此本文采用時域響應(yīng)作為主要指標(biāo)進(jìn)行相似模型的預(yù)測。

2.1 完全幾何相似下振動響應(yīng)相似關(guān)系

將式（1）中的Laplace算子展開，并運(yùn)用積分類比法可得

下標(biāo)p代表原型，m代表模型，根據(jù)相似理論中的方程分析法，原型與模型的表達(dá)式分別為

對原型的幾何尺寸進(jìn)行縮放，假定長度、寬度、厚度尺寸縮放比例相同，即為完全相似條件

式中：λ 為幾何相似比；λl、λb、λh分別為葉片長度、寬度、厚度相似比；λx、λy為葉片上任一點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)的相似比。

對抗彎剛度方程進(jìn)行分析可得抗彎剛度的相似比

式中：λE為葉片彈性模量的相似比。

對式（4）、（5）進(jìn)行比較可得

式中：λw為葉片撓度相似比；λρ為密度相似比；λω0為靜固有頻率相似比；λq為均布載荷相似比；λt為時間相似比。

根據(jù)相似原理，式（8）相似關(guān)系為

從而可得速度與加速度的相似關(guān)系λv、λa分別為

對于集中載荷與均布載荷，有

式中：λF為集中載荷相似比；λq為均布載荷相似比。

2.2 不完全幾何相似下振動響應(yīng)相似關(guān)系

壓氣機(jī)工作葉片在完全幾何相似下，可以很好地預(yù)測動力學(xué)特性，但在實(shí)際工程及試驗中，由于葉片的幾何特性，厚度一般小于長度和寬度1個量級以上，縮放后會產(chǎn)生生產(chǎn)制造等諸多問題，此時需要改變模型的局部幾何尺寸縮放比例，這種模型可稱為畸變模型或幾何不完全相似模型。畸變主要為對葉片厚度、長度或?qū)挾鹊幕儭?/p>

2.2.1 對葉片的厚度進(jìn)行畸變

假定 λl=λb=λ≠λh，則式（8）為

從而得到相關(guān)參數(shù)的相似比

由此可知，葉片的厚度相似比并不與長度、寬度的相似比發(fā)生沖突，λh可作為獨(dú)立性條件的相似因子。

2.2.2 對葉片的長度或?qū)挾冗M(jìn)行畸變

與對厚度進(jìn)行畸變的結(jié)果不同，當(dāng)λl≠λb時，通過代入到振動微分方程中得到

通過上述的完全幾何相似關(guān)系的推導(dǎo)，得到關(guān)于固有頻率的待定相似關(guān)系的統(tǒng)一格式表達(dá)式為

式中：α為長度相似比加權(quán)冪數(shù)；β為寬度相似比加權(quán)冪數(shù)。

從而可知時間的相似比統(tǒng)一表達(dá)式為

位移的待定相似比關(guān)系為統(tǒng)一的表達(dá)格式為

當(dāng)載荷為集中力時，聯(lián)立式（12）、（18）可寫為

根據(jù)文獻(xiàn)[14]可知，對長度和寬度的敏感性分析建立精確相似關(guān)系，即可得到α與β的值。葉片的長、寬對葉片不同階固有頻率有不同影響，不同階固有頻率對應(yīng)的相似關(guān)系也不同，對于時間的相似關(guān)系很難確定。通過對2種載荷下振動響應(yīng)分析可知，載荷強(qiáng)度相同時，產(chǎn)生最大幅值的時間是固定的，通過對不同相似比模型仿真得到各相似比下的離散點(diǎn)進(jìn)行擬合，再對擬合函數(shù)求導(dǎo)，即可得到在小范圍相似比內(nèi)長度對撓度產(chǎn)生的敏感率。由于敏感性分析只針對結(jié)構(gòu)尺寸發(fā)生小范圍變化的情況，因此對于大范圍變化模型進(jìn)行相似設(shè)計時，可以采用校正模型，原型、畸變模型與校正模型的關(guān)系如圖2所示。

圖2 不完全幾何相似過程

在實(shí)際工程中，往往無法針對原型載荷匹配完全滿足時間與強(qiáng)度幅值要求的模型載荷，會出現(xiàn)原型載荷作用時間較長，通過縮比后模型載荷加載時間無法滿足模型設(shè)計要求等問題。由式（14）、（17）可知，時間的相似比由材料參數(shù)以及幾何參數(shù)的相似獲得，針對厚度較小的結(jié)構(gòu)，在對長度、寬度縮放的同時可以對厚度進(jìn)行縮小，得到更大的時間相似比，即可達(dá)到滿足模型試驗的設(shè)計要求。

3 脈沖載荷下振動響應(yīng)預(yù)測方法驗證

3.1 完全幾何相似下振動響應(yīng)預(yù)測

以Ti-6Al-4V鈦合金作為原型材料，40Cr鋼作為模型材料參數(shù)為例，原型與模型的幾何參數(shù)、材料參數(shù)分別見表1、2，采用ANSYS有限元仿真軟件對葉片進(jìn)行動力響應(yīng)做相似比的驗證。

表1 原型與模型幾何參數(shù)

表2 原型與模型材料參數(shù)

為了分析相似比λw、λq與時間的關(guān)系，采用2種不同類型的脈沖載荷，1種為矩形載荷，載荷強(qiáng)度與時間無關(guān)；另1種為三角形載荷，載荷強(qiáng)度與時間呈線性關(guān)系，最大載荷強(qiáng)度與矩形載荷強(qiáng)度相同，根據(jù)給出的相似關(guān)系和材料幾何參數(shù)、物理參數(shù)，得到原型與模型的載荷形式，如圖3所示。

圖3 不同形式載荷

采用表1中原型幾何尺寸在原型葉片上施加100 Pa均布載荷，通過有限元仿真得到直板葉片不考慮阻尼的瞬態(tài)振動響應(yīng)，拾取自由端中點(diǎn)的位移曲線。2種不同形式載荷在不同加載時間下的時程曲線對比如圖4所示。通過對彈性力學(xué)及振動理論的分析可知，載荷峰值的強(qiáng)度影響振動響應(yīng)的幅值，但不影響最大峰值產(chǎn)生的時間與軌跡；當(dāng)載荷加載時間小于葉片產(chǎn)生最大幅值的時間時，振動響應(yīng)近似于諧波函數(shù)；對于矩形載荷，當(dāng)加載時間大于葉片產(chǎn)生最大幅值的時間時，由于相同時間段產(chǎn)生沖量相同，不同加載時間的振動響應(yīng)在到達(dá)位移峰值前的軌跡相同，但加載時間越長振動響應(yīng)的自由振動幅值越小，這是由于載荷方向與葉片回彈方向相反，阻礙葉片運(yùn)動并且此刻載荷對葉片作負(fù)功消耗葉片能量，因此葉片在自由振動時的幅值減??；當(dāng)載荷加載時間過長時可視為階躍載荷的瞬態(tài)響應(yīng)部分（本文不予考慮）。對于三角形載荷，產(chǎn)生沖量速度與加載時間有關(guān)，由圖3（b）分析可知，在相同峰值情況下，加載時間越長，產(chǎn)生沖量速度越小，到達(dá)葉片振動峰值時間越長，由于葉片隨時間向下彎曲，時間越長彎曲產(chǎn)生的抵抗載荷力越大，因此加載時間加長可能無法到達(dá)該載荷峰值下的最大位移，符合圖4（b）中的軌跡變化規(guī)律。由于不同加載時間產(chǎn)生的時程曲線軌跡規(guī)律不同，無法單獨(dú)使用有限元預(yù)測系數(shù)法，因此必須通過相似比得到加載時間的近似值作為導(dǎo)向，再運(yùn)用有限元預(yù)測系數(shù)法加以修正來保證模型的預(yù)測精度。

圖4 不同加載時間下的時程曲線

根據(jù)得到的理論相似比，原型葉片施加不同加載時間時100 Pa、-2 N的2種載荷下的時程曲線預(yù)測結(jié)果如圖5、6所示。其中模型載荷的相似比為0.1。從圖中可見，由于幾何尺寸的縮小導(dǎo)致尺寸效應(yīng)的產(chǎn)生，通過選取原型與預(yù)測后時程曲線上幅值最大點(diǎn)或遠(yuǎn)端相位差較大的自由振動幅值來得到時間比值的修正系數(shù)，將修正系數(shù)代入到模型的加載時間中，最后得到修正后的時程曲線，保證不同階段振動軌跡皆可得到很好的預(yù)測效果。

圖5 矩形載荷預(yù)測修正曲線

圖6 三角形載荷預(yù)測修正曲線

3.2 不完全幾何相似驗證

葉片的參數(shù)和由ANSYS仿真得到在施加均布載荷為50 Pa的加載時間及最大撓度分別見表3、4，得到擬合曲線如圖7～10所示。

表3 長度變化對撓度產(chǎn)生的影響

表4 寬度變化對撓度產(chǎn)生的影響

圖7 λl變化對時間擬合曲線

圖8 λb變化對時間擬合曲線

圖9 λl變化對位移擬合曲線

圖10 λb變化對位移擬合曲線

得到多項式擬合曲線方程

計算得到其敏感性

得到多項式擬合曲線方程

計算得到其敏感性

根據(jù)精確相似關(guān)系計算方法

解得

因此得到葉片加載時間的相似關(guān)系

得到多項式擬合曲線方程

計算得到其敏感性

得到多項式擬合曲線方程

計算得到其敏感性

解得

因此得到葉片位移的相似關(guān)系

聯(lián)立式（25）與（30）即可得到關(guān)于葉片振動響應(yīng)中速度與加速的相似比。同樣可求得葉片前2階固有頻率的相似比

本文只針對不完全幾何相似有阻尼情況給出位移與加速度的時程預(yù)測圖，因為完全幾何相似下不考慮阻尼可以很好地看出預(yù)測曲線與原型曲線的相位差。當(dāng)考慮不同材料模型預(yù)測原型的動力響應(yīng)時，必須考慮阻尼帶來的影響[15-16]，采用瑞利阻尼，通過任意2階固有頻率及其阻尼比即可得到質(zhì)量阻尼與剛度阻尼。由于阻尼比為無量綱數(shù)，可假定理想模型的各階阻尼比與原型的各階阻尼比相同，將原型參數(shù)帶入式（31）得到校正模型的相對應(yīng)階次的固有頻率，再代入到式（32）中即可求出校正模型的質(zhì)量與剛度阻尼。

式中：i、j為任意階數(shù)；ω 為固有頻率；ξ、Ψ 分別為質(zhì)量阻尼與剛度阻尼；η為阻尼比。

假定前2階固有頻率阻尼比η1=0.17，η2=0.14[17]，以 λl=0.9，λb=1.1為例，施加產(chǎn)生最大位移時間0.0118 s和大于產(chǎn)生最大位移時間0.025 s的2種矩形載荷加載，分別對以上相似關(guān)系進(jìn)行驗證，結(jié)果如圖11所示。從圖中可見，模型的位移、加速度曲線可以很好地預(yù)測原型曲線，并且無明顯相位差，無漏峰、錯峰現(xiàn)象，數(shù)值仿真選取時間增量的大小是導(dǎo)致峰值預(yù)測結(jié)果出現(xiàn)偏差的原因之一，同時可以運(yùn)用在時間相似比較大的工作情況下。針對完全幾何相似情況，方程分析法結(jié)合有限元預(yù)測系數(shù)法提高了模型預(yù)測精確度；針對不完全幾何相似情況，方程分析法結(jié)合敏感性分析法可以準(zhǔn)確預(yù)測出原型的振動響應(yīng)。

圖11 考慮阻尼情況不完全幾何相似的預(yù)測曲線

4 結(jié)論

（1）針對壓氣機(jī)工作葉片的振動響應(yīng)相似模型設(shè)計問題，基于板殼振動理論，結(jié)合方程分析法與有限元預(yù)測系數(shù)法，完善了葉片振動響應(yīng)問題的動力學(xué)相似關(guān)系，放寬了振動響應(yīng)中對載荷相似比的約束條件。

（2）通過對不同模型施加不同時間的載荷，分析了振動響應(yīng)軌跡的變化機(jī)理，得到具有明顯的特征點(diǎn)作為幾何相似關(guān)系求解的參數(shù)，可以作為敏感性分析的重要指標(biāo)。

（3）針對幾何不完全相似，解決了大時間相似比的工作情況下振動響應(yīng)模型設(shè)計問題；采用數(shù)值仿真的方法對動力學(xué)相似進(jìn)行了驗證，對不同形式載荷有無阻尼的彈性時程位移曲線進(jìn)行了對比，皆得到了很好的預(yù)測效果。

（4）通過完全幾何相似與不完全幾何相似關(guān)系的對比，可以得到結(jié)合敏感性分析法與方程分析法可以有效地解決尺寸效應(yīng)問題的結(jié)論。

（5）線彈性振動響應(yīng)相似關(guān)系方法的確定，為得到?jīng)_擊載荷下應(yīng)力波對振動響應(yīng)的影響規(guī)律以及相似模型設(shè)計奠定基礎(chǔ)。