基于灰色預(yù)測(cè)模型的中國(guó)人口增長(zhǎng)問題的研究

吳小霞

摘 要 隨著中國(guó)人口的不斷增長(zhǎng)，如何采取有效的方法統(tǒng)計(jì)中國(guó)人口增長(zhǎng)速度，已成為有關(guān)部門關(guān)注的熱點(diǎn)。本文根據(jù)中國(guó)1985—2016年逐年人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，采用灰色預(yù)測(cè)法構(gòu)建中國(guó)人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)模型GM（1，1），并通過調(diào)整時(shí)間長(zhǎng)度，對(duì)比分析數(shù)據(jù)提高了預(yù)測(cè)的精度，得出中國(guó)人口在2021年將達(dá)到14.2億，為中國(guó)人口發(fā)展趨勢(shì)提供可靠的參考信息。

關(guān)鍵詞 人口增長(zhǎng) 灰色預(yù)測(cè)模型 人口預(yù)測(cè)

中圖分類號(hào)：C921文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

中國(guó)是世界人口最多的國(guó)家，人口過多一直是影響其經(jīng)濟(jì)發(fā)展的一個(gè)重要因素。截止2017年，根據(jù)人口抽樣調(diào)查統(tǒng)計(jì)，由中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒顯示我國(guó)人口已達(dá)13.9億，與2010年（13.4億）全國(guó)人口普查相比，7年時(shí)間人口增加了3.73%，年平均增長(zhǎng)約為0.5%，增長(zhǎng)速度低于2010年以前。

目前，人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)方法有很多，且大部分方法隨著應(yīng)用和發(fā)展已日趨成熟，例如線性回歸法、曲線擬合法、分析預(yù)測(cè)法、馬爾薩斯模型等。其中曲線擬合預(yù)測(cè)法主要是利用過去人口增長(zhǎng)情況，對(duì)未來人口發(fā)展趨勢(shì)進(jìn)行擬合預(yù)測(cè)。若人口增長(zhǎng)幅度波動(dòng)較大，在某一時(shí)間內(nèi)驟然下降或猛然上升，則可考慮采用指數(shù)函數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。分析預(yù)測(cè)法則通過推算得出未來人口增長(zhǎng)幅度，它不涉及公式計(jì)算。

本文主要研究如何在中國(guó)人口增長(zhǎng)問題中構(gòu)建灰色預(yù)測(cè)模型，并解決提高預(yù)測(cè)模型的精度問題。

1灰色預(yù)測(cè)模型

灰色理論是華中科技大學(xué)鄧聚龍教授于1982年提出的。它的理論概念是通過少量的、不完全的信息，建立灰色微分預(yù)測(cè)模型，對(duì)事物發(fā)展規(guī)律作出長(zhǎng)期的模糊性的描述。

灰色理論不是針對(duì)原始數(shù)據(jù)建立模型，而是采用一次累加生成新的數(shù)據(jù)建立預(yù)測(cè)模型GM（1，1）。灰色預(yù)測(cè)主要用于灰色時(shí)間序列預(yù)測(cè)，在應(yīng)用上涉及問題很多，例如氣象預(yù)報(bào)、地震預(yù)報(bào)、交通事故次數(shù)的預(yù)測(cè)、病蟲害預(yù)報(bào)、人口預(yù)測(cè)與分析等。

本文以MATLAB為計(jì)算工具，研究傳統(tǒng)的灰色預(yù)測(cè)模型GM（1，1）在中國(guó)近30年來的人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分析的應(yīng)用，并分析了導(dǎo)致預(yù)測(cè)值偏差的原因。事實(shí)表明，在適當(dāng)調(diào)整原始數(shù)據(jù)的時(shí)長(zhǎng)的情況下，灰色預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果具有較高精度，可以有效利用GM（1，1）模型進(jìn)行人口預(yù)測(cè)。

2中國(guó)人口近30年增長(zhǎng)的灰色預(yù)測(cè)

考慮中國(guó)人口數(shù)據(jù)，通過查閱中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒，提取1985年到2016年全國(guó)人口數(shù)據(jù)，如表1所示。

由表1繪制中國(guó)人口數(shù)據(jù)的柱形圖，可見，從1985年到2016年的32年時(shí)間里，中國(guó)人口從105851萬(wàn)人增加到138271萬(wàn)人，其增長(zhǎng)趨勢(shì)較為平穩(wěn)。

2.1數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)與預(yù)處理

為了保證GM（1，1）建模方法的可行性，需要對(duì)已知數(shù)據(jù)做必要的檢驗(yàn)處理。建立中國(guó)人口數(shù)據(jù)時(shí)間序列如下：

計(jì)算該數(shù)列的級(jí)比：

由（1）式計(jì)算的級(jí)比結(jié)果見散點(diǎn)圖1。 由于所有的級(jí)比都落在可容覆蓋區(qū)間 內(nèi)，則數(shù)據(jù)列可以建立GM（1，1）模型且可以進(jìn)行灰色預(yù)測(cè)。

2.2建立傳統(tǒng)GM（1，1）模型

對(duì)原始數(shù)據(jù)，通過一次累加運(yùn)算生成累加序列：

，

其中

根據(jù)一次累加數(shù)據(jù)繪制的散點(diǎn)圖以及二項(xiàng)式擬合曲線如圖2所示。

圖2：中國(guó)人口數(shù)據(jù)的一次累加散點(diǎn)圖及二項(xiàng)式擬合

的均值生成序列為

其中，

根據(jù)數(shù)據(jù)列和建立灰微分方程：

（2）

其中a，b為未知參數(shù)。相應(yīng)的白化微分方程為

（3）

記，構(gòu)造數(shù)據(jù)矩陣B及數(shù)據(jù)向量Y如下：

則由（2）式構(gòu)成方程組，可用最小二乘法求得參數(shù)a，b的估計(jì)值：

采用MATLAB軟件，代入具體數(shù)據(jù)計(jì)算，得到參數(shù)估計(jì)值：

于是白化微分方程（3）可以改寫為

（4）

求解微分方程（4）得

（5）

再令，于是由（5）式得到一次累加生成數(shù)列預(yù)測(cè)值：

從而可以得到原始人口數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)值：

，

（6）

由公式（6）得到的GM（1，1）模型的預(yù)測(cè)值與原始數(shù)據(jù)的比較見圖3。由圖3可見，雖然GM（1，1）模型的預(yù)測(cè)值可以用于估計(jì)原始數(shù)據(jù)，但是它們二者之間存在誤差，這個(gè)誤差在圖3的兩側(cè)表現(xiàn)尤為突出。因此，有必要考察GM（1，1）模型的精度。

2.3 GM（1，1）模型的精度檢驗(yàn)

為了判斷灰色預(yù)測(cè)模型的可行性，現(xiàn)利用殘差檢驗(yàn)和級(jí)比偏差檢驗(yàn)來定量分析GM（1，1）預(yù)測(cè)模型。

首先，進(jìn)行殘差檢驗(yàn)：計(jì)算相對(duì)殘差

（7）

如果對(duì)所有的k，有，則認(rèn)為達(dá)到較高的要求;否則，若對(duì)所有k，有，則認(rèn)為達(dá)到一般要求。

其次，進(jìn)行級(jí)比偏差值檢驗(yàn)：計(jì)算級(jí)比偏差值

（8）

此處為發(fā)展系數(shù)，采用估計(jì)值代入。如果對(duì)所有的k，有|，則認(rèn)為達(dá)到較高的要求;否則若對(duì)所有的k，有，則認(rèn)為達(dá)到一般要求。

圖4：相對(duì)殘差和級(jí)比偏差的散點(diǎn)圖

由公式（7）和（8）計(jì)算相對(duì)殘差和級(jí)比偏差的散點(diǎn)圖如圖4所示?？梢?，不管是相對(duì)殘差，還是級(jí)比偏差，都可控制在0.1以內(nèi)，這說明由原始數(shù)據(jù)構(gòu)造GM（1，1）模型計(jì)算的精度達(dá)到較高的要求。

2.4模型的預(yù)測(cè)及結(jié)果分析

將參數(shù)a，b的估計(jì)值代入模型得到預(yù)測(cè)模型：

，

然后利用

得到第k+1年人口的預(yù)測(cè)值。給出了2017年到2021年連續(xù)五年的人口預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)。

中國(guó)人口在2017年可達(dá)142720萬(wàn)人， （下轉(zhuǎn)第246頁(yè)）（上接第240頁(yè)）而實(shí)際上，2017年的人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)為139008萬(wàn)。這里預(yù)測(cè)誤差達(dá)到3712萬(wàn)人，造成此誤差的原因有很多，其中一個(gè)重要原因是樣本太多，時(shí)間太長(zhǎng)，對(duì)于預(yù)測(cè)的結(jié)果造成干擾?？梢钥紤]適當(dāng)縮短時(shí)間長(zhǎng)度，減少數(shù)據(jù)，采用相同的灰色預(yù)測(cè)方法進(jìn)行比較。現(xiàn)分別提取近30年（1987年—2016年）、近20年（1997年—2016年）以及近10年（2007年—2016年）的人口數(shù)據(jù)。

對(duì)比近30年、近20年以及近10年時(shí)長(zhǎng)數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)結(jié)果，與2017年的實(shí)際統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)139008萬(wàn)進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)實(shí)際數(shù)據(jù)處于時(shí)長(zhǎng)在10年與20年的預(yù)測(cè)結(jié)果之間，可以考慮進(jìn)一步調(diào)整時(shí)長(zhǎng)以提高估計(jì)的精確度。通過利用MATLAB進(jìn)一步計(jì)算比較，發(fā)現(xiàn)采用近17年的人口數(shù)據(jù)進(jìn)行灰色預(yù)測(cè)的結(jié)果是139009萬(wàn)，誤差最小，據(jù)此，可以估算出到2021年，中國(guó)人口將會(huì)達(dá)到141927萬(wàn)人。

3結(jié)語(yǔ)

本文利用中國(guó)1985—2016年人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)建立G（1，1）模型，對(duì)中國(guó)人口數(shù)進(jìn)行了灰色建模預(yù)測(cè)，并分析了導(dǎo)致預(yù)測(cè)值偏差的原因。 通過改變數(shù)據(jù)長(zhǎng)度，利用MATLAB計(jì)算參數(shù)，對(duì)比預(yù)測(cè)值與實(shí)際統(tǒng)計(jì)值之間的誤差，得出采用近17年的數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)效果最好。事實(shí)表明，在調(diào)整原始數(shù)據(jù)時(shí)長(zhǎng)的情況下，灰色預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果具有較高精度，可以有效利用GM（1，1）模型進(jìn)行人口預(yù)測(cè)。

基金項(xiàng)目：國(guó)家社會(huì)科學(xué)基金項(xiàng)目《復(fù)雜科學(xué)理論視角下國(guó)家自主創(chuàng)新示范區(qū)域戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)躍遷演化機(jī)理研究》（14BGL217）。

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