數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

摘要：數(shù)學(xué)是研究“數(shù)”與“形”的學(xué)科，而數(shù)形結(jié)合思想作為數(shù)學(xué)學(xué)科的一種基本思想，對(duì)數(shù)學(xué)解題有著很大的積極作用。文章從數(shù)形結(jié)合解題的實(shí)例出發(fā)，體會(huì)數(shù)形結(jié)合對(duì)解題的簡(jiǎn)便作用。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合;高中生;解題

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的一門科學(xué)，“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)學(xué)科的主要研究對(duì)象，“數(shù)”具有抽象與形式化的特點(diǎn)，而“形”具有具體而形象化的特點(diǎn)[1]，利用數(shù)學(xué)結(jié)合思想，把數(shù)與形之間相互轉(zhuǎn)化，能夠使抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于高中學(xué)生把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)[2]。

一、數(shù)形結(jié)合的概念及解決問(wèn)題的對(duì)象

數(shù)形結(jié)合，是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種思想，它主要有“以形助數(shù)”、“以數(shù)解形”兩種形式。著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生就曾以“數(shù)缺形時(shí)少直覺，形缺數(shù)時(shí)難入微”來(lái)描述這一思想的重要性。

初中數(shù)學(xué)中數(shù)軸這一知識(shí)點(diǎn)使學(xué)生首次體會(huì)數(shù)形結(jié)合，而在高中數(shù)學(xué)中，這一方法使用更加普遍：在集合中，韋恩圖是數(shù)形結(jié)合的體現(xiàn)，它能夠更清晰地表示各個(gè)集合之間并、交、補(bǔ)的關(guān)系;在函數(shù)中，定義域、值域、函數(shù)的性質(zhì)都可以借助數(shù)形結(jié)合來(lái)分析;在方程與不等式中，方程的根與函數(shù)圖像的零點(diǎn)有著對(duì)應(yīng)關(guān)系，線性規(guī)劃問(wèn)題也是數(shù)形結(jié)合的體現(xiàn);在立體幾何中，借助數(shù)形結(jié)合學(xué)生可以更直觀地分析點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系，領(lǐng)悟相交、垂直、異面、線面平行、線面相交、二面角等知識(shí)點(diǎn)[3];在圓錐曲線中，圓、橢圓、拋物線、雙曲線等是重點(diǎn)內(nèi)容，在高考中占有較大比重，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，可將幾何性質(zhì)與代數(shù)研究牢牢結(jié)合，有助于學(xué)生厘清知識(shí)脈絡(luò)。

二、數(shù)形結(jié)合的具體應(yīng)用

在解題過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用非常廣泛，并且這一思想的應(yīng)用，使解題更加簡(jiǎn)潔、直觀。

1.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，使問(wèn)題由繁到簡(jiǎn)

例1關(guān)于x的方程||x-2|-1|=a有三個(gè)整數(shù)解，求a的值。

分析：要想解這個(gè)方程，學(xué)生很容易想到去兩次絕對(duì)值，①若

|x-2|-1=a，當(dāng)x≥2時(shí)，x-2-1=a，當(dāng)x<2時(shí)，2-x-1=a;②|x-2|-1=-a，

當(dāng)x≥2時(shí)，x-2-1=a，當(dāng)x<2時(shí)，2-x-1=a，分別對(duì)這兩種情況進(jìn)行解不等式，最后結(jié)合a的取值范圍求出a=1，但這種方法情況較多，解起來(lái)較為繁瑣，并且容易忽略a的取值范圍和絕對(duì)值的非負(fù)性得到錯(cuò)誤的結(jié)果。對(duì)于這個(gè)方程，用數(shù)形結(jié)合的思想，畫出它的函數(shù)圖像如圖1，把方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn)的問(wèn)題，很容易可以判斷只有當(dāng)a=1時(shí)，此方程有三個(gè)整數(shù)解。

2.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，使問(wèn)題由繁瑣到具體

例2求y=的值域。

分析：由此題的形式想到兩點(diǎn)之間的斜率，問(wèn)題可以看成點(diǎn)A（2，1）和動(dòng)點(diǎn)B（cosx，sinx）連線的斜率，又由于動(dòng)點(diǎn)B的軌跡是單位圓，此題就轉(zhuǎn)化成求過(guò)定點(diǎn)A與過(guò)點(diǎn)B的直線L：y=k（x-1）+2斜率的范圍，如圖2，當(dāng)直線與單位圓相切時(shí)取最值。本題利用數(shù)形結(jié)合，拋開繁瑣的計(jì)算，使問(wèn)題變得具體化。

三、應(yīng)用數(shù)形結(jié)合解題的注意事項(xiàng)

1.等價(jià)轉(zhuǎn)換

在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合時(shí)，數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)換是關(guān)鍵一步。對(duì)于式子較為繁瑣、不易找出變量之間關(guān)系的題目，要轉(zhuǎn)換思考角度，把它轉(zhuǎn)化為直觀的圖形;而對(duì)于圖形，為了分析它所表達(dá)出來(lái)的特性，要用數(shù)字表示關(guān)系，使解題思路更加具體。但是在轉(zhuǎn)換過(guò)程中，要始終遵循等價(jià)原則，使轉(zhuǎn)化前后的條件一致，如在三角函數(shù)中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合要注意不能改變函數(shù)的定義域、值域。

2.精準(zhǔn)作圖

數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用始終與圖形相關(guān)，能準(zhǔn)確地畫出所需圖像是正確做出題目的基礎(chǔ)。但若作圖不規(guī)范，很可能導(dǎo)致解題錯(cuò)誤，如常見的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，會(huì)因圖像的不規(guī)范性使最后結(jié)果與正確答案出現(xiàn)偏差，這就需要在作圖的時(shí)候盡量精確，并且運(yùn)用代數(shù)的精確性來(lái)驗(yàn)證。此外，對(duì)于圖形的平移、伸縮變換也應(yīng)牢固掌握。

3.靈活運(yùn)用

數(shù)形結(jié)合只是數(shù)學(xué)思想中的一種思想方法，并不適用所有題目，所以，在解題過(guò)程中，要善于總結(jié)思考哪些類型的題目適合此種方法，而適合此種方法的習(xí)題應(yīng)該如何應(yīng)用，有效提高解題效率。

四、結(jié)語(yǔ)

數(shù)形結(jié)合思想作為高中學(xué)生必備的基本思想之一，遠(yuǎn)比數(shù)學(xué)知識(shí)重要得多，它為高中生解題提供有效思路，較為簡(jiǎn)潔與直觀，不僅保留了數(shù)字的具體性，又有圖形的直觀性[4]，能夠有效提高學(xué)生做題效率，增加學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生思維能力。所以教師與學(xué)生要充分重視、靈活使用這一思想，讓它成為高中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的金鑰匙。

參考文獻(xiàn)：

[1]李晶，孫雪梅，李德安.一題之探——以數(shù)形結(jié)合思想為例[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2019，58（04）：60-63.

[2]劉華.數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2019（09）：150+152.

[3]沈申文.數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)與解題中的有效運(yùn)用[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2019（09）：76-77.

[4]張登科.淺談數(shù)形結(jié)合方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].課程教育研究，2019（20）：118-119.

作者簡(jiǎn)介：張暢暢（1993-）女，漢族，河南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院2018級(jí)碩士研究生，專業(yè)：學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）。