基于熱傳遞數(shù)學(xué)模型的高溫作業(yè)服織物厚度設(shè)計(jì)

王佩佩，王 帥，歐昕鑫，周 鑫，許 璐

（江漢大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430056）

在石油、冶金、化工、建筑、消防等特殊行業(yè)中，工作人員在高溫環(huán)境下工作時經(jīng)常需要穿著專用的高溫作業(yè)專用防護(hù)服以避免灼傷。高溫作業(yè)專用服裝通常由三層織物材料構(gòu)成（圖1），分別記作Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ層，其中第Ⅰ層與外界環(huán)境接觸，稱為阻燃層；第Ⅱ?qū)訛榉浪畬?；第Ⅲ層為防熱層；第Ⅲ層與假人皮膚之間存在的空隙稱為空氣層，記為第Ⅳ層。三層紡織材料相較于單層和雙層紡織材料而言，隔熱效果和防護(hù)性更強(qiáng)，因此應(yīng)用量也日益增長。

目前，三層紡織材料的相關(guān)研究是將體內(nèi)溫度控制在37 ℃的假人裝置放在實(shí)驗(yàn)室的高溫環(huán)境下，通過測量假人皮膚外側(cè)的溫度來預(yù)測隨時間變化的各層織物、皮膚以及空氣層的溫度分布，進(jìn)而探討熱傳遞的物理現(xiàn)象，設(shè)計(jì)出高性能的高溫作業(yè)專用服裝［1-2］。

圖1 高溫作業(yè)服結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure chart of high temperature working clothes

本文擬建立三層紡織物-空氣層-假人皮膚層這一熱傳遞模型，根據(jù)文獻(xiàn)［3］提供的各層織物的參數(shù)推導(dǎo)出熱傳導(dǎo)方程，通過分析MATLAB 求解結(jié)果計(jì)算假人皮膚外側(cè)的溫度分布，確定了三層織物中的第Ⅱ?qū)臃浪畬雍偷冖艨諝鈱拥淖顑?yōu)厚度，為高溫作業(yè)服的設(shè)計(jì)提供技術(shù)參考。

1 問題提出

根據(jù)文獻(xiàn)［3］提供的原始數(shù)據(jù)，在不同的假設(shè)條件下，分別解決以下3 個問題。

問題一:假設(shè)在環(huán)境溫度為75 ℃、高溫作業(yè)服第II 層厚度為6 mm、第IV 層厚度為5 mm、工作時間為90 min 的約束條件下，計(jì)算假人皮膚外側(cè)的溫度分布，并生成溫度分布圖。

問題二:假設(shè)在環(huán)境溫度為65 ℃、高溫作業(yè)服IV 層厚度為5.5 mm 時，確保工作時間60 min，假人皮膚外側(cè)溫度在44 ～47 ℃之間的工作時長不超過5 min 的約束條件下，確定第II 層的最優(yōu)厚度。

問題三:假設(shè)在環(huán)境溫度為80 ℃時，確保工作時間為30 min 時，假人皮膚外側(cè)溫度在44 ～47 ℃之間的工作時長不超過5 min 的約束條件下，確定高溫作業(yè)服第IV 層的最優(yōu)厚度。

2 基于三層織物最優(yōu)厚度的熱傳遞模型

2.1 模型假設(shè)

本文擬建立熱傳遞數(shù)學(xué)模型來解決以上3 個問題。在建立模型之前，先提出模型成立的假設(shè)條件:熱傳遞沿垂直于假人外側(cè)皮膚方向進(jìn)行一維傳導(dǎo)；熱傳遞過程中各層織物的結(jié)構(gòu)幾乎不發(fā)生變化；該系統(tǒng)僅考慮熱傳遞，忽略織物內(nèi)部產(chǎn)生的水汽等；高溫作業(yè)服不會隨著溫度的改變而變形?；谝陨霞僭O(shè)條件成立，本文建立以下模型。

2.2 模型建立

根據(jù)熱量守恒定律和傅里葉熱傳導(dǎo)實(shí)驗(yàn)定律［4-5］推導(dǎo)出熱傳導(dǎo)方程為

式中，u為溫度，℃；t為時間，s；x,y,z為3個方向的熱量擴(kuò)散距離，mm；a2為熱傳導(dǎo)系數(shù)；k為熱傳導(dǎo)率，W/（m·℃）；c為比熱，J/（kg·℃）；ρ為密度，kg/m3。

由式（1）推導(dǎo)出各層的熱傳導(dǎo)方程為

此時模型已轉(zhuǎn)化為關(guān)于時間和距離的偏微分方程，確定一個具體的熱傳導(dǎo)過程還需要進(jìn)一步確定各層之間的初始條件和邊界條件，初始條件為

邊界條件為

式中，l為材料的厚度，mm；x為熱量水平傳遞距離，mm；n為相隔材料層數(shù)。

綜上得出基于三層織物最優(yōu)厚度的熱傳遞模型，即偏微分方程為

2.3 有限差分法求解熱傳遞模型的偏微分方程

有限差分法的基本思想:根據(jù)時間步長和空間步長將時間和空間區(qū)域分成若干網(wǎng)格，利用未知函數(shù)在網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的值所構(gòu)成的差分近似代替所用偏微分方程中出現(xiàn)的各階導(dǎo)數(shù)，從而將求解偏微分方程的問題轉(zhuǎn)換成求解代數(shù)方程的問題［6］。本文主要通過以下步驟求解熱傳遞模型的偏微分方程。

分別將高溫作業(yè)服Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ層中的x，t取值范圍進(jìn)行分割，將求解區(qū)域離散化［7］后細(xì)分成由有限個節(jié)點(diǎn)組成的網(wǎng)格，即為

采用有限差分法近似代替每個節(jié)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，則式（2）可推導(dǎo)成差分遞推公式，即

由此，式（2）的一維熱傳導(dǎo)方程可以近似為

將偏微分方程式（7）寫成差分公式［8］的形式，即為

式中，i=0,1,2,…,N-1,j=0,1,2,…,N-1;h=1,2,3,4。

由于每層織物邊界的熱傳導(dǎo)率處于平衡，且溫度相等，則可一層一層地進(jìn)行迭代計(jì)算。為計(jì)算簡便，本文依據(jù)徐定華等［9］提出的有限差分的思想編寫遍歷搜索算法的代碼，利用MATLAB軟件進(jìn)行求解。算法遍歷的步驟為:

1）選取T組數(shù)據(jù)；

2）確定時間步長和空間步長；

3）代入第i層的參數(shù)和熱傳導(dǎo)系數(shù)并求出系數(shù)矩陣A；

4）代入初值條件和邊界條件以及約束條件進(jìn)行迭代，迭代次數(shù)為i=j+1；

5）最終迭代檢驗(yàn)得出一組最優(yōu)解。

部分關(guān)鍵代碼如下:

clear

T=1800；%時間秒

l1=0.6*0.001；%厚度米

NT=4000；tao=T/（NT-1）；%時間步長

N1=40；h1=l1/（N1）；%空間步長

a1=0.082/（300*1377）；%第i層的系數(shù)

k1=0.082；%第i層的熱傳導(dǎo)系數(shù)

r1=a1*tao/（h1^2）；

A=zeros（N1+N2+N3+N4，N1+N2+N3+N4）；

A=A1+A2+A3+A4；%求出系數(shù)矩陣

for i=1：N1+N2+N3+N4；%x=i*h1；

u（i，1）=37；%初值條件

u0=75；%邊界條件

for j=1：NT-1；%寫常量列向量

y=inv（A）*b；

u（：，j+1）=y；

由于文中計(jì)算所得到的差分方程的解為近似解，只有在差分方程收斂于微分方程時，差分方程的解才會是解析解，所以需對差分方程的收斂性作說明。文獻(xiàn)［1］認(rèn)為單層模型是收斂的，雙層模型的收斂性可以類似單層來處理，也可以推廣到多層結(jié)構(gòu)模型。基于此，本文的三層結(jié)構(gòu)高溫作業(yè)服模型也做類似地處理。

3 模型求解與結(jié)果分析

3.1 問題一求解

在問題一的假設(shè)約束條件下，又已知高溫作業(yè)服第Ⅰ層織物的厚度為0.6 mm，第Ⅲ層織物厚度為3.6 mm，且假人皮膚內(nèi)測的溫度維持在37 ℃不變。根據(jù)文獻(xiàn)［3］的數(shù)據(jù)可知假人外側(cè)皮膚溫度在1 645 s 時上升到48 ℃之后保持不變。

為了更直觀地顯示假人外側(cè)皮膚溫度的變化，通過運(yùn)行代碼利用MATLAB 數(shù)學(xué)軟件制作假人外側(cè)皮膚熱量分布的三維立體圖如圖2所示。

由圖2可知，當(dāng)高溫防護(hù)服的第Ⅱ、Ⅳ層都達(dá)到最優(yōu)厚度時，在溫度-時間平面內(nèi)，隨著時間的延長溫度先上升后趨于平穩(wěn)，在溫度-位置平面內(nèi)，溫度隨著防護(hù)服位置由外向里呈現(xiàn)出下降趨勢，這與溫度會發(fā)生擴(kuò)散這一生活規(guī)律相符，說明基于最優(yōu)厚度下制作的服裝隔熱性能會非常好，一定程度上也說明了基于工作服的最優(yōu)厚度建立數(shù)學(xué)模型具有合理性。于是本文從高溫作業(yè)服工作時的舒適性和安全性出發(fā)，以服裝的第Ⅱ和第Ⅳ層的厚度最小值為目標(biāo)函數(shù)，結(jié)合假設(shè)條件建立模型，確定第Ⅱ和第Ⅳ層的最優(yōu)厚度，確保高溫作業(yè)服在特定條件下的隔熱性能能夠達(dá)到要求。

圖2 防護(hù)服熱量分布圖Fig.2 Thermal distribution on protective clothes

3.2 問題二求解

在問題二假設(shè)的約束條件下，模型初始條件為:u（x，0）=37，u（0，0）=65；邊界條件為:u（0，t）=65。通過熱傳遞模型的偏微分方程，在外界溫度環(huán)境為65 ℃，第IV 層厚度為5.5 mm，工作時間為60 min時，通過運(yùn)行MATLAB 程序可生成關(guān)于第Ⅱ?qū)涌椢锖穸鹊? 000 個數(shù)據(jù)。根據(jù)文獻(xiàn)［1］中表1可知高溫作業(yè)服的參數(shù)一般需要滿足一定的標(biāo)準(zhǔn)。第Ⅱ?qū)臃浪畬拥谋葻崛莺蜔醾鲗?dǎo)率較大，散熱能力比較強(qiáng)，由于第Ⅱ?qū)臃浪畬泳o挨著第Ⅲ層防熱層的外層，為了保證工作人員的皮膚不被燙傷，就需要一定的厚度來擴(kuò)散從外界環(huán)境所吸收到的熱量。但是高溫作業(yè)服的厚度越大，工作人員在進(jìn)行高溫作業(yè)時行動就越不方便。出于對高溫作業(yè)工作人員安全性和方便性的考慮，高溫作業(yè)服厚度需要在規(guī)定范圍內(nèi)并盡量小。

表1 高溫作業(yè)服各層織物的參數(shù)值Tab.1 Parameter value of each fabric layer of high temperature working clothes

此處以第Ⅱ?qū)涌椢锖穸鹊淖钚≈禐槟繕?biāo)函數(shù)，以假人皮膚外側(cè)溫度在44 ～47 ℃的工作時長不超過5 min 為約束條件建立優(yōu)化模型，通過運(yùn)行代碼計(jì)算可知，5 min 內(nèi)滿足條件的數(shù)據(jù)為333 個。據(jù)表1中給定的第Ⅱ?qū)涌椢锏暮穸确秶?，設(shè)定初始檢測精度為0.1 mm，利用遍歷搜索算法對第Ⅱ?qū)涌椢锏暮穸戎颠M(jìn)行迭代檢驗(yàn)（表2），通過優(yōu)化精度不斷調(diào)試數(shù)據(jù)，當(dāng)數(shù)據(jù)個數(shù)在小于333 的范圍內(nèi)最大程度地接近333 時，程序停止，此時該數(shù)據(jù)集對應(yīng)的值即為第Ⅱ?qū)拥淖顑?yōu)厚度值。

表2 皮膚外側(cè)II 層織物厚度運(yùn)行數(shù)據(jù)個數(shù)Tab.2 Running data number of thickness of fabric layer Ⅱoutside skin

由表2可知，迭代檢驗(yàn)得出當(dāng)數(shù)據(jù)個數(shù)為330 時，最接近約束條件下通過優(yōu)化模型計(jì)算出的數(shù)據(jù)個數(shù)為333，而數(shù)據(jù)個數(shù)為330 時對應(yīng)的第Ⅱ?qū)雍穸葹?9.06 mm，表明在問題二的約束條件下，高溫作業(yè)服三層織物第Ⅱ?qū)拥淖顑?yōu)厚度為19.06 mm。

3.3 問題三求解

在問題三的假設(shè)約束條件下，模型初始條件為:u（x，0）= 37，u（0，0）=80；邊界條件:u（0，t）=80。根據(jù)問題二求解可知在工作時間為30 min 時，第Ⅱ?qū)拥淖顑?yōu)厚度為18.73 mm。利用三層織物最優(yōu)厚度的熱傳遞模型，通過運(yùn)行MATLAB 程序可生成關(guān)于第Ⅳ層厚度值的1 634 個數(shù)據(jù)。根據(jù)文獻(xiàn)［1］可知高溫作業(yè)服第Ⅳ層空氣層的比熱容和熱傳導(dǎo)率均很低，散熱能力較差，為避免在高溫作業(yè)時對工作人員造成干擾，保證工作人員身穿高溫作業(yè)服的舒適度，空氣層的厚度也應(yīng)越小越好。

于是以第Ⅳ層織物厚度的最小值為目標(biāo)函數(shù)，在問題三的假設(shè)約束條件下建立優(yōu)化模型，通過MATLAB 計(jì)算可生成667 個數(shù)據(jù)。根據(jù)表1中給定的第Ⅳ層織物的厚度范圍，對第Ⅳ層的厚度值進(jìn)行逐步迭代檢驗(yàn)（表3），通過優(yōu)化精度，縮小范圍，不斷調(diào)試數(shù)據(jù)，當(dāng)數(shù)據(jù)個數(shù)在小于667 的范圍內(nèi)非常接近667 時，程序停止，此時該數(shù)據(jù)集對應(yīng)的值即為第Ⅳ層的最優(yōu)厚度值。

表3 皮膚外側(cè)IV 層織物厚度運(yùn)行數(shù)據(jù)個數(shù)Tab.3 Running data number of thickness of fabric layer Ⅳoutside skin

由表3可知，迭代檢驗(yàn)得出當(dāng)數(shù)據(jù)個數(shù)為666 時，就是約束條件下通過優(yōu)化模型計(jì)算出的數(shù)據(jù)個數(shù)，而數(shù)據(jù)個數(shù)為666 時對應(yīng)的第IV 層厚度為5.78 mm，表明在問題三的約束條件下，高溫作業(yè)服三層織物第IV 層的最優(yōu)厚度為5.78 mm。

4 結(jié)語

本文建立了高溫作業(yè)服織物最優(yōu)厚度的熱傳遞模型，編寫遍歷搜索程序，在可行解數(shù)量不多的情況下根據(jù)具體約束條件得到了最優(yōu)解，確定了高溫作業(yè)服第Ⅱ和第Ⅳ層的最優(yōu)厚度。同時模型具有很好的實(shí)用性，便于高溫作業(yè)服的設(shè)計(jì)，可以達(dá)到降低研發(fā)成本、縮短研發(fā)周期的目的，也可用于其他高溫作業(yè)裝備，降低高溫作業(yè)的危險系數(shù)。