黎曼面上對(duì)數(shù)函數(shù)的計(jì)算

葉薇薇，儲(chǔ)亞偉

（阜陽(yáng)師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 阜陽(yáng) 236037）

從復(fù)流形的觀點(diǎn)來(lái)看，黎曼面就是連通的一維凱勒流形。從局部看，一個(gè)黎曼面只是復(fù)平面中的一個(gè)開(kāi)集；從整體看，黎曼面的意義在于可以在它上面能引入解析函數(shù)和亞純函數(shù)。因此，黎曼面被認(rèn)為是研究多值解析函數(shù)的整體性質(zhì)的自然選擇，比如像根式和對(duì)數(shù)這樣的函數(shù)[1]。

在z平面上，如果需要分出多值解析函數(shù)的單值解析分支，一般可以通過(guò)割破平面的方法。以w=lnz為例，令z=reiθ，它的支點(diǎn)是0和∞，如果將z平面沿正實(shí)軸割開(kāi)，在這樣割開(kāi)的區(qū)域G上，由于變點(diǎn)z無(wú)法圍繞0或∞繞一圈，所以G上的每一點(diǎn)的輻角都是唯一的，從而lnz限制在G上變成單值解析函數(shù)?，F(xiàn)在把無(wú)窮多個(gè)z平面相重疊，保證原點(diǎn)的位置和實(shí)軸的方向不改變，將這些平面均按照上述方法割破，記為Mk(k∈Z)。M0相當(dāng)于 0＜θ＜2π ，M1相當(dāng)于2π＜θ＜4π，M-1相當(dāng)于-2π＜θ＜0,依次類(lèi)推。接下來(lái)沿支割線將M0的上岸(θ=0)與M-1的下岸 (θ=0)粘合，M0的下岸 (θ=2π)與M1的上岸 (θ=2π)粘合，把所有的Mk(k∈Z)。用這種方法粘合在一起，就得到了w=lnz的黎曼面模型。w=lnz在每個(gè)葉片上都是單值解析的，在粘合的邊界上連續(xù)并且函數(shù)值相等。在這樣的黎曼面上，當(dāng)點(diǎn)z繞z=0轉(zhuǎn)回到原來(lái)位置時(shí)，它必須在每一層上轉(zhuǎn)一周，此時(shí)w=lnz也在黎曼面上回到原來(lái)的位置，函數(shù)值不會(huì)改變[2]。

對(duì)于復(fù)數(shù)域上的初等多值函數(shù)，計(jì)算單值分支是其重要內(nèi)容之一。許多文獻(xiàn)以根式函數(shù)為例來(lái)討論這部分內(nèi)容[3-20]。本文將在黎曼面基礎(chǔ)上，解決有關(guān)于對(duì)數(shù)函數(shù)的一類(lèi)單值解析分支問(wèn)題。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[12]設(shè)C是復(fù)平面內(nèi)不通過(guò)點(diǎn)a的一條簡(jiǎn)單曲線，z0是C的起點(diǎn)，z1是C的終點(diǎn)。arg(z-a)在z0取定一值（稱(chēng)為arg(z-a)的初值），當(dāng)z沿C從z0連續(xù)變動(dòng)到z1時(shí)，arg(z-a)從連續(xù)變到（稱(chēng)為arg(z-a)的終值），稱(chēng)

為arg(z-a)在C上的直接改變量，簡(jiǎn)稱(chēng)輻角改變量。類(lèi)似地，可定義arg(a-z)在C上的直接改變量。

定義2[21]設(shè)C是復(fù)平面內(nèi)不通過(guò)點(diǎn)a的一條簡(jiǎn)單曲線，z0是C的起點(diǎn)，z1是C的終點(diǎn)。當(dāng)z沿C從z0連續(xù)變動(dòng)到z1時(shí)，向量所旋轉(zhuǎn)的角稱(chēng)為arg(z-a)在C上的間接改變量，簡(jiǎn)稱(chēng)輻角改變量，記為 ΔCarg(z-a)。

引理1[21]

但是如果在給定的單值區(qū)域（考慮到割線因素）中來(lái)考慮多值函數(shù)的一類(lèi)計(jì)算問(wèn)題，使用定義1與定義2得到的輻角改變量可能不同，且公式（1）也未必成立。

本文將以對(duì)數(shù)函數(shù)為例，通過(guò)比較“間接輻角改變量法”、“直接輻角改變量法”和“限定輻角法”等方法對(duì)此進(jìn)行討論。為此，還需要給出下面的公式。

引理2[2]設(shè)D為lnf(z)的可單值分支區(qū)域，lnf(z)在z0∈D的初值為lnf(z0)的單值分支在z1∈D的終值為lnf(z1)為

其中：C為D內(nèi)以為z0起點(diǎn)、z1為終點(diǎn)不穿過(guò)割線的約當(dāng)曲線。

2 “間接輻角改變量法”的使用條件

命題1間接輻角改變量法的使用條件為ΔCarg(z-a)=ΔCargz′。

證明(i)設(shè)f(z)有有限支點(diǎn)a1,a2,…,am(m∈Z+)及∞點(diǎn)，將z平面按照如下方式割開(kāi)，a1,a2,…,am不全落在任何一條從原點(diǎn)出發(fā)的射線上，而∞點(diǎn)在某條從原點(diǎn)出發(fā)的射線上l，(不妨設(shè)該射線與正實(shí)軸的夾角為α∈(-2π,0))。在這樣割開(kāi)后的z平面G上，f(z)可以分出單值解析分支。

由于∞點(diǎn)在某條從原點(diǎn)出發(fā)的射線上，則可限制輻角范圍 argz∈(α,α+2π)(允許相差 2π 整數(shù)倍)。把單值分支在終點(diǎn)z1的值表示為，由命題條件 ΔCarg(z-a)=ΔCargz′，就可避免默認(rèn)的變化曲線會(huì)穿過(guò)Gl之外其他割線的情形，則

即間接算法和直接算法的結(jié)果一致。

(ii)設(shè)f(z)有有限支點(diǎn)a1,a2,…,am(m∈Z+)，將z平面按照如下方式割開(kāi)，a1,a2,…,am不全落在任何一條從原點(diǎn)出發(fā)的射線上，但割線中有一段在某條從原點(diǎn)出發(fā)的射線上。此種情形同上可證。

以上給出使用間接輻角改變量法判斷多值函數(shù)支點(diǎn)和確定單值分支時(shí)的條件，下面通過(guò)構(gòu)造對(duì)數(shù)函數(shù)的反例來(lái)進(jìn)一步驗(yàn)證命題的正確性。

例1在復(fù)平面內(nèi)，取割線

解因f(z)的支點(diǎn)是0,1,∞在G內(nèi)f(z)能分出三個(gè)單值解析分支。

方法一（間接輻角改變量法） 根據(jù)圖1易見(jiàn)，當(dāng)z從z0=2沿G內(nèi)一條簡(jiǎn)單曲線C連續(xù)變動(dòng)到zl=i時(shí)，

從而

由于f(z)在點(diǎn)z=2取正值，設(shè)argf(2)=0（允許相差2π的整數(shù)倍）。

由公式（2）知，

圖1 例1所用圖形

方法二（直接輻角改變量法） 根據(jù)圖1易見(jiàn)，當(dāng)z從z0=2沿G內(nèi)簡(jiǎn)單曲線C連續(xù)變動(dòng)到zl=i時(shí)，

則

由于f(z)在點(diǎn)z=2取正值，設(shè)argf(2)=0（允許相差2π的整數(shù)倍）。由公式（2）知，

兩者不同的方法得到了完全不同的答案，為了驗(yàn)證哪種方法是正確的，下面用限定輻角的方法方法求解。

方法三（限定輻角法） 復(fù)平面沿著0從射線y=-2x割開(kāi)，由起點(diǎn)、終點(diǎn)的情況分析限定（允許相差2π的整數(shù)倍）。當(dāng)z=2時(shí)，

由fk(2)=ln 2+i2kπ＞0，k=0,±1,…

得k=0。當(dāng)z=i時(shí)，。

從而

與（4）相同。

現(xiàn)在把問(wèn)題放到黎曼面上來(lái)考慮，首先根據(jù)例1所給定的割線，建立本題f(z)=lnz(z-1)所對(duì)應(yīng)的黎曼面；將三種方法進(jìn)行比較，不難發(fā)現(xiàn)，后兩種方法求得是f(z)=lnz(z-1)在第0層上z=i處的值。而由間接輻角改變量的方法一所得結(jié)果卻是f(z)在第1層上z=i處的值。那么這是什么原因造成的呢？

對(duì)比間接算法與直接算法的解題過(guò)程可知，根據(jù)題目所給割線，兩種算法結(jié)果不一致的原因在于

而在間接算法中計(jì)算ΔCarg(z-1)時(shí)，是先通過(guò)平移虛軸將坐標(biāo)原點(diǎn)平移到點(diǎn)1，然后通過(guò)求向量所旋轉(zhuǎn)的角得到ΔCarg(z-1)的。在這道題中，當(dāng)平移虛軸的時(shí)候，是穿過(guò)割線的，而zl=i恰好在虛軸上。由于在黎曼面上f(z)是單值的，自變量從第0層平移到了第1層，那么求得的函數(shù)值自然也是在第1層上的了。

通過(guò)以上對(duì)實(shí)例的分析，我們發(fā)現(xiàn)在使用間接輻角改變量法進(jìn)行計(jì)算的時(shí)候，容易出現(xiàn)的誤區(qū)即在平移的過(guò)程中，忽略了割線的情況。

3 ΔCarg(z-a)代替ΔCarg(a-z)的條件

在對(duì)數(shù)函數(shù)的一些計(jì)算中，往往會(huì)碰到需要求ΔCarg(a-z)的情況。一般都根據(jù)引理1直接用ΔCarg(z-a)代替，然而在某些情況下二者并不相等，給解決問(wèn)題帶來(lái)了誤區(qū)，這里給出使用ΔCarg(z-a)代替ΔCarg(a-z)的條件。

命題2計(jì)算ΔCarg(a-z)時(shí)，使用ΔCarg(z-a)代替ΔCarg(a-z)的條件是

證明類(lèi)似命題1可得。為了更好地理解命題2給出的條件，下面構(gòu)造一個(gè)反例。

例2設(shè)f(z)=lnz(1-z)確定在從原點(diǎn)起沿正實(shí)軸割破了的復(fù)平面上（如圖2），求在點(diǎn)z0=-i的初值的那個(gè)分支z=i在值。l

圖2 例2所用圖形

解法一（間接輻角改變量法）當(dāng)z從z0=-i沿G內(nèi)簡(jiǎn)單曲線C變動(dòng)到zl=i時(shí)，如圖2所示ΔCargz=-π,ΔCarg(z-1)等于向量順時(shí)針?biāo)D(zhuǎn)的角，即，

于是

由公式（2）知，

解法二（直接輻角改變量法） 當(dāng)z從z0=-i沿G內(nèi)簡(jiǎn)單曲線C變動(dòng)到zl=i時(shí)，如圖2所示

于是

解法三（限定輻角法） 由于沿著0從正實(shí)軸割開(kāi)，因此可限定argz∈(0,2π)（允許相差2π的整數(shù)倍）。于是當(dāng)z0=-i時(shí)，。由

得k=1。當(dāng)z=i時(shí)。故。與（6）相同。

易見(jiàn)造成解法一與其他兩種方法計(jì)算結(jié)果不一致的原因是在計(jì)算過(guò)程中用ΔCarg(z-1)代替了ΔCarg(1-z)。然而這種代替是有問(wèn)題的，在求ΔCarg(z-1)時(shí)，當(dāng)z從z0=-i沿G內(nèi)簡(jiǎn)單曲線C變動(dòng)到zl=i時(shí)，是穿過(guò)了割線的（參圖2）。在黎曼面上考慮的話，原本在第1層的自變量z按照這種路線運(yùn)動(dòng)的終點(diǎn)落到了黎曼面的第0層的z1=i處，這也是為什么解法一的計(jì)算結(jié)果與其他兩種方法相差-2πi。

4 小結(jié)

本文在黎曼面上討論對(duì)數(shù)函數(shù)的一類(lèi)計(jì)算單值分支問(wèn)題，可以清晰地看到在復(fù)平面上處理該類(lèi)問(wèn)題時(shí)，由于函數(shù)多值性所產(chǎn)生的兩個(gè)誤區(qū)。本文分別給出了有效的解決對(duì)策，為類(lèi)似問(wèn)題提供了參考依據(jù)。