事件空間中非保守系統(tǒng)的一類擬分數(shù)階Noether定理

王澤，張毅

(1. 蘇州科技大學數(shù)理學院，江蘇 蘇州 215009；2. 蘇州科技大學土木工程學院，江蘇 蘇州 215011)

分數(shù)階微積分為解決非保守動力學問題提供了一個重要工具[1-2]。2005年，El-Nabulsi依據(jù)Riemann-Liouville分數(shù)階積分的定義提出了建立非保守系統(tǒng)動力學模型的一個方法[3]，并進一步推廣到基于按指數(shù)律拓展的分數(shù)階積分和按周期律拓展的分數(shù)階積分情形[4-5]。由該方法建立的非保守動力學模型可稱為El-Nabulsi擬分數(shù)階模型。張毅等[6]提出并建立了擬分數(shù)階模型下Birkhoff系統(tǒng)的Noether對稱性理論，文獻[7]將結果推廣到基于按指數(shù)律拓展的分數(shù)階積分情形。龍梓軒等證明了擬分數(shù)階Lagrange系統(tǒng)和擬分數(shù)階Hamilton系統(tǒng)的Noether定理[8-10]。張孝彩等[11]研究了擬分數(shù)階Lagrange系統(tǒng)的Lie對稱性與Hojman守恒量。文獻[12-16]研究了基于El-Nabulsi擬分數(shù)階模型非保守系統(tǒng)的對稱性攝動與絕熱不變量。但是，關于事件空間中基于El-Nabulsi擬分數(shù)階模型的非保守動力學及其對稱性研究尚沒有見到報道。本文將研究事件空間中El-Nabulsi擬變分問題及其動力學方程，建立事件空間中按周期律拓展的擬分數(shù)階模型下完整非保守系統(tǒng)和非完整非保守系統(tǒng)的Noether定理。

1 事件空間中按周期律拓展的擬分數(shù)階變分問題

設f(t),t∈[a,b]是連續(xù)函數(shù)，按周期律拓展的α階分數(shù)階積分定義為[5]

(1)

(2)

不失一般性，以下僅討論余弦函數(shù)情形。考慮由n個廣義坐標qk(k=1,2,,n)確定的力學系統(tǒng)，其(n+1)維擴充的位形空間，即事件空間，點的坐標是廣義坐標qk和時間τ。引入記號

x1=τ,xk+1=qk,(k=1,2,,n)

(3)

其中xs(s=1,2,,n+1)是參數(shù)σ的函數(shù)，有C2類曲線xs=xs(σ)，使得

(4)

不同時為零，得

(5)

(6)

則事件空間中基于按周期律拓展的擬分數(shù)階變分問題的提法為：求積分泛函

(7)

在固定邊界條件

xs(a)=xs,a,xs(b)=xs,b,(s=1,2,,n+1)

(8)

下的極值問題，其中γ是某曲線，Γ是Euler-Gamma函數(shù)，0<α≤1，τ是固有時間，t是觀察者時間，σ是某參數(shù)，τ≠t。

泛函(7)也稱為作用量。當α=1時，上述變分問題退化為事件空間中力學系統(tǒng)的經(jīng)典變分問題。若泛函(7)在xs=xs(σ)上取得極值，則

(9)

由邊界條件(8)，有

可得

(10)

將式(10)代入式(9)，有

(11)

因為積分區(qū)間[a,b]的任意性，所以

(12)

式(12)可稱為事件空間中基于按周期律拓展的擬分數(shù)階模型的D’Alembert-Lagrange原理。該原理不僅適用于完整非保守系統(tǒng)，也適用于非完整非保守系統(tǒng)。

對于完整系統(tǒng)，δxs(s=1,2,,n+1)相互獨立，因此由式(12)可得

(13)

方程(13)是事件空間中非保守系統(tǒng)基于按周期律拓展的擬分數(shù)階模型的Lagrange方程。

對于非完整系統(tǒng)，設非完整約束為

(14)

約束(14)加在虛位移上的限制條件為[17]

(15)

因為δxs(s=1,2,,n+1)不全獨立，由事件空間中D’Alembert-Lagrange原理(12)和條件(15)，運用Lagrange乘子法，得

(16)

其中λβ為約束乘子，方程(16)就是事件空間中非完整系統(tǒng)基于按周期律拓展的擬分數(shù)階模型的Lagrange方程。

2 事件空間中基于按周期律拓展的作用量的變分

引入無限小群變換

(17)

其展開式為

(18)

計算

其中

由于非等時變分運算Δ與等時變分運算δ之間成立關系[17]

ΔF=δF+F′Δσ

(21)

這里F為任意函數(shù)，因此得到

(22)

利用關系式(22)，式(20)可表為

(23)

由式(17)和(22)，上式可進一步表為

(24)

公式(20)和(24)是事件空間中基于按周期律拓展的作用量泛函(7)的兩個變分公式。

3 事件空間中基于按周期律拓展的擬分數(shù)階模型的Noether對稱變換

首先，研究事件空間中基于按周期律拓展的擬分數(shù)階模型的Noether對稱變換。

定義1 如果作用量泛函(7)是無限小群變換(17)的不變量，那么對每一個無限小變換，始終成立

(25)

可稱變換(17)為事件空間中基于按周期律拓展的擬分數(shù)階變分問題的Noether對稱變換。

由變分公式(20)，(24)，我們得如下判據(jù)。

判據(jù)1 對于無限小群變換(17)，若滿足條件

(26)

則變換(17)是事件空間中基于按周期律拓展的擬分數(shù)階變分問題的Noether對稱變換。

判據(jù)2 對于無限小群變換(17)，如果滿足r個方程

(27)

則變換(17)是事件空間中基于按周期律拓展的擬分數(shù)階變分問題的Noether對稱變換。

由于

(28)

故式(26)歸為如下r個方程

(29)

當r=1時，方程(29)給出的Noether等式為

(30)

其次，研究事件空間中基于按周期律拓展的擬分數(shù)階模型的Noether準對稱變換。

設Λ′是事件空間中另一Lagrange函數(shù)，若滿足以下條件(精確到一階小量)

則作用量泛函(7)是變換(17)下的準不變量。在此情形下的變換(17)稱為事件空間中基于按周期律拓展的擬分數(shù)階變分問題的Noether準對稱變換。顯然

(32)

將式(32)代入式(31)，得

(33)

由于式(33)的左端是一階小量，因此可用ΔG代替G,而

(34)

所以可得

定義2 如果作用量泛函(7)是無限小群變換(17)的準不變量，即對每一個無限小變換，始終成立

(35)

判據(jù)3 對于無限小群變換(17)，若滿足條件

則變換(17)是事件空間中基于按周期律拓展的擬分數(shù)階變分問題的Noether準對稱變換。

判據(jù)4 對于無限小群變換(18)，如果滿足r個方程

(37)

其中

ΔG=εμGμ

(38)

則變換(17)是事件空間中基于按周期律拓展的擬分數(shù)階變分問題的Noether準對稱變換。

式(36)歸為如下r個方程

當取r=1時，方程(39)成為Noether等式

應用以上判據(jù)可以求得事件空間中基于按周期律拓展的擬分數(shù)階變分問題的Noether對稱變換和Noether準對稱變換。

4 事件空間中完整系統(tǒng)基于按周期律拓展的擬分數(shù)階模型的Noether定理

(41)

對于事件空間中完整非保守系統(tǒng)，守恒量可由基于按周期律拓展的擬分數(shù)階變分問題的Noether對稱變換或Noether準對稱變換求得。故有

定理1 對于事件空間中完整非保守系統(tǒng)(13)，若無限小群變換(17)是基于按周期律拓展的擬分數(shù)階變分問題的Noether對稱變換，則系統(tǒng)存在以下r個線性獨立的守恒量

(42)

(43)

將方程(13)代入上式，由積分區(qū)間的任意性和參數(shù)εμ的獨立性，得到

(44)

積分后，便得式(42)。證畢。

定理2 對于事件空間中完整非保守系統(tǒng)(13)，如果無限小群變換(17)是基于按周期律拓展的擬分數(shù)階變分問題的Noether準對稱變換，則系統(tǒng)存在以下r個線性獨立的守恒量

(45)

定理1和定理2可稱為事件空間中完整非保守系統(tǒng)基于按周期律拓展的擬分數(shù)階模型的Noether定理。由上述定理，守恒量可由事件空間中完整非保守系統(tǒng)的Noether對稱變換或Noether準對稱變換求得。

5 事件空間中非完整系統(tǒng)基于按周期律拓展的擬分數(shù)階模型的Noether定理

由于

(46)

將式(46)代入式(15)，考慮到εμ的獨立性，得

(47)

即為事件空間中非完整約束(14)對無限小生成函數(shù)的限制方程。故有

定理3 對于事件空間中非完整非保守系統(tǒng)(14)(16)，若無限小群變換(17)是基于按周期律拓展的擬分數(shù)階變分問題的Noether準對稱變換，且滿足限制方程(47)，則系統(tǒng)存在如下r個線性獨立的守恒量

(48)

證明由于Noether準對稱變換的定義，可得

(49)

或?qū)懗尚问?/p>

(50)

由于滿足限制方程(47)，因此有

(51)

將式(51)和式(50)相加，得

(52)

將方程(16)代入式(52)，注意到積分區(qū)間的任意性和參數(shù)εμ的獨立性，得到

(53)

積分之，便得到式(48)。證畢。

定理3可稱為事件空間中非完整非保守系統(tǒng)基于按周期律拓展的擬分數(shù)階模型的Noether定理。當沒有非完整約束時，則定理3退化為定理2；如果還滿足Gμ=0，則定理3退化為定理1。

6 算 例

例1 設非完整非保守系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)為

(54)

非完整約束為

(55)

在事件空間中，Lagrange函數(shù)可表示為

(56)

非完整約束可表示為

(57)

方程(16)的后面兩個方程給出

(58)

由方程(57)和(58)可解得

(59)

于是方程(57)給出

(60)

(61)

例2 在平面Kepler問題的Lagrange函數(shù)為

(62)

試研究事件空間中該系統(tǒng)基于按周期律拓展的擬分數(shù)階模型的Noether對稱性與守恒量。

首先，事件空間中Noether等式(39)給出

=-G′sec((α-1)(t-σ))

(63)

方程(63)有解

ξ0=0,ξ1=0,ξ2=-x3,ξ3=x2,G=0

(64)

(65)

由判據(jù)1，生成元(64)相應于系統(tǒng)的Noether對稱變換。由定理1，系統(tǒng)存在如下守恒量

(66)

這是我們基于按周期律拓展的擬分數(shù)階模型得到的由該系統(tǒng)的Noether對稱性導致的守恒量。

由判據(jù)3，生成元(65)相應于系統(tǒng)的Noether準對稱變換。由定理2，守恒量(45)給出。

I=0

(67)

式(67)表明：與生成元(65)相應的守恒量是平庸的。

7 結 論

文章研究了事件空間中完整非保守系統(tǒng)和非完整非保守系統(tǒng)基于按周期律拓展的擬分數(shù)階模型的Noether對稱性，建立了相應的Noether定理。文章的主要工作：首先，提出了事件空間中基于按周期律拓展的擬分數(shù)階變分問題，導出了該模型下完整非保守系統(tǒng)和非完整非保守系統(tǒng)的Lagrange方程；其次，給出事件空間中基于按周期律拓展的擬分數(shù)階模型的Noether對稱變換與Noether準對稱變換的定義和判據(jù)；最后，建立并證明了事件空間中完整非保守系統(tǒng)和非完整非保守系統(tǒng)基于按周期律拓展的擬分數(shù)階模型的Noether定理。本文方法可進一步推廣應用于研究事件空間中非保守系統(tǒng)的Lie對稱性和Mei對稱性及其守恒量，也可進一步推廣到事件空間中Birkhoff系統(tǒng)等。