1種軟軸推拉鋼索運動關(guān)系的建模分析方法

鄭偉連，張讓威

（中國航發(fā)沈陽發(fā)動機研究所，沈陽110015）

0 引言

在航空發(fā)動機結(jié)構(gòu)設(shè)計中，運動關(guān)系的傳遞除齒輪傳動、連桿傳動和鏈條傳動等結(jié)構(gòu)形式外，軟軸推拉鋼索結(jié)構(gòu)也得到了廣泛應(yīng)用。馮春玲等對軟軸鋼索的研制過程和關(guān)鍵技術(shù)開展了研究[1-3]。石曉龍對復(fù)材飛機操縱鋼索的設(shè)計和應(yīng)用進(jìn)行了論述，總結(jié)性的提出了軟式鋼索操縱的設(shè)計步驟[4]。楊春寧等在利用等效動態(tài)模型法建立某型飛機機械式操縱系統(tǒng)完整的數(shù)學(xué)模型時，采用硬式傳動機構(gòu)的建模處理方法對軟式鋼索進(jìn)行等效處理[5]。金忠慶[6-9]等開展了對鋼絲繩傳動機構(gòu)的分析與實驗研究。但是，目前對軟軸推拉鋼索運動傳遞關(guān)系尚未建立有效的數(shù)學(xué)模型，基于軟軸推拉鋼索的運動關(guān)系傳遞函數(shù)的設(shè)計還停留在試驗仿真模擬階段。

本文通過對軟軸推拉鋼索結(jié)構(gòu)的簡化，建立軟軸推拉鋼索運動關(guān)系傳遞模型。基于該模型對發(fā)動機中采用軟軸推拉鋼索實現(xiàn)運動關(guān)系傳遞的主燃油泵調(diào)節(jié)器和高壓壓氣機靜子可調(diào)葉片角度反饋機構(gòu)進(jìn)行了建模，得到運動關(guān)系傳遞函數(shù)并進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計，驗證了本文方法的有效性。

1 軟軸推拉鋼索的建模

軟軸推拉鋼索結(jié)構(gòu)由內(nèi)心鋼絲繩、復(fù)合外套、導(dǎo)向桿、螺母等組成，具體結(jié)構(gòu)如圖1所示。內(nèi)芯鋼絲繩在復(fù)合套管中的推拉運動傳遞運動關(guān)系，通過螺母將軟軸推拉鋼索兩端固定在發(fā)動機外廓機匣上，導(dǎo)向桿可以繞螺母存在16°的偏轉(zhuǎn)角。

圖1 軟軸推拉鋼索結(jié)構(gòu)

軟軸推拉鋼索在航空發(fā)動機運動關(guān)系的傳遞中具有以下優(yōu)勢：

（1）可靠性較高。軟軸推拉鋼索結(jié)構(gòu)相對簡單，能夠滿足航空發(fā)動機高可靠性的要求；

（2）體積小、質(zhì)量輕。1根長度1700 mm的軟軸推拉鋼索質(zhì)量不大于0.5 kg；

（3）能夠適應(yīng)發(fā)動機的復(fù)雜外廓。軟軸推拉鋼索柔性，能夠滿足發(fā)動機曲面弧形外廓的特點，占用空間小。

簡化后的軟軸推拉鋼索如圖2所示。軟軸推拉鋼索由狀態(tài)1變成狀態(tài)2，內(nèi)芯鋼絲繩在套管中相對兩側(cè)固定點運動。由于內(nèi)芯鋼絲繩和套管之間存在間隙，在往復(fù)拖動鋼索時，拖動初期存在響應(yīng)遲滯現(xiàn)象，即存在“空行程”ξ1。同時考慮內(nèi)芯鋼絲繩拉伸彈性，在拖動力的作用下彈性變形量為ξ2。將鋼索的“空行程”和彈性變形引起的位移行程偏差統(tǒng)一定義為“空行程”:ξ=ξ1+ξ2。則內(nèi)芯鋼絲繩右端串動量L1和左端串動量L2滿足：L1=L2+ξ。同時導(dǎo)向桿能夠繞鋼索固定點擺動，保證軟軸推拉鋼索能夠傳遞角度運動關(guān)系。因此軟軸推拉鋼索運動傳遞關(guān)系模型為

圖2 軟軸推拉鋼索運動模型

式中：△L1和△L2均為鋼索的位移絕對值。

2 軟軸推拉鋼索建模應(yīng)用

在某型航空發(fā)動機中，主燃油泵調(diào)節(jié)器（以下簡稱主泵）將高壓壓氣機靜子可調(diào)葉片角度α2作為發(fā)動機控制的輸入?yún)?shù)之一[10-12]。通過軟軸推拉鋼索及連桿機構(gòu)實現(xiàn)主泵搖臂旋轉(zhuǎn)角度和α2作動筒搖臂旋轉(zhuǎn)角度關(guān)系的傳遞，將α2反饋給主泵。結(jié)構(gòu)形式如圖3、4所示，簡化后的反饋調(diào)節(jié)機構(gòu)如圖5所示。

圖3 主燃油泵控制器搖臂結(jié)構(gòu)

圖4 α2作動筒搖臂結(jié)構(gòu)

圖5 簡化后的a2角位移反饋機構(gòu)

在圖 5 中：L11=40 mm，L12=210 mm，a1的初始角度為 60°（可調(diào)），轉(zhuǎn)動角度范圍為 30°；L22=190 mm，a2的初始角度為50°，轉(zhuǎn)動角度范圍為45°。在反饋機構(gòu)安裝過程中，通過調(diào)節(jié)L21的長度保證a1和a2的角度范圍關(guān)系相互協(xié)調(diào)，即當(dāng) a1=60°時，a2=50°；當(dāng) a1轉(zhuǎn)動30°后，a1=60°-30°=30°時，a2=50°+45°=95°。

設(shè)主泵搖臂擺動角度為 y，0＜y＜30°，則搖臂擺動過程中L13的伸長量為

△L13隨主泵搖臂轉(zhuǎn)動的變化曲線如圖6所示。

從圖中可見，△L13單調(diào)增加，求出最大的△L13Max=16.64 mm。依據(jù)軟軸推拉鋼索運動關(guān)系的傳遞特點：△L13=△L23+ξ，求出此時L23的長度

該型軟軸推拉鋼索的產(chǎn)品說明書中描述其“空行程”不大于1 mm，本文取“空行程”ξ=1mm 。求得 L21＝20.87 mm。

為了使L11的轉(zhuǎn)動范圍（0～30°）和L21的轉(zhuǎn)動范圍（0～45°）一致，主泵搖臂初始角度α1和α2作動機構(gòu)搖臂長度L21之間的關(guān)系曲線如圖7所示，并應(yīng)滿足

圖6 △L13隨主泵搖臂轉(zhuǎn)動的變化曲線

圖7 a1和L21約束關(guān)系曲線

從圖中曲線可以得出：在滿足搖臂擺動角度行程協(xié)調(diào)的情況下，α2作動筒搖臂的長度存在1個極大值。

主泵搖臂和α2作動筒搖臂角度關(guān)系的傳遞通過軟軸推拉鋼索實現(xiàn)?；诘?章的建模，得到鋼索兩端的移動量分別為

當(dāng)正向拖動鋼索時（正行程），滿足

當(dāng)反向拖動鋼索時（反行程），滿足

當(dāng)忽略鋼索空行程時，滿足

主泵搖臂角度α1和α2作動筒搖臂角度α2運動關(guān)系曲線如圖8所示。

由于“空行程”的存在，導(dǎo)致“理論曲線”發(fā)生平行偏移，即主泵搖臂角度α1和α2作動筒搖臂角度α2對應(yīng)關(guān)系點在2條“曲線帶”內(nèi)。

將發(fā)動機理論計算得到的α1和α2關(guān)系曲線和發(fā)動機實際裝配過程中排除“空行程”后測得的a1和a2關(guān)系數(shù)據(jù)點進(jìn)行對比，結(jié)果見表1，并如圖9所示。從圖中可見，理論計算關(guān)系曲線和實際測量結(jié)果接近，偏差小于3%，證明了建模方法的合理性和建模結(jié)果的有效性。

圖8 a1和a2理論關(guān)系曲線

圖9 a1和a2理論關(guān)系曲線和實測值對比

表1 a1和a2關(guān)系實測數(shù)據(jù) （°）

3 關(guān)系曲線的優(yōu)化設(shè)計

第2章中得到的a1的a2理論關(guān)系曲線為1個非線性的函數(shù)關(guān)系。在工程實際中，為了對發(fā)動機的控制規(guī)律進(jìn)行現(xiàn)場掌握和調(diào)節(jié)，需要根據(jù)主泵搖臂角度a1的讀數(shù)計算a2角度。由于a1的a2理論關(guān)系曲線的非線性給計算帶來了困難，發(fā)動機試車人員通過現(xiàn)場作圖描點的方法確定a1的a2對應(yīng)關(guān)系，存在準(zhǔn)確性差、效率低的問題。

為了降低發(fā)動機試車現(xiàn)場試車人員的工作難度，有必要對a1和a2的理論關(guān)系曲線進(jìn)行優(yōu)化，得到近似線性形式的關(guān)系曲線函數(shù)。

定義理想的1階線性函數(shù)為

式中：a、b為線性函數(shù)系數(shù)。

由于a1和a2角度關(guān)系分別滿足其角度行程范圍，即當(dāng) a1=60°時，a2=50°；當(dāng) a1=30°時，a2=95°。即理想線性函數(shù)通過點（50，60）和點（95，30）。因此得到理想線性函數(shù)

通過對a1初始角度和L21進(jìn)行優(yōu)化，得到最優(yōu)的a1和L21組合，使得a1和a2的關(guān)系曲線近似于式（11）的直線形式。

同時還必須保證a1和a2的轉(zhuǎn)動范圍協(xié)調(diào)一致，即需要滿足式（4）規(guī)定的a1和L21約束關(guān)系。

理論關(guān)系曲線的隱函數(shù)表達(dá)式為

式中：a0為a1的初始角度。

a0和L21為優(yōu)化變量。由于“空行程”僅會引起a1和a2關(guān)系曲線平移，不影響其線型，此處未考慮“空行程”對關(guān)系曲線的影響。

定義優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為

式中：y1為a1和a2理論關(guān)系曲線隱函數(shù)（式（12））；y2為理想線性函數(shù)（式（11））。

為使得優(yōu)化曲線y1和理想線性曲線y2更加“貼合”，定義優(yōu)化目標(biāo)為陰影部分的面積最小，如圖10所示。即求出最優(yōu)的主泵搖臂的初始角度a0和a2作動筒搖臂長度L21使得a1和a2理論關(guān)系趨近如式（11）所示的直線形式。

同時優(yōu)化變量a0和L21還必須滿足如下約束關(guān)系

以上優(yōu)化問題為1個包含約束的非線性優(yōu)化問題。

共軛梯度法是介于最速下降法與牛頓法之間的1個方法，克服了最速下降法收斂慢的缺點，又避免了牛頓法需要存儲和計算Hesse矩陣并求逆的缺點，是解決非線性最優(yōu)化問題最有效的算法之一[13-15]。采用共軛梯度法對以上問題進(jìn)行優(yōu)化計算，得出優(yōu)化結(jié)果為：a0=62.3°，L21=22.88 mm。a1和 a2理論關(guān)系曲線優(yōu)化前、后的結(jié)果對比如圖11所示。在發(fā)動機總裝安裝推拉反饋鋼索時，保證主泵搖臂初始角a0=62.3°，α2作動筒搖臂長度L21=22.88 mm，測量a1和a2關(guān)系數(shù)據(jù)實測值。將實際測量結(jié)果和式（11）的理想線性函數(shù)進(jìn)行對比，如圖12所示。實際測量結(jié)果和理想線性函數(shù)的誤差小于1%，達(dá)到了優(yōu)化的目標(biāo)。

圖11 優(yōu)化后的a1和a2理論關(guān)系曲線

圖12 優(yōu)化后關(guān)系曲線和實測結(jié)果對比

4 結(jié)論

本文對軟軸推拉鋼索運動的傳遞關(guān)系建立了模型，并通過航空發(fā)動機上的應(yīng)用實例對建模進(jìn)行了驗證，得出結(jié)論如下：

（1）基于軟軸推拉鋼索位移絕對值構(gòu)建的運動關(guān)系傳遞模型能夠準(zhǔn)確地描述軟軸推拉鋼索的運動關(guān)系；

（2）通過對航空發(fā)動機α2反饋調(diào)節(jié)機構(gòu)模型的構(gòu)建和運動關(guān)系的優(yōu)化設(shè)計，表明本方法切實可行；

（3）通過對發(fā)動機主泵搖臂初始角度和α2作動機構(gòu)搖臂長度的調(diào)節(jié)可以將α2關(guān)系曲線變成直線。