一種準確預測層合梁結構層間剪應力的新鋸齒理論

楊勝奇，張永存，劉書田

大連理工大學 工程力學系 工業(yè)裝備結構分析國家重點實驗室，大連 116024

層合結構是由不同材料屬性的薄片通過某種工藝(如粘接)復合而成?，F(xiàn)有的層合結構包括纖維增強復合材料[1-2]、三明治夾層結構[3-4]和鈦合金層合結構[5]等多種形式，具有參數(shù)可設計性強、性價比優(yōu)等特點，被廣泛應用于航空航天領域[6-7]。在層合結構中，通常不同材料之間連接界面的力學性能最為薄弱。過大的層間應力會導致層合結構損傷破壞，成為其失效的主要形式[8-9]。如纖維增強復合材料損傷失效有50%以上是分層引起的[10]。因此，準確預測層合結構的層間應力尤為重要。

層合梁是航空航天領域典型的承力構件，已經(jīng)發(fā)展了多種分析模型，用于計算其橫向剪應力，從而獲得層間應力?，F(xiàn)有的分析模型主要分為3類：等效單層理論[11-12]、分層理論[13-14]和鋸齒理論[15-18]。等效單層理論的計算效率較高，然而由于無法滿足層間剪應力連續(xù)條件，計算誤差較大。如Timoshenko梁理論預測的三明治夾層梁的橫向剪應力，計算誤差高達351%[18]。理論上，分層理論能夠準確預測復合材料層合結構的層間剪應力，但所需的計算量十分龐大。如300層的層合板，每個節(jié)點自由度數(shù)高達1 803個[19]。鋸齒理論是在整體高階理論的基礎上添加合適的局部鋸齒函數(shù)構造而成的。通常整體理論不超過三階，而鋸齒函數(shù)能夠描述面內位移沿厚度方向的鋸齒[20]變化。顯然，如果選擇合適的鋸齒函數(shù)，鋸齒理論只需較少的未知變量就能夠準確計算層合結構的橫向剪應力，從而很好地兼顧計算效率和計算精度，成為當前研究的主要方向。

鋸齒理論最早由Lekhnitskii[21]于1935年提出，提出后并未引起重視，直到1986年Murakami鋸齒理論[15]和Di Sciuva鋸齒理論[22]的提出，鋸齒理論才逐漸被認可。由于Di Sciuva鋸齒理論能夠預先滿足層間應力連續(xù)條件，得到快速發(fā)展。基于Di Sciuva鋸齒理論，Cho和Oh[23]提出了一種三階鋸齒模型，并將之用于預測承受力、熱和電載荷的復合材料厚板的變形和應力。早期的鋸齒理論[15-17,22-23]僅適用于預測層數(shù)較少的層合梁和材料屬性差異不大的三明治夾層梁的橫向剪應力。2015年，Tessler等[18]基于經(jīng)典的修正鋸齒理論(RZT)，提出了一種混合修正鋸齒理論(RZTM)[24-25]。賀丹和楊萬里[26]應用該理論分析了層合梁的彎曲和自由振動問題。該理論能夠準確計算出材料屬性差異較大的夾層梁的橫向剪應力。然而對于層數(shù)較多的層合梁，預測精度較差。常見的T300/QY8911復合材料的單層厚度為0.12 mm[27]，在實際的航空結構中，超過25層的纖維增強復合材料(即厚度超過3 mm)十分常見，如機翼蒙皮[28]。因此，發(fā)展能夠準確預測較多層數(shù)的層合結構橫向剪應力的鋸齒理論是非常必要的?；谡w高階鋸齒理論[29]，Wu和Chen[30]提出了一種混合整體高階鋸齒理論(GHZTM)，能夠準確預測大多數(shù)的多層厚梁的橫向剪應力，然而個別多層梁橫向剪應力預測精度稍差(如3層層合梁[30])。另外，該理論的撓度場要求滿足C1連續(xù)，為C1型鋸齒理論，不利于梁單元的構造。早期的鋸齒理論大都是C1型鋸齒理論。2011年，Ren等[31]提出了一種C0型鋸齒理論的構造方法，并提出了一種C0板單元。由于C0型鋸齒理論具有計算效率高，容易在商業(yè)軟件實現(xiàn)等優(yōu)點，而得到快速發(fā)展。隨后，許多C0型鋸齒理論[32-34]和C0單元[35-38]被提出。Wu等[39]比較了大量的C0和C1型鋸齒理論模型，發(fā)現(xiàn)相比于C1型鋸齒理論C0型鋸齒理論不僅有更高的計算效率還具有更高的計算精度。

本文提出了一個新的線性分段鋸齒函數(shù)，采用Ren等[31]提出的C0型鋸齒理論構造方法，建立了一種面向層合梁結構的C0型新鋸齒理論模型。該模型不僅能夠準確預測層數(shù)較多的纖維增強復合材料層合梁的橫向剪應力，同時能夠準確預測芯層與上下面板材料屬性差異較大的三明治夾層梁的橫向剪應力。

1 鋸齒理論描述

鋸齒層合梁理論的位移場可統(tǒng)一表示為

(1)

式中：z為厚度坐標；k表示第k層；u0和w0為中面位移；u1為中面法線方向繞y軸的轉角,ui為泰勒級數(shù)展開的高階項；j表示整體部分的階次，如j=1表示整體一階，j=3表示整體三階；uz(x)為鋸齒函數(shù)。

MZZT鋸齒理論[15]的鋸齒函數(shù)可寫為

uz(x,z)=(-1)kζkψ(x)

(2)

式中：ζk為每層z方向的局部坐標，ζk=akz-bk,ζk∈(-1,1)，ak=2/(zk+1-zk)，bk=(zk+1+zk)/(zk+1-zk)；ψ(x)為鋸齒轉角，度量鋸齒函數(shù)對沿厚度分布的軸向位移的影響程度。對于任意x=xa，MZZT鋸齒函數(shù)沿厚度的變化如圖1所示[15]。從圖1和式(2)可知，MZZT鋸齒函數(shù)在層和層交界面處的值，只能從-ψ(xa)和ψ(xa)中選取。此外，該鋸齒函數(shù)不依賴于每層材料的性質，無法描述每層材料屬性的變化，導致該理論無法準確預測橫向各向異性的層合梁的變形和應力[40]。尤其對于面板軟夾層硬的夾層結構，其預測精度較差[41]。

圖1 MZZT鋸齒函數(shù)[15](三層梁)Fig.1 MZZT zig-zag function[15](for a three-layer beam)

RZT鋸齒理論[18]的鋸齒函數(shù)可寫為

(3)

圖2 不同梁截面處RZT鋸齒函數(shù)[18](3層梁)Fig.2 RZT zig-zag function at different beam sections[18](for a three-layer beam)

2 新鋸齒理論模型

2.1 新鋸齒函數(shù)

新鋸齒函數(shù)為

(4)

2.2 位移場

位移場的整體部分仍取三階，因此，構造的初始位移場為

(5)

式(5)中共含有n+6(n為層數(shù))個未知變量，并且未知量個數(shù)與層數(shù)相關。下面推導的目的是消去部分未知量，得到最終位移場。

其次，使用橫向剪應力層間連續(xù)條件

(6)

和橫向剪應力自由表面條件

(7)

Ku=Au1+Bu3

(8)

u=K-1Au1+K-1Bu3

(9)

式(9)可重寫為

u=C1u1+C3u3

(10)

式中：C1=K-1A，C3=K-1B。

將式(10)代入式(5)中，高階鋸齒理論最終位移場可寫為

(11)

當k=1時：

當k=2～n-1時：

當k=n時：

該理論僅含有4個與層數(shù)無關的未知量。不含有橫向位移的一階導數(shù)，構造有限單元時，僅需滿足C0連續(xù)。

2.3 幾何方程和本構方程

對于線彈性問題，層合梁的幾何方程為

(12)

第k層層合梁的本構方程為

(13)

2.4 橫向剪應力的預處理

為了獲得更為精確的橫向剪應力，Tessler[24]提出了一種通過局部平衡方程獲得橫向剪應力的方法。忽略體力，第k層局部平衡方程可表示為

(14)

將式(14)沿z向積分，并強迫橫向剪應力滿足層間連續(xù)條件。橫向剪應力可重寫為

(15)

式中：Tb為下表面的橫向剪應力。

將式(13)代入式(15)中，可得

(16)

當z=zn+1時，有

Tt(x)=-Tb(x)-CUx

(17)

式中：Tt為上表面的橫向剪應力；

由橫向剪應力自由表面條件Tt=Tb=0，消去面內位移的二階導可得

(18)

將式(18)代入式(16)中，可得橫向剪應力表達式為

(19)

式中：

2.5 Reissner混合變分原理和平衡方程

Reissner混合變分原理假定位移和橫向剪應力和橫向法應力是相互獨立。Reissner混合變分原理可以看作Hellinger-Reissner變分原理[42]的特例，可由Hellinger-Reissner變分原理退化得到。Hellinger-Reissner變分原理的總勢能函數(shù)可表示為

(20)

應用拉格朗日乘子法修正式(20)可得

(21)

根據(jù)Reissner的假定，應變和應力滿足本構關系

(22)

式中：Wc(σij)為應變余能密度。

將式(22)代入式(21)中，可得Reissner混合變分原理的總勢能函數(shù)

ΠR(ui,σij)=

(23)

根據(jù)式(22)，橫向切應變和橫向正應變可以寫成式(24)的形式[43]

(24)

式中：α=x,y；上標a表示由應變余能密度得到的橫向應變。

將式(24)代入式(23)，并對式(23)進行變分可得

(25)

對于層合梁，忽略正應力，Reissner混合變分原理可寫為

δWe=0

(26)

(27)

其中：L為梁的長度；q為橫向載荷；Tx0和Tz0分別為梁左端的軸向載荷和剪切載荷；TxL和TzL分別為梁右端的軸向載荷和剪切載荷。

式(26)可以寫成

(28)

(29)

將式(12)和式(19)代入式(29)中可得

(30)

將式(30)代入式(19)，可得最終的橫向剪應力的表達式

(31)

將式(12)、式(13)和式(31)代入式(28)中，分部積分可得平衡方程

(32)

和在x=0和x=L處的邊界條件：

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

3 算 例

為了測試所提出的新鋸齒理論(NZT)的計算精度和穩(wěn)健性，以層數(shù)較多的纖維增強復合材料層合梁和面板，芯層材料屬性差異較大的三明治夾層梁以及出現(xiàn)分層的非對稱夾層梁為研究對象，考慮靜力彎曲特性，給出了上表面承受正弦載荷的簡支梁和自由端承受集中載荷的懸臂梁的解析解。計算結果與現(xiàn)有多種理論的計算結果進行了對比。具體包括Pagano[44]提出的精確三維彈性解(Exact)，Tahani[45]給出的分層理論解(BLWT)，Tessler等[46]給出的高精度有限元的解(2D-FEM)和混合修正鋸齒理論解(RZTM)[24]，Wu和Chen[30]提出的混合整體高階鋸齒理論解(GHZTM)，Ren等[31]提出的C0型鋸齒理論解(ZZTC-C0)，Han等[47]提出的C0型高階鋸齒理論解(EHOZT)，Oate等[48]給出的二維有限元解(PS)和基于修正鋸齒理論提出的兩節(jié)點梁單元的解，基于經(jīng)典鋸齒理論(ZZT)[49]和混合變分原理提出的混合鋸齒理論解(ZZTM)、Reddy梁理論解(Reddy)、一階剪切變形理論解(FSDT)以及基于FSDT和混合變分原理提出的混合一階剪切變形理論解(FSDTM)。

具體的材料參數(shù)如下：

1) 層合梁材料力學特性[50]

E1=25 GPa,E2=E3=1 GPa,G23=0.5 GPa,G12=G13=0.2 GPa,ν12=ν13=ν23=0.25。

2) 夾層梁材料力學特性[46]

下表層：E=73 GPa,G=29.2 GPa；夾芯層：E=0.073 GPa,G=0.029 2 GPa；上表層：E=21.9 GPa,G=8.76 GPa。

3.1 層數(shù)較多的簡支梁

該算例是承受正弦載荷的簡支梁，如圖4所示。層合梁每層的厚度和材料性質相同(材料1)。

圖4 簡支梁示意圖Fig.4 Schematic of simply supported beam

簡支梁的邊界條件如下：

x=0,L，w=Nx=MΦ1=MΦ2=0

(38)

滿足全部邊界條件的位移函數(shù)可設為

w0(x)=w00sin(πx/L),

(u0(x),u1(x),u3(x))=

(u00,u10,u30)cos(πx/L)

(39)

位移和應力的無量綱化為

式中：h為梁的厚度。

圖5 3層梁沿厚度分布的位移和應力對比(L/h=4)Fig.5 Comparison of displacement and stress through thickness of 3-ply beam (L/h=4)

圖6 25層梁沿厚度分布的應力對比(L/h=4)Fig.6 Comparison of stress through thickness of 25-ply beam (L/h=4)

圖7 4層梁沿厚度分布的橫向剪應力對比 (L/h=4)Fig.7 Comparison of transverse shear stress through thickness of 4-ply beam (L/h=4)

圖8 8層梁沿厚度分布的橫向剪應力對比 (L/h=4)Fig.8 Comparison of transverse shear stress through thickness of 8-ply beam (L/h=4)

圖9 50層梁沿厚度分布的橫向剪應力對比(L/h=4)Fig.9 Comparison of transverse shear stress through thickness of 50-ply beam (L/h=4)

圖10 100層梁沿厚度分布的橫向剪應力對比(L/h=4)Fig.10 Comparison of transverse shear stress through thickness of 100-ply beam (L/h=4)

表1 不同梁理論的最大撓度及其相對誤差Table 1 Maximum deflection and its relative error of different beam theories

表2 簡支梁左端最大橫向剪應力及其相對誤差Table 2 Maximum transverse shear stress and its relative error at left end of simply supported beam

從表1和表2可以看出,本文提出的NZT的計算結果和三維彈性解(Exact)吻合較好，對4種層合梁，撓度和橫向剪應力誤差都不超過1%。而一階剪切變形理論(FSDT)預測撓度誤差較大，最大達到27.7%，Reddy梁理論預測橫向剪應力的誤差較大，最大誤差超過50%。RZTM的計算精度會隨著層數(shù)的增加而降低，當層數(shù)由3層增加到25層，RZTM的橫向剪應力的誤差從1.7%增大到9.5%。當層數(shù)超過50層時，GHZTM預測橫向剪應力的精度降低。當層數(shù)較少時，ZZTC-C0計算橫向剪應力誤差較大，超過20%。然而，隨著層數(shù)的增加，ZZTC-C0預測橫向剪應力的精度逐漸提高。總結表1和表2分析可得如下結論：相比于FSDT、Reddy和RZTM，提出的NZT的變形和應力的計算精度都有大幅度提升。當層數(shù)少時，提出的NZT預測橫向剪應力的精度高于ZZTC-C0，當層數(shù)較多時，提出的NZT預測橫向剪應力的精度高于GHZTM，NZT和EHOZT具有相當?shù)挠嬎憔龋憩F(xiàn)出較好的穩(wěn)健性。

綜上，本文提出的NZT能夠準確地預測對稱鋪設多層厚梁和層數(shù)較多的反對稱鋪設多層厚梁的撓度和應力。對于層數(shù)較少的反對稱鋪設層合厚梁橫向剪應力，NZT具有一定的誤差，但誤差隨著層數(shù)的增加，逐漸減小。

3.2 面板和芯層材料屬性差異較大的三明治懸臂夾層梁

準確地預測面板和芯層材料屬性差異較大的夾層梁的變形和應力十分困難，Tessler提出的RZTM很好地解決了該難題。本文提出的新鋸齒理論模型不僅能夠準確地預測層數(shù)較多的復合材料層合梁的變形和應力，對該類結構也具有較好的預測精度。這里以3層軟核夾層懸臂梁為例，每層厚度為(0.1h/0.8h/0.1h)，夾層梁每層具有不同的材料性質(材料2)。懸臂梁在自由端承受橫向載荷F，如圖11所示。

邊界條件為

x=0,u0=u1=u3=w0=0

x=L,Nx=MΦ1=MΦ2=0,VΦ1=F

(40)

滿足全部邊界條件的位移函數(shù)[32]可設為

圖11 懸臂梁示意圖Fig.11 Schematic of a cantilevered beam

u3(x)=a1cosh(Rx)+a2sinh(Rx)+a3

w0(x)=

(41)

式中：

其中:C2/C1<0，如果C2/C1>0，則式(41)中的雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)分別改為正弦函數(shù)和余弦函數(shù)即可。

位移和應力的無量綱化為

圖12和圖13分別給出了應力沿厚度方向分布圖和中面撓度沿軸向分布圖。從圖12和圖13可以看出，一階剪切變形理論(FSDT)嚴重低估了最大撓度和最大軸向應力，撓度最大誤差可達到82%，軸向應力最大誤差可達到76.5%。受FSDT直法線假定的限制，即使使用混合變分原理進行修正，混合一階剪切變形理論(FSDTM)同樣具有較大的誤差。圖12(b)中的2D-FEM解是使用Abaqus軟件計算得到，梁模型使用20萬(1 000(長)×200(高))個4節(jié)點，平面應力，完整積分，CPS4單元進行離散。結果顯示本文提出的NZT與2D-FEM解吻合較好，具有較高的精度。

圖12 沿懸臂梁厚度分布的應力對比(L/h=5)Fig.12 Comparison of stress through thickness of a cantilevered beam (L/h=5)

圖13 沿懸臂梁跨度分布的撓度對比(L/h=5)Fig.13 Comparison of deflection along cantilevered beam span (L/h=5)

3.3 考慮分層的非對稱懸臂層合梁

圖14 分層的梁截面示意圖Fig.14 Diagram of beam section for delamination

表3 材料力學特性
Table 3 Mechanical properties of materials

參數(shù)復合材料第1層第2層第3層第4層h/mm2160.012E/MPa7.30×1050.0073×1052.19×1052.19×105G/MPa2.92×1050.0029×1058.76×10-60.876×105

表4 在x=L處的撓度Table 4 Deflection at x=L

圖15 發(fā)生分層的懸臂梁軸向位移對比(L/h=5)Fig.15 Comparison of axial displacement for a delamination cantilevered beam (L/h=5)

圖16 發(fā)生分層的懸臂梁橫向剪應力對比 (L/h=5)Fig.16 Comparison of transverse shear stress for a delamination cantilevered beam (L/h=5)

4 結 論

本文通過構造一個新的線性分段鋸齒函數(shù)，提出了一種能夠準確預測層合梁結構橫向剪應力的新鋸齒理論模型(NZT)。為了驗證該理論模型精度，計算了層數(shù)較多的簡支梁、材料屬性差異較大的三明治懸臂梁以及發(fā)生分層的非對稱懸臂梁的位移和應力?？傻玫饺缦陆Y論：

1) 新鋸齒函數(shù)具備描述每層材料變化和不同橫截面處變化規(guī)律不同的能力，使得NZT能夠準確預測橫向各向異性的多層梁的變形和應力。

2) NZT位移場中僅含有4個與層數(shù)無關的未知量，不含有橫向位移的一階導數(shù)，構造梁單元時，僅需使用C0插值形函數(shù)。

3) NZT能夠預先滿足橫向剪應力層間連續(xù)，無需后處理就能夠準確預測層合梁的層間應力。

4) 算例結果顯示：NZT能夠準確預測層數(shù)較多的層合梁和材料屬性差異較大的三明治夾層梁的變形和應力，能夠準確預測層合梁的分層。