力學動態(tài)平衡問題與數(shù)學中圓的不解之緣

(江蘇省江陰市長涇中學，江蘇 無錫 214411)

數(shù)學在科學研究中有著重要的作用，在高考考試說明中把“應用數(shù)學處理物理問題的能力”作為考查學生的五種能力之一。這個能力主要體現(xiàn)在兩方面：一是能夠在具體問題中找出物理量之間的數(shù)學關系，根據(jù)數(shù)學進行推導、求解和合理外推，并根據(jù)結果從物理視角進行判斷、解釋、得出結論；二是能夠根據(jù)物理問題的實際情況和所給條件，恰當運用幾何圖形、函數(shù)圖像等進行分析、表達，能夠通過分析明確圖像的物理意義，從而解決物理問題。

共點力作用下的動態(tài)平衡問題作為?？伎键c，在歷年高考試題或調研試卷上時有出現(xiàn)。此類問題往往需要學生根據(jù)實際情況進行受力分析，恰當選擇和運用如三角形、平行四邊形或圓等幾何圖形去分析力與力之間的關系，進而解決問題。本文對數(shù)學中“圓”的知識在解決力學動態(tài)平衡問題中的應用進行分析與歸納，以提升學生應用數(shù)學解決物理問題的能力。

1 用在圓上不同位置的半徑表示大小不變、方向變化的力

物體受到三個力平衡時，如果其中第一個力大小、方向均不變，第二個力的大小不變，第三個力大小、方向均在變化。根據(jù)共點力平衡特點，在構建力矢量三角形時，將那個大小不變而方向變化的力看作一個圓中不同位置的半徑，作出一個“矢量圓”，另一個力的情況也就清楚了。

例1：如圖1所示，三根繩子a、b、c結于O點，c繩下方掛重物m1，繩子a另一端固定在天花板上，b繩跨過定滑輪懸掛一重物m2，不計一切摩擦，整個裝置處于靜止狀態(tài)。先將懸點a緩慢向左移動少許至a′點，則在此過程中( )。

圖1

A.bO繩拉力保持不變

B.aO繩拉力一直減小

C.aO繩拉力一直增大

D.aO繩拉力先增大再減小

圖2

解析：對節(jié)點O進行受力分析，三根繩子拉力分別為F1、F2和F3，a點向左緩慢移動，三力動態(tài)平衡，矢量三角形如圖2所示。F3大小等于m1g，方向不變；b繩拉力F2大小等于m2g，方向改變，則以F2的大小為半徑作一個矢量圓(如圖3)，F(xiàn)1的大小變化也就一目了然了，選項C正確。

圖3

啟示：以恒定力的末端為圓心，以大小不變的力為半徑作圓，畫出幾個動態(tài)三角形便可以分析出另一個力的變化情況。此方法在高中物理其他地方也經(jīng)常用到，如研究小船渡河問題，當船速小于水速時，討論小船渡河的最短位移等。教師在總結方法的同時可以引導學生去舉一反三，引導學生把一種方法遷移到其他問題解決中去。

2 圓中等長的弦所對應的圓周角為定值

物體受到三個力作用而平衡時，若其中一個力大小、方向均不變，另兩個力的大小、方向都發(fā)生變化，且這兩個力的夾角始終保持不變。則可以將力的矢量三角形移入其外接圓中，那個大小不變的力相當于圓中等長的弦，另兩個力之間的夾角就是該弦所對的圓周角，始終為一定值。

圖4

A.MN上的張力逐漸增大

B.MN上的張力先增大后減小

C.OM上的張力逐漸增大

D.OM上的張力先增大后減小

解析：以重物為研究對象，受重力mg、OM繩上拉力F2和MN上拉力F1，由于重物被緩慢拉起屬于動態(tài)平衡，三個力的合力始終為零，矢量三角形如圖5所示。因為mg大小、方向不變，F(xiàn)1與F2夾角不變，故可將三力平移至圓中，mg為圓的一條固定的弦，F(xiàn)1與F2的交點始終在圓上移動，即可保證夾角不變(固定弦所對圓周角為定值，如圖6)。在F2移至水平的過程中，MN上的張力F1逐漸增大，OM上的張力F2先增大后減小，所以選項A、D正確，選項B、C錯誤。

圖5

圖6

啟示：本題為2017年高考全國卷試題，對學生綜合分析能力和應用數(shù)學知識解決物理問題的能力要求較高。此題雖然也可以用正弦定理或特殊值法解決，但都不及圖解法直觀、簡單。學生的問題關鍵在于不能把分析出的“一個力不變，另外兩個力夾角不變”過渡到“圓中固定弦所對應的圓周角為一定值”，在平時的教學中，教師在總結方法的同時，可以多創(chuàng)設不同情境，采用變式訓練，從而提升學生數(shù)理結合能力。

3 結合題目中已有的“圓”，運用相似三角形等方法處理動態(tài)平衡問題

在力學動態(tài)平衡問題中，會遇到一類題型，題目給定了一些幾何長度或幾何圖形，要求學生借助題目已有圖形處理問題。如果題目給定一個圓，往往可以通過作輔助線，在已有圓中找到與力的矢量三角形相似的三角形，從而確定力的變化情況。

圖7

例3：如圖7所示，橡皮筋一端固定在豎直墻的O點，另一端懸掛質量為m的小球靜止在M點。O點正下方N處固定一鐵釘(橡皮筋靠在鐵釘左側)，ON間距等于橡皮筋原長，現(xiàn)對小球施加拉力F，使小球沿以MN為直徑的圓弧緩慢向N運動，橡皮筋始終在彈性限度內，不計一切摩擦，則小球從M向N移動的過程中( )。

A. 橡皮筋的彈力一直在變小

B. 拉力F的方向始終跟圓弧內橡皮筋垂直

C. 拉力F的方向始終跟圓弧垂直

D. 拉力F先變大后變小

解析：小球在移動過程中，橡皮筋的伸長量為N到圓弧上任意點的弦長，此弦長逐漸減小，則彈力一直變小，選項A正確；設圓的半徑為R，在M點，mg=F彈=k·2R，如圖8所示，設小球運動到P點，對其進行受力分析，橡皮筋彈力沿PN方向，大小與PN長度成正比，則力的三角形與△MPN相似，直徑MN所對圓周角為直角，則MP⊥PN，故拉力F始終垂直于橡皮筋，且在移動過程中弦長MP就對應著拉力F的大小，故F越來越大，故選項A、B正確。

圖8

啟示：此題巧在重力、橡皮筋彈力與圓的直徑、弦對應，從而可以找到相似三角形，再結合圓的直徑所對圓周角為直角，得到拉力F與橡皮筋垂直。此題對教學有很好的導向作用：往往物理題目給定幾何圖形，就是要求學生能主動建立起物理與數(shù)學圖形的聯(lián)系。所以在平時教學中，要培養(yǎng)學生數(shù)理結合的意識，要引導學生通過作圖，聯(lián)系已有圖形的特點，實現(xiàn)問題的突破和能力的提升。

4 結語

提升學生應用數(shù)學知識處理物理問題的能力是高中物理教學的一個重要目標，在教學中，教師應注重培養(yǎng)學生數(shù)理結合的意識，引導學生對所學的知識以及問題解決方法進行總結、遷移，切實提升學生的能力。