函數(shù)及導數(shù)應用易錯題歸類剖析

楊濤

“函數(shù)與導數(shù)”是高中數(shù)學中的重點和難點知識，在歷年高考中都占據著重要的地位，而且這部分知識既有難度較大的填空題，還有計算煩瑣的解答題。又因為“函數(shù)”貫穿高中數(shù)學的始終，因此，學好這部分知識對同學們來說，顯然是非常必要的。鑒于這部分知識有很多易錯點，筆者根據自己的教學實踐，對這部分知識的易錯點總結剖析如下，供同學們參考。

易錯點一：概念的理解不到位

在“函數(shù)”的學習中，經常會遇到一些條件相似，但在本質及解題方法上卻存在很大差異的問題。若能及時對它們進行對比、區(qū)別，則可擺脫知識的“負遷移”，走出思維的誤區(qū)，提高解題的準確率，同時對同學們加深對概念的理解、題意的挖掘、審題能力的培養(yǎng)等方面都大有益處。

1.定義域與值域。

易錯點三：“導數(shù)值的符號”與“函數(shù)單調性”

設函數(shù)f（x）在某個區(qū)間內可導，若在此區(qū)間f‘（）>0恒成立，則f（x）在此區(qū)間內單調遞增;若在此區(qū)間地f（）<0恒成立，則f（）在此區(qū)間內單調遞減。利用導數(shù)解決函數(shù)的單調性問題時，除了掌握以上依據，還應明確以下幾點（以增函數(shù)為例來說明）：

（1）f'（z）>0是可導函數(shù)f（z）在定義域內單調遞增的充分不必要條件。例如，函數(shù)f（x） =x2在區(qū)間（ 一∞，+ ∞）上單調遞增，但f'（x）≥0。

（2）f'（x）≥0是可導函數(shù)f （x）在定義域內單調遞增的必要不充分條件。若廠（z）為增函數(shù)，則一定有f'（x）≥0，但反之不一定成立。因為f'（x）≥0為f'（x）>0或

一個可導函數(shù)在某點處的導數(shù)為0是在該點取極值的必要不充分條件，即可導函數(shù)在某處取得極值，則函數(shù)在此處的導數(shù)值必等于0;反之，若在某處的導數(shù)值為0，則函數(shù)在該處不一定取得極值，還需進一步檢驗f'（x）在f'（x）=0處的根的左有兩邊的導數(shù)值的符號是否異號。

易錯點四：“極值點”等同于“導數(shù)的零點”

對于滿足f'（x0）=0的點z。稱之為導數(shù)的零點，f（z）可導時f'（x）=0的點只是f（x）的極值點的必要不充分條件，所以把“極值點”等同于“導數(shù)的零點”容易出現(xiàn)錯誤。

總之，同學們出現(xiàn)這些錯誤，一方面，是由于概念本身的抽象性，對基礎知識掌握不全面或對題意理解不準確等導致的;另一方面，是因為教材對導數(shù)研究函數(shù)性質要求不全面、不太高，且教材選擇的案例又太常規(guī)、太特殊，而平時遇到的函數(shù)豐富多樣，所以同學們會出現(xiàn)認知盲點，出現(xiàn)錯誤。在平時的學習中，我們應該正視錯誤，剖析錯誤，澄清錯誤，對比分析，從而加深對概念本質的理解，消除疑惑，化解盲點，從而真正提高自己解決“函數(shù)與導數(shù)”問題的能力。

（責任編輯 王福華）