本征圖像分解的稀疏表示彩色圖像去噪算法

謝 斌，黃 安，黃 輝

(1.江西理工大學(xué) 信息工程學(xué)院，江西 贛州 341000;2.深圳大學(xué) 信息工程學(xué)院，廣東 深圳 518060)

1 引 言

隨著現(xiàn)代科技的高速發(fā)展，數(shù)據(jù)的存儲與傳輸能力得到顯著提高，人們對高質(zhì)量圖像的需求不斷提升。圖像在采集、傳輸以及存儲過程中通常會不可避免地受到各種噪聲的干擾，從而導(dǎo)致圖像質(zhì)量的下降。因此，圖像去噪是數(shù)字圖像處理中最常見的也是極其重要的一個(gè)問題。傳統(tǒng)的圖像去噪算法大多針對灰度圖像，而現(xiàn)實(shí)生活中彩色圖像更為常見。因此，對彩色圖像的去噪處理更具現(xiàn)實(shí)意義。

針對灰度圖像去噪問題，文獻(xiàn)[1]提出了一種基于濾波技術(shù)的去噪算法，該類算法可分為空間域?yàn)V波和變換域?yàn)V波?？臻g域?yàn)V波在圖像空間中借助模板直接對每個(gè)像素值進(jìn)行操作，而變換域?yàn)V波將圖像從空間域轉(zhuǎn)換到變換域，間接地處理各像素值后再轉(zhuǎn)換回空間域。上述基于濾波的去噪算法雖然簡單易行，但是因噪聲與圖像信號的頻譜有可能發(fā)生重疊，而導(dǎo)致此類算法的去噪效果不理想。為了提高圖像去噪效果，文獻(xiàn)[2]中，Rudin等人提出了一種經(jīng)典的全變分正則化去噪算法，即ROF算法。該算法將圖像去噪問題轉(zhuǎn)化為泛函極值的求解，在去噪的同時(shí)能夠很好地保持圖像的邊緣。然而，該算法所屬的有界變差函數(shù)空間(BV函數(shù)空間)具有分段光滑特性，容易導(dǎo)致去噪后的圖像出現(xiàn)“階梯效應(yīng)”。為此，Lysaker等人提出了二階微分正則化模型(LLT模型)。由于二階微分在去噪過程中能夠?qū)D像進(jìn)行漸變平滑，從而能夠較好地抑制“階梯效應(yīng)”，但是二階微分非常容易模糊圖像的邊緣[3]。為了克服上述問題，文獻(xiàn)[4]結(jié)合ROF模型和LLT模型的優(yōu)點(diǎn)，提出了一種基于一階微分和高階微分的混合模型。雖然該模型在抑制“階梯效應(yīng)”的同時(shí)能夠保持去噪圖像的邊緣信息，但是其復(fù)雜度相對較高。近年來，由于具有過完備性和稀疏性等特征，基于稀疏正則的去噪算法得到了廣大學(xué)者的關(guān)注。Elad等人提出了一種稀疏表示去噪算法，該算法充分利用了稀疏表示的優(yōu)勢，即在去噪的同時(shí)能很好地保留圖像的邊緣部分[5]。但是該算法僅適用于去除輕度污染的含噪圖像，在噪聲污染較嚴(yán)重的情況下，其圖像去噪效果并不十分理想。為了進(jìn)一步提升去噪效果，文獻(xiàn)[6]提出了一種非局部集中的稀疏表示(Nocally Centralized Sparse Representation，NCSR)算法，充分利用了圖像的非局部自相似性，在噪聲污染較嚴(yán)重時(shí)仍能取得較好的去噪效果。

對于彩色圖像的去噪問題，多數(shù)算法直接將灰度圖像去噪算法應(yīng)用于彩色圖像的不同顏色通道中。例如，文獻(xiàn)[7]將彩色圖像的R、G、B三個(gè)分量視為3幅灰度圖像，并直接利用灰度圖像去噪算法對它們進(jìn)行處理。雖然灰度圖像去噪算法相對成熟，但由于彩色圖像的RGB分量之間有很強(qiáng)的相關(guān)性，對其分別進(jìn)行去噪處理再合成的結(jié)果圖像非常容易出現(xiàn)細(xì)節(jié)模糊和偽色彩，從而降低去噪后彩色圖像的整體質(zhì)量。為了解決這一問題，文獻(xiàn)[8]使用CBC-TV法(Channel By Channel Total Variation)將全變分模型耦合到顏色通道中進(jìn)行彩色圖像去噪。由于該算法在不同顏色通道內(nèi)使用相同的系數(shù)且采用全局耦合的方式，無法具體地描述圖像局部結(jié)構(gòu)特征從而容易導(dǎo)致圖像細(xì)節(jié)部分的丟失。為此，文獻(xiàn)[9]提出了一種基于稀疏表示的彩色圖像去噪方法。該方法利用冗余的過完備字典對圖像進(jìn)行稀疏表示，能夠有效地捕捉圖像的結(jié)構(gòu)特征，非常適用于平滑區(qū)較多的彩色圖像去噪。但是，該方法對含有較多細(xì)節(jié)的彩色圖像其去噪效果欠佳。

因此，為了在提高彩色圖像去噪效果的同時(shí)更多地保留圖像的細(xì)節(jié)部分，文中提出了一種基于本征圖像分解的稀疏表示彩色圖像去噪新算法。本征圖像分解能夠?qū)⒉噬雸D像分解成反射率部分和光照率部分。其中，反射率部分描述了圖像的真實(shí)顏色信息，光照率部分描述了圖像的明暗和亮度信息[10]。文中對彩色含噪圖像進(jìn)行本征圖像分解后發(fā)現(xiàn)，其反射率部分為僅含孤立噪點(diǎn)且具有分段平滑特性的彩色圖像，而光照率部分為包含主要噪聲成分且具有較強(qiáng)稀疏性的灰度圖像。因此，針對這兩個(gè)部分的不同特點(diǎn)，文中對含有少量孤立噪點(diǎn)的含噪反射率部分，采用去除輕度噪聲效果較好的稀疏表示彩色圖像去噪算法，而對于被噪聲污染較嚴(yán)重的光照率部分則采用能夠有效保留圖像細(xì)節(jié)的非局部集中稀疏表示灰度圖像去噪算法進(jìn)行處理。另外，文中結(jié)合正交匹配追蹤算法、K-SVD(K-Singular Value Decomposition)算法和軟閾值算法設(shè)計(jì)了一種新的數(shù)值解法，有效地求解了所提算法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與傳統(tǒng)的彩色圖像去噪算法比較，新算法的去噪效果在主觀視覺和客觀定量指標(biāo)上都得到了明顯的提高，圖像質(zhì)量也得到了較好的改善。

2 相關(guān)工作介紹

2.1 本征圖像分解

假設(shè)物體表面的顏色是由光源的位置、亮度、顏色和物體本身的材質(zhì)、形狀以及觀察者的位置等屬性決定的。Barrow等人[10]提出：一幅圖像可以由反射率部分(Reflectance)和光照率部分(Shading)構(gòu)成。其中，反射率部分體現(xiàn)物體對入射光的反射特性，是一幅反映物體真實(shí)顏色且具有分段平滑特性的彩色圖像；光照率部分描述環(huán)境中的光照信息，是一幅反映物體表面明暗和亮度信息且包含了圖像的主要細(xì)節(jié)部分的灰度圖像。

假設(shè)物體表面滿足Lambertian特性，環(huán)境光照為唯一光源，則本征圖像分解過程可以表示為

I=sR，

(1)

式(1)中，I是輸入的彩色圖像，s表示光照率部分(灰度圖像)，R為反射率部分(彩色圖像)。對于任意像素點(diǎn)i∈I，分別用Ii=(Iir,Iig,Iib)、Ri=(Rir,Rig,Rib)和si表示該像素點(diǎn)的像素值、反射率值和光照率值，則滿足Ii=siRi。

(2)

(3)

根據(jù)上述理論，文獻(xiàn)[11]提出了本征圖像分解模型的能量函數(shù)，即

(4)

圖1所示是本征圖像分解示意圖。圖1(a)為lena彩色圖像，圖1(b)和(c)分別為圖1(a)經(jīng)過本征圖像分解后的反射率部分和光照率部分。圖1(d)為lena含噪圖(噪聲強(qiáng)度為20)，圖1(e)和(f)分別為圖1(d)經(jīng)過本征圖像分解后的反射率部分和光照率部分。

圖1 本征圖像分解示意圖Fig.1 Intrinsic image decomposition diagram

由圖1(a)～(c)可以看出，將彩色圖像進(jìn)行本征圖像分解后得到的反射率部分是一幅由分段平滑區(qū)域構(gòu)成且包含豐富顏色信息的彩色圖像(簡稱反射圖)，而光照率部分是一幅包含圖像主要細(xì)節(jié)信息的灰度圖像(簡稱光照圖)。另外，由圖1(d)～(f)可以看出，一幅含噪彩色圖像的噪聲成分主要存在于光照圖中，而反射圖中僅含少量的孤立噪聲點(diǎn)。鑒于含噪彩色圖像的反射圖和光照圖的不同特點(diǎn)，文中采用不同的策略分別對二者進(jìn)行去噪處理，以期提高整個(gè)彩色含噪圖像的去噪效果。

2.2 稀疏表示理論

近年來，稀疏性已成為自然圖像最重要的特性之一，稀疏表示在圖像處理的諸多方面得到了廣泛的應(yīng)用[5-6,12-13]?；谙∈璞硎镜膱D像恢復(fù)主要利用超完備字典的冗余性對待恢復(fù)圖像進(jìn)行稀疏表示并建立相關(guān)恢復(fù)模型，再通過計(jì)算模型的稀疏解完成對圖像信號的重建。

對于一個(gè)給定的圖像信號x∈Rn，可以用一個(gè)過完備字典D=[d1,d1,…,dk]∈RN×K中元素的線性組合表示，即

x=Dα，

(5)

式(5)中，α=[α1,α2,…,αk]T∈RK是圖像的稀疏矩陣，K為字典原子的數(shù)目且滿足K>N(過完備字典中列大于行)，基于過完備字典的圖像稀疏問題可表示為

min‖α‖0,s.tx=Dα.

(6)

因?yàn)槭?6)中的字典D是過完備的，所以該模型有無數(shù)解，通常需要增加約束項(xiàng)來得到模型的解。為此，Elad等人[5]將基于稀疏表示的圖像恢復(fù)模型表示為

(7)

式(7)中，‖α‖0為正則項(xiàng)，表示稀疏系數(shù)α中所含非零元素的個(gè)數(shù)，當(dāng)α滿足‖α‖0<δ/2時(shí)(存在最小值δ使得字典D中原子線性相關(guān))，x的稀疏表示α∈RK就是唯一的。λ>0為正則項(xiàng)參數(shù)，用于平衡信號x的稀疏性和稀疏表示誤差。相對于模型(6)，模型(7)中加入的正則約束項(xiàng)，其實(shí)質(zhì)是在原不適定問題(6)的基礎(chǔ)上增加了先驗(yàn)知識，如此可以使得模型(7)存在確定解。

由于可以靈活、簡潔和自適應(yīng)地表示信號，稀疏表示理論已經(jīng)成功地應(yīng)用于圖像恢復(fù)的各個(gè)領(lǐng)域，在灰度圖像和彩色圖像去噪方面人們也做了大量工作[5-6,14]并取得了一定成效。因此，文中將稀疏表示的相關(guān)理論引入到基于本征圖像分解的彩色圖像去噪算法中，以期取得更好的效果。

3 新算法的導(dǎo)出

為了得到更好的去噪效果，文中結(jié)合本征圖像分解和稀疏表示理論，提出了一種彩色圖像去噪新算法。圖2所示為新算法的流程示意圖。

圖2 新算法圖像去噪流程示意圖Fig.2 New algorithm image repair flow diagram

(1) 利用本征圖像分解將彩色含噪圖像I分解為含噪反射圖R和含噪光照圖s；

3.1 基于稀疏表示的彩色圖像去噪模型

基于稀疏表示的彩色圖像去噪算法通過一個(gè)給定的初始過完備字典對含噪彩色圖像信號進(jìn)行稀疏表示，然后使用相應(yīng)的數(shù)值算法更新字典并用更新后的字典去更新稀疏表示系數(shù)。再利用這些更新后的字典和稀疏表示系數(shù)重建原始圖像信號，以此得到去噪后的彩色圖像。

假設(shè)大小為n×M(n

(8)

式(8)中αij為R在字典矩陣D上的稀疏表示系數(shù)，矩陣L(M)是經(jīng)過M項(xiàng)逼近后的殘差項(xiàng)，則基于稀疏表示的彩色圖像去噪模型可以表示為：

(9)

3.2 基于非局部集中稀疏表示灰度圖像去噪模型

當(dāng)原始圖像受到嚴(yán)重的噪聲污染時(shí)，僅使用傳統(tǒng)的局部稀疏約束不足以準(zhǔn)確地重構(gòu)圖像信號[6]。為了提高基于稀疏表示灰度圖像去噪算法的性能，文獻(xiàn)[6]引入了稀疏編碼噪聲的概念，使模型的求解目標(biāo)從獲取原始圖像轉(zhuǎn)換成如何抑制圖像的稀疏編碼噪聲，并且利用圖像的非局部自相似性獲得原始圖像稀疏編碼系數(shù)的良好估計(jì)，使得含噪圖像的稀疏編碼系數(shù)集中逼近至原始圖像稀疏編碼系數(shù)的估計(jì)值，從而得到基于非局部集中的稀疏表示灰度圖像去噪模型，即

(10)

βi=∑q∈Ωiωi,qαi,q，

(11)

式(11)中，Ωi為任意圖像塊的非局部相似塊的集合，αi,p為Ωi內(nèi)圖像塊si,p的稀疏編碼，權(quán)重ωi,p設(shè)置為圖像塊si與si,p之間的距離成反比

(12)

4 新模型的數(shù)值求解

4.1 改進(jìn)的K-SVD數(shù)值算法

對于優(yōu)化問題(9)，通常采用K-SVD算法進(jìn)行求解?？紤]到含噪反射圖s為一幅僅含孤立噪聲點(diǎn)的彩色圖像，如果直接使用傳統(tǒng)的K-SVD算法進(jìn)行求解，容易在去噪過程中產(chǎn)生不必要的偽影和偽色彩[9]，因此文中采用改進(jìn)的K-SVD數(shù)值算法進(jìn)行求解。整個(gè)算法主要包括兩個(gè)步驟，即基于正交匹配追蹤(OMP, Orthogonal matching pursuit)算法的稀疏編碼和基于K-SVD的字典學(xué)習(xí)。

(13)

(14)

其中

(15)

式(15)中，Jn是一個(gè)n×n的全1矩陣。式(14)表示含噪反射圖Y與原始反射圖R的歐幾里得內(nèi)積，可由Y和R的各通道強(qiáng)度估計(jì)值的乘積獲得，從而迫使選定的原子考慮圖像塊的平均顏色信息，其中，調(diào)整參數(shù)γ可控制校正范圍。如此，可以較好地抑制去噪過程中產(chǎn)生的偽影和偽色彩[9]。另外，式(14)中的I+γ/nK可表示為

I+γ/nK=(I+a/nK)T(I+a/nK)，

(16)

其中，γ=2a+a2(a為常數(shù))。令每個(gè)圖像塊和字典中的每個(gè)原子均乘上I+a/nK，從而可以直接將新內(nèi)積應(yīng)用于OMP算法中，無須再做進(jìn)一步的更改。因此，文中將反射圖估計(jì)值R和字典D分別設(shè)置為R=(I+a/nK)R和D=(I+a/nK)D。最后，式(13)可以由經(jīng)典的OMP算法直接進(jìn)行求解。

(17)

式(17)可以采用經(jīng)典的SVD算法進(jìn)行求解。

(18)

4.2 軟閾值迭代算法

對于優(yōu)化問題(10)，由于含噪光照圖s包含了圖像的主要噪聲成分，模型(10)中的正則項(xiàng)參數(shù)將在一定程度上影響去噪效果。文中設(shè)置了自適應(yīng)參數(shù)λ并將原模型轉(zhuǎn)化為求解L1范數(shù)最小化問題，因而可以采用經(jīng)典的軟閾值迭代算法處理。

根據(jù)最大后驗(yàn)(MAP)概率估計(jì)與稀疏表示之間的聯(lián)系，可采用將局部稀疏性擴(kuò)展到非局部集中稀疏性的方式獲得自適應(yīng)的參數(shù)λ，即

(19)

式(19)中，σi,j是稀疏編碼噪聲vi(j)=αi(j)-βi(j)的標(biāo)準(zhǔn)差，vi(j)是vi的第j個(gè)元素，利用每次迭代或多次迭代中更新的vi來更新λi,j既能節(jié)約計(jì)算成本又能得到自適應(yīng)的正則項(xiàng)參數(shù)。另外，在每次迭代中，對于固定的βi，可將式(10)中的目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為如下L1范數(shù)最小化問題：

(20)

由于模型(20)是一個(gè)凸優(yōu)化問題，因此文中采用經(jīng)典的軟閾值迭代數(shù)值算法對其進(jìn)行求解，具體過程如圖3所示。

圖3 軟閾值迭代算法流程示意圖Fig.3 Soft threshold iterative algorithm flow diagram

(2) 外部迭代過程：當(dāng)?shù)螖?shù)p≤P時(shí)，首先使用k-均值法和經(jīng)典的PCA法更新字典，然后進(jìn)行內(nèi)部迭代。如果不滿足p≤P，則表明已完成迭代可直接結(jié)束整個(gè)算法；

(3) 當(dāng)內(nèi)部迭代次數(shù)j≤J，通過軟閾值算子計(jì)算αi(j)以及根據(jù)公式(19)和公式(11)更新參數(shù)λi,j和{βi}；

5 數(shù)值實(shí)驗(yàn)與分析

為了驗(yàn)證所提算法的有效性，文中使用圖4(a)所示的4幅彩色含噪圖像作為測試圖像，它們的大小均為256×256。并且，將新算法與文獻(xiàn)[2]中的ROF算法、文獻(xiàn)[5]中的K-SVD算法以及文獻(xiàn)[6]中的NCSR算法進(jìn)行了比較，所有實(shí)驗(yàn)均在MATLAB R2016b上編程實(shí)現(xiàn)，硬件參數(shù)：Intel Core i5-7300HQ，CPU 2.5 GHz，內(nèi)存8 GB。

5.1 視覺效果性能分析和比較

本節(jié)從去噪圖像的整體視覺效果和局部細(xì)節(jié)放大兩個(gè)方面分別對不同算法的性能進(jìn)行了對比分析。圖4給出了受標(biāo)準(zhǔn)差σ=20的高斯白噪聲污染的彩色含噪圖像及不同算法的去噪效果圖。圖4(a)是彩色含噪圖像，圖4(b)～(e)分別是彩色含噪圖像經(jīng)過ROF算法、K-SVD算法、NCSR算法和新算法處理后的結(jié)果圖像。從圖4(b)～(d)可以看出，采用ROF算法去噪后的彩色圖像會出現(xiàn)過度平滑現(xiàn)象，以至于丟失了圖像的細(xì)節(jié)部分；而K-SVD算法在圖像低信噪比的情況下去噪效果不理想；雖然NCSR算法能較好地保持圖像的細(xì)節(jié)部分，但是也將某些噪聲當(dāng)成細(xì)節(jié)成分保留了下來，從而降低了算法的去噪性能。由圖4(e)可知，文中所提模型不但取得了較好的去噪效果，而且圖像的細(xì)節(jié)部分也得到了較好的保護(hù)。

為了進(jìn)一步說明所提算法的去噪效果，文中給出了圖5第二行所示局部圖像的亮度三維圖。圖6(a)～(b)分別是無噪圖像和含噪圖像的局部三維圖，6(c)～(f)是分別是經(jīng)ROF算法、K-SVD算法、NCSR算法和文中所提算法去噪后的局部圖像的亮度三維圖。由圖6(c)～(f)可知，(c)中的平坦區(qū)域出現(xiàn)了明顯的過度平滑現(xiàn)象，(d)中依然存在少量的噪聲成分，(e)中的頂部和底部都表現(xiàn)出參差不齊，并且誤將一些噪聲保留了下來。顯然，圖6(f)與圖6(a)較為接近，說明文中所提算法能夠在提高去噪效果的同時(shí)較好地保留圖像的更多細(xì)節(jié)部分。

(a) 含噪圖像(a) Noisy image

圖4 含噪圖像及不同算法去噪效果圖Fig.4 Image with noise and the results of differentalgorithms

圖5 不同算法局部細(xì)節(jié)放大圖Fig.5 Local detail magnification of different algorithms

圖6 不同算法局部三維效果圖Fig.6 Local 3D graphs of different algorithms

5.2 客觀性能評價(jià)分析與比較

文中采用峰值信噪比(PSNR)和圖像結(jié)構(gòu)相似度(SSIM)來更好地說明不同算法的去噪效果。

(21)

(22)

表1 不同算法的PSNR比較

Tab.1 comparison of PSNR of different algorithms (dB)

測試圖片噪聲方差K-SVDTVNCSR文中算法Tiffanyσ=1525.9326.2826.8927.34σ=2023.5124.2724.7525.99σ=3020.1621.6423.2525.94Lenaσ=1524.7925.3625.4726.01σ=2022.5523.0323.5424.62σ=3019.4520.1420.5721.12Byasaσ=1525.1625.7825.9226.44σ=2022.8623.9624.5624.77σ=3019.6821.1621.2821.98Boatσ=1525.1525.3026.0726.48σ=2022.4823.2723.5124.18σ=3019.8120.6120.5721.14

表2 不同算法的SSIM比較Tab.2 Comparison of SSIM of different algorithms

6 結(jié) 論

文中提出了一種基于本征圖像分解的稀疏表示彩色圖像去噪算法，將彩色含噪圖像使用本征圖像分解算法分解為僅含孤立噪點(diǎn)且具有分段平滑特性的反射率部分和包含圖像主要噪聲成分和細(xì)節(jié)部分的光照率部分，并使用基于稀疏表示的彩色圖像去噪算法和基于非局部集中稀疏表示的灰度圖像去噪算法分別對這兩個(gè)部分進(jìn)行處理。新算法充分利用了圖像的稀疏表示先驗(yàn)與非局部先驗(yàn)，相比于傳統(tǒng)算法能更好地保留彩色圖像的細(xì)節(jié)部分和顏色信息。此外，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明，使用文中算法得到的去噪后圖像的PSNR值和SSIM值比使用ROF算法、NCSR算法以及K-SVD去噪算法都有不同程度的提高。盡管如此，由于稀疏表示算法計(jì)算復(fù)雜度較高，運(yùn)行時(shí)間長，如何在提高彩色圖像去噪效果的同時(shí)降低算法的復(fù)雜度以及縮短運(yùn)行時(shí)間將是今后的一個(gè)重要研究方向。