基于有限元法的大壩應(yīng)力、變形及穩(wěn)定分析

艾子欣，陳海霞，郭穗豐

(湖南省常德市水利水電勘測設(shè)計(jì)院，湖南 常德 415000)

實(shí)體混凝土重力壩是水利工程常見的擋水建筑物，主要利用自身重力維持壩身的穩(wěn)定。通常采用剛體極限平衡法來進(jìn)行抗滑穩(wěn)定分析，但此法無法反應(yīng)壩體及壩基不同部位的應(yīng)力分布和變位場。有限元法(FEA)起始于20世紀(jì)中葉，經(jīng)過70年的不斷研究發(fā)展，并通過ANSYS、ADINA、MARK、ABQUS等眾多通用和專用有限元軟件的研發(fā)和應(yīng)用，加之CAD軟件與有限元的無縫集成[1- 2]，使得有限單元法在工程界得到了廣泛的應(yīng)用[3]。有限元已成為解決邊界條件、結(jié)構(gòu)的位移場和應(yīng)力場等復(fù)雜的工程分析計(jì)算問題的主要方法，為合理分析重力壩的應(yīng)力、變形及抗滑穩(wěn)定分析提供了有效的途徑。

目前，采用有限元進(jìn)行壩體穩(wěn)定性大多數(shù)文獻(xiàn)[4- 5]側(cè)重于應(yīng)力及變形分析，而未根據(jù)成果計(jì)算其抗滑穩(wěn)定系數(shù)。僅部分文獻(xiàn)[6- 8]通過“基于強(qiáng)度儲(chǔ)備系數(shù)法”“有界降強(qiáng)分項(xiàng)系數(shù)法”研究可求得抗滑穩(wěn)定系數(shù)，但相當(dāng)繁瑣。本文尋求一種計(jì)算簡單、便于應(yīng)用的潛在滑動(dòng)面抗滑穩(wěn)定安全系數(shù)計(jì)算方法，基于有限元法分析后的壩體平面應(yīng)力成果，代入調(diào)整后抗滑穩(wěn)定系數(shù)公式求出穩(wěn)定系數(shù)。文中以非溢流壩段為例，采用有限單元法計(jì)算應(yīng)力、變形、抗滑穩(wěn)定系數(shù)，綜合評定其穩(wěn)定性。

1 計(jì)算方法

1.1 有限元計(jì)算原理

本文采用彈性有限元法解決邊界條件、結(jié)構(gòu)的位移場和應(yīng)力場比較復(fù)雜的平面問題，其基本理論-彈性理論數(shù)值解法的基本概念和步驟[9]如下。

(1) 將結(jié)構(gòu)離散化，劃分為大量的、范圍有限的單元，采用位移函數(shù)法，公式如下：

(1)

式中，u—單元結(jié)點(diǎn)的水平位移；v—單元結(jié)點(diǎn)的垂直位移；{δ}e—單元結(jié)點(diǎn)的位移列向量；[N]—形狀函數(shù)矩陣，是坐標(biāo)x，y的函數(shù)。

(2) 假定是小變形問題，因此彈性理論中的幾何方程依然適用，即:

(2)

并得出單元應(yīng)變和結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系式

{ε}=[B]{δ}e

(3)

式中，[B]—幾何矩陣。

(3) 根據(jù)彈性理論中的廣義虎克定律，可以得出單元的應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系式 ，即

(4)

式中,{σ}—應(yīng)力矩陣，[D]—彈性矩陣。

(4) 根據(jù)能量原理可以解出單元結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)

表1 水位及泥沙壓力基本參數(shù)表

表2 重力壩材料物理力學(xué)參數(shù)表

位移的關(guān)系式，即

{F}e=[k]e{δ}e

(5)

式中，[k]e—單元?jiǎng)偠染仃嚕瑊δ}e—單元結(jié)點(diǎn)力列向量，{F}e—單元結(jié)點(diǎn)作用力。

(5) 列出全部結(jié)點(diǎn)的平衡條件，便得出總體平衡方程組，即

[K]{δ}={P}

(6)

式中，[K]—總體剛度矩陣，由單元矩陣組合而成，是一個(gè)稀疏的正定對稱矩陣；{δ}—全部結(jié)點(diǎn)的位移列向量；{P}—全部結(jié)點(diǎn)的荷載列向量。

(6) 將幾何約束方程引入方程(6)，消去總體剛性位移，矩陣求逆便可解出結(jié)點(diǎn)位移，即

{δ}=[K]-1{P}

(7)

再利用式(3)和式(4)計(jì)算單元應(yīng)力。

1.2 抗滑穩(wěn)定計(jì)算公式

混凝土重力壩抗滑穩(wěn)定安全系數(shù)是分析其穩(wěn)定的重要指標(biāo)?；炷林亓卧O(shè)計(jì)規(guī)范抗剪斷公式[10]采用的是剛體極限平衡法。本次以抗剪斷公式為基礎(chǔ)，將有限元計(jì)算出的滑動(dòng)面各單元σni和τni，代替原公式中的作用于壩體上部結(jié)構(gòu)的滑動(dòng)平面法向分值∑W和滑動(dòng)平面切向分值∑P，從而將抗滑穩(wěn)定系數(shù)計(jì)算公式[11]調(diào)整如下：

(8)

2 工程案例分析

2.1 工程概況

某水利樞紐工程水庫總庫容9.99億m3，屬于Ⅱ等工程，主要建筑物為2級，次要建筑物為3級。洪水標(biāo)準(zhǔn)采用100年一遇的洪水標(biāo)準(zhǔn)，1000年一遇的洪水標(biāo)準(zhǔn)校核。非溢流壩段采用混凝土重力壩形式，壩頂高程350.82m(扣除防浪墻1.2m后)，壩基高程為303.00m，最大壩高47.82m。主要基本參數(shù)見表1—2，斷面如圖1所示。

圖1 非溢流壩段斷面圖(單位：m)

2.2 有限單元模型建立

模型建立時(shí)，對壩址區(qū)的復(fù)雜地質(zhì)條件進(jìn)行合理概化；輸入邊界、水位點(diǎn)、揚(yáng)壓力折減處的點(diǎn)等關(guān)鍵點(diǎn)；側(cè)邊的約束條件可取水平位移u=0，垂直位移v自由，底邊為u=v=0。如圖2所示。

圖2 大壩非溢流壩段實(shí)體模型圖

2.3 網(wǎng)格劃分

網(wǎng)格化分：本工程為平面應(yīng)變問題，采用四結(jié)點(diǎn)等參單元。劃分網(wǎng)格時(shí)，在應(yīng)力集中區(qū)域(壩踵和壩趾附近等)，因?yàn)閼?yīng)力變化劇烈，故將網(wǎng)格劃分得小一些。單元的形狀盡量避免小銳角和大鈍角的出現(xiàn)，邊長也不宜太大。壩體共分1902個(gè)單元，如圖3所示。

圖3 網(wǎng)格圖

2.4 加載

大壩作用力有自重、水壓力、泥沙壓力、揚(yáng)壓力和地基受到的水壓力等。其中自重以慣性力的形式施加，水壓力、泥沙壓力及揚(yáng)壓力以分布力的形式。力施加完后，就進(jìn)行求解和后處理。

2.5 結(jié)果分析

(1)壩體應(yīng)力分析

校核洪水情況時(shí)，模型σ1、σ3等值線如圖4—5所示。

圖4 校核洪水情況σ1等值線圖

圖5 校核洪水情況σ3等值線圖

壩趾處最大壓應(yīng)力為750.53kPa<6.7MPa,因此滿足材料強(qiáng)度要求。壩踵最大拉應(yīng)力雖為485.030kPa>0，但這是由于應(yīng)力集中造成的，可通過將該處網(wǎng)格細(xì)分或增加單元的結(jié)點(diǎn)來減小應(yīng)力的求解值。也可根據(jù)拉應(yīng)力范圍來進(jìn)行復(fù)核，根據(jù)規(guī)范壩體鉛直方向的應(yīng)力在計(jì)入揚(yáng)壓力時(shí)需滿足壩體上游面拉應(yīng)力區(qū)寬度易小于計(jì)算截面寬度的7%(鉛直拉應(yīng)力寬度/計(jì)算截面寬度)，經(jīng)計(jì)算，受拉區(qū)寬度與計(jì)算截面寬度的比值2.55%<7%，所以大壩應(yīng)力滿足強(qiáng)度要求。

(2)壩體變形分析

校核洪水情況時(shí)的變形及位移如圖6—9所示。

圖6 校核洪水情況位移等值線圖

圖7 校核洪水情況x方向位移分量等值線圖

經(jīng)過后處理可知，校核洪水情況，結(jié)點(diǎn)2128(即壩頂上游側(cè))向下游發(fā)生的位移最大為19.613mm；結(jié)點(diǎn)747(壩踵處)沉降量最大為20.33mm；結(jié)點(diǎn)2127(即壩頂下游側(cè))的總位移也最大，為27.0mm，壩體各處變形亦均在允許范圍(47820/650=73.70mm)之內(nèi)。

根據(jù)圖9中可知，由有限單元法分析的大壩變形與實(shí)際相符。自重使大壩整體下沉，但由于計(jì)算

圖10 壩基單元?jiǎng)澐?/p>

圖8 校核洪水情況y方向位移分量等值線圖

圖9 校核洪水情況變形對比圖

模型壩基上、下游所受水壓力不同，出現(xiàn)了上游壩基比下游壩基y負(fù)方向偏移量大，變形明顯。水平水壓力使壩體向下游偏移，壩踵處位移較小，壩頂處由于壩體的位移的疊加位移值最大。

(3) 壩基抗滑穩(wěn)定分析

通過有限元法計(jì)算，可以求解出壩體及壩基各個(gè)單元的應(yīng)力和剪力，本次通過LIST文件顯示出壩基各節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力和剪力。壩基上共分了40個(gè)節(jié)點(diǎn)，39個(gè)單元，如圖10所示。各節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力的剪力結(jié)果見表3。

根據(jù)公式(8)，計(jì)算得校核水洪水位時(shí)壩基的抗滑穩(wěn)定安全系數(shù)為5.45，大于SL319—2005要求的2.5，則壩基的抗滑穩(wěn)定滿足要求。

3 結(jié)論

(1)本文簡要介紹了有限元基本原理和步驟，并尋求了一種計(jì)算簡單、便于應(yīng)用的潛在滑動(dòng)面抗滑穩(wěn)定安全系數(shù)計(jì)算方法。

(2)根據(jù)計(jì)算結(jié)果可知，由于上游壩踵應(yīng)力集中出現(xiàn)了拉應(yīng)力，而用極限狀態(tài)設(shè)計(jì)法計(jì)算該斷面不出現(xiàn)拉應(yīng)力；根據(jù)變形云圖，可知有限單元法分析的大壩變形與實(shí)際相符；可通過LIST文件顯示出各潛在滑動(dòng)面的節(jié)點(diǎn)應(yīng)力和剪力，根據(jù)公式求出各層的抗滑穩(wěn)定系數(shù)。

(3)本文重點(diǎn)探討了有限元法在大壩應(yīng)力、變形及抗滑穩(wěn)定計(jì)算分析中的應(yīng)用，通過可視化軟件界面能更直觀的展現(xiàn)出壩體的應(yīng)力、變形云圖，是有效可行的一種設(shè)計(jì)方法，可彌補(bǔ)傳統(tǒng)剛體極限平衡法的不足。

表3 壩基單元節(jié)點(diǎn)應(yīng)力和剪力計(jì)算表