基于ARX系統(tǒng)辨識(shí)模型的鋼絞線張拉力識(shí)別?

錢 驥 李長春 羅映相 張俊波

(1重慶交通大學(xué)土木工程學(xué)院 重慶 400074)

(2重慶交通大學(xué) 山區(qū)橋梁結(jié)構(gòu)與材料教育部工程研究中心 重慶 400074)

0 引言

預(yù)應(yīng)力鋼絞線廣泛應(yīng)用于土木工程建筑物，更是大跨度橋梁最重要的受力構(gòu)件，如梁橋的預(yù)應(yīng)力主筋、拱橋吊桿及斜拉橋拉索等。鋼絞線長期處于高應(yīng)力狀態(tài)，對環(huán)境侵蝕及結(jié)構(gòu)徐變非常敏感，經(jīng)常出現(xiàn)實(shí)際保有應(yīng)力值下降的現(xiàn)象，從而衍生結(jié)構(gòu)開裂、下?lián)系炔『Γ档痛罂缍冉Y(jié)構(gòu)的承載能力和耐久性。通常，鋼絞線由于其防腐蝕需要而處于層層保護(hù)之中，在其防腐性能提高的同時(shí)也增大了鋼絞線日常檢測、監(jiān)測的難度。在役結(jié)構(gòu)鋼絞線應(yīng)力檢測評估一直是土木工程領(lǐng)域面臨的技術(shù)難題，相對成熟的鋼絞線應(yīng)力測試技術(shù)聚焦于應(yīng)力增量的檢測且需在早期預(yù)埋，無法滿足大量在役預(yù)應(yīng)力及索結(jié)構(gòu)的應(yīng)用需求。

超聲導(dǎo)波是近年來研究較多的一種結(jié)構(gòu)無損檢測方法，相比于傳統(tǒng)超聲波檢測使用的體波，導(dǎo)波由波導(dǎo)介質(zhì)邊界多次反射形成，其傳播特性與介質(zhì)的邊界條件及局部缺陷密切相關(guān)，能夠反映波導(dǎo)體的缺陷特征及力學(xué)邊界變化，目前已應(yīng)用于管道、錨桿等結(jié)構(gòu)的缺陷檢測[1-2]。相比與管道、錨桿這類規(guī)則構(gòu)件，超聲導(dǎo)波在鋼絞線中的傳播特性更為復(fù)雜。Kwun等[3]、Treyssède等[4]、Bartoli等[5]通過實(shí)驗(yàn)及半解析有限元等方法提出了鋼絞線張拉力引起的導(dǎo)波模態(tài)缺失現(xiàn)象。Rizzo等[6-7]、Chaki等[8]、Nucera等[9]、Liu等[10]、吳斌等[11]研究了導(dǎo)波時(shí)頻域特征參數(shù)隨鋼絞線張拉力變化規(guī)律，構(gòu)建了鋼絞線張拉力識(shí)別因子，但受應(yīng)力狀態(tài)、傳播距離影響較大，直接以導(dǎo)波波速的變化判別鋼絞線應(yīng)力值敏感度偏低。劉增華等[12]通過波動(dòng)理論、聲彈性理論和實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的方法，得出應(yīng)力在0.5 GPa以上時(shí)，鋼絞線中L(0,1)模態(tài)的群速度會(huì)隨著應(yīng)力增大呈近似線性下降，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論結(jié)果吻合較好。錢驥等[13-14]通過實(shí)驗(yàn)及有限元模擬等方法提出了導(dǎo)波能量熵譜和模態(tài)轉(zhuǎn)角的方法，建立了導(dǎo)波模態(tài)轉(zhuǎn)角和鋼絞線張拉力之間的冪函數(shù)關(guān)系。眾多研究成果表明，鋼絞線中導(dǎo)波傳播攜帶有明顯的張拉力信息，但提出具有寬泛實(shí)用條件的張拉力識(shí)別方法仍需要進(jìn)一步的研究。

本文以工程結(jié)構(gòu)中常用的7芯鋼絞線作為研究對象，通過進(jìn)行不同應(yīng)力條件下鋼絞線導(dǎo)波傳播實(shí)驗(yàn)，將鋼絞線中導(dǎo)波傳播過程假定為獨(dú)立系統(tǒng)，通過辨識(shí)系統(tǒng)模型參數(shù)隨鋼絞線應(yīng)力變化規(guī)律，構(gòu)建具有更高敏感性的張拉力識(shí)別指標(biāo)，最后討論了傳感器布置位置、鋼絞線加卸載等因素的影響。

1 ARX系統(tǒng)辨識(shí)模型

彈性波在固體中的傳播是一個(gè)彈性動(dòng)力學(xué)問題，通過波動(dòng)方程并代入幾何邊界條件和力學(xué)邊界條件，可求解模態(tài)特征方程。對于單根高強(qiáng)鋼絲而言，經(jīng)典柱波導(dǎo)理論已可求得縱波、彎曲波、扭轉(zhuǎn)波等模態(tài)曲線。但是，鋼絞線結(jié)構(gòu)復(fù)雜，多根鋼絲接觸耦合問題使得建立導(dǎo)波傳播數(shù)學(xué)模型非常困難，目前尚無解析解。

鋼絞線在使用過程中，各種外界因素引起的實(shí)際保有應(yīng)力值變化都將直接引起內(nèi)部鋼絲間接觸力發(fā)生變化，該力學(xué)邊界條件的改變會(huì)引起其間傳播的導(dǎo)波模態(tài)發(fā)生變化。在難以直接解析鋼絞線導(dǎo)波模態(tài)隨張拉力變化規(guī)律時(shí)，可考慮將導(dǎo)波傳播過程理解為一個(gè)獨(dú)立系統(tǒng)，通過外在的導(dǎo)波輸入和輸出來辨識(shí)該系統(tǒng)的模型參數(shù)，從而建立模型參數(shù)隨鋼絞線張拉力變化規(guī)律。

系統(tǒng)辨識(shí)的目的是根據(jù)系統(tǒng)的輸入、輸出，利用某種誤差準(zhǔn)則來確定描述系統(tǒng)行為的數(shù)學(xué)模型[15]。ARX模型由于不需要知道過程內(nèi)部復(fù)雜的物理機(jī)理，因此被視為一種“黑箱”模型，模型的建立過程一般包括以下三個(gè)基本步驟：

(1)輸入、輸出數(shù)據(jù)的采集與預(yù)處理；

(2)模型結(jié)構(gòu)的選擇和參數(shù)估計(jì)；

(3)模型的驗(yàn)證。

ARX模型結(jié)構(gòu)簡單、魯棒性強(qiáng)，在噪聲較小時(shí)，辨識(shí)精度高；在噪聲較大時(shí)，可適當(dāng)提高模型的階次，來補(bǔ)償噪聲對辨識(shí)精度的影響。ARX模型表示形式如下[16]：

式(1)中：u(t)為輸入序列；y(t)為輸出序列；e(t)為零均值的隨機(jī)噪聲；A(q)、B(q)為關(guān)于平移算子q的多項(xiàng)式，定義為

將式(1)展開為輸出形式：

式(4)可表示為

式(5)中：φ為樣本集合；θ為被辨識(shí)的參數(shù)的集合，θ=[a1,a2,···,ana,b1,b2,···bnb]。進(jìn)而可以將式(5)寫成向量形式：

取殘差的平方和為準(zhǔn)則函數(shù)[16]：

求出θ的最小二乘估計(jì)值θLS的必要條件為

將式(7)代入式(8)中，可以得到

如果式(9)中ψTψ滿秩，則[ψTψ]-1存在，從而可以得出

根據(jù)最小二乘辨識(shí)過程，未知模型參數(shù)θ最可能的值是在實(shí)際觀測值與計(jì)算值之間累計(jì)誤差的平方和達(dá)到最小值時(shí)，這種估計(jì)模型的輸出能夠更好地接近實(shí)際過程的輸出。

2 定義鋼絞線張拉力識(shí)別指標(biāo)

基于ARX模型參數(shù)來識(shí)別鋼絞線張拉力大小的過程是通過提取各個(gè)不同張拉力條件下系統(tǒng)模型的自回歸參數(shù)作為特征向量，以鋼絞線張拉到70%Fm(Fm為鋼絞線最大力)狀態(tài)下的模型參數(shù)作為基準(zhǔn)值，計(jì)算各張拉力狀態(tài)下模型參數(shù)與基準(zhǔn)值之間距離作為張拉力識(shí)別指標(biāo)Istf。假設(shè)70%Fm張拉力狀態(tài)下的系統(tǒng)ARX模型為

取模型參數(shù)a71,a72,a73,···,a7na構(gòu)成特征向量作為指標(biāo)值Istf計(jì)算的基準(zhǔn)值，(20%～60%)Fm張拉力狀態(tài)下的模型為

式(12)中，i取2、3、4、5、6。以參數(shù)ai1,ai2,ai3,···,ain構(gòu)成特征向量作為指標(biāo)值Istf計(jì)算的狀態(tài)值，計(jì)算Istf如下：

識(shí)別指標(biāo)Istf反映了由張拉力引起的鋼絞線導(dǎo)波傳播特征的變化。

3 實(shí)驗(yàn)

采用鋼絞線張拉錨固綜合試驗(yàn)臺(tái)進(jìn)行逐級加卸載實(shí)驗(yàn)(圖1～2)。鋼絞線為工程中常用的公稱直徑D=15.2 mm七芯鋼絞線，總長度L=5.5 m，幾何參數(shù)及材料參數(shù)如表1所示。鋼絞線一端錨固，一端張拉，最大張拉力為182 kN(70%Fm)。先將鋼絞線張拉至52 kN(20%Fm)，接下來每次依26 kN(10%Fm)進(jìn)行逐級加卸載，直至加載到70%Fm。

圖1 實(shí)驗(yàn)布置Fig.1 Layout of experiment

圖2 鋼絞線張拉錨固試驗(yàn)系統(tǒng)Fig.2 Equipment for strands tensioning and anchoring

表1 鋼絞線幾何及材料參數(shù)Table1 Geometry and material parameters of steel strand

導(dǎo)波激勵(lì)與采集系統(tǒng)為美國PAC生產(chǎn)的PCI-2聲發(fā)射監(jiān)測系統(tǒng)，系統(tǒng)可識(shí)別頻率范圍0～4000 kHz，傳感器采用WD寬頻壓電換能器，頻帶范圍100 kHz～1000 kHz，信號采樣率2000 kHz。導(dǎo)波激勵(lì)為步徑頻率Δf=50 kHz的一系列單周期正弦脈沖，激勵(lì)波源函數(shù)如式(14)所示：

其中：Vi為矩形窗函數(shù)，f0=100 kHz為起始頻率，f=1000 kHz為截止頻率，Δf=50 kHz為步徑頻率，矩形窗的窗長Ti=1/f0+i·Δf。

圖3 接收傳感器的布置Fig.3 Layout of receiving sensors

導(dǎo)波激發(fā)和接收傳感器(系統(tǒng)輸入和輸出)布置在鋼絞線兩端(圖3)。實(shí)驗(yàn)過程中，傳感器保持接觸狀態(tài)不變，當(dāng)鋼絞線加卸載至預(yù)定荷載且持載2 min后，激發(fā)端產(chǎn)生激發(fā)脈沖，接收端過門檻自動(dòng)采集。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

4.1 鋼絞線ARX模型的建立

激發(fā)端輸入波形(輸入波形是通過公式(14)得出的一系列100 kHz～1000 kHz的單周期正弦脈沖信號)如圖4(a)所示，不同張拉力條件下，接收端實(shí)測波形如圖4(b)、圖4(c)所示。實(shí)驗(yàn)過程保持激勵(lì)源不變，激發(fā)端及接收端傳感器均布置在鋼絞線端面，隨鋼絞線張拉力增大，鋼絲間接觸應(yīng)力發(fā)生變化，實(shí)測導(dǎo)波波形幅值明顯降低。

圖4 實(shí)測導(dǎo)波信號Fig.4 Measured guided wave signals

對輸出端波形進(jìn)行去除均值和趨勢項(xiàng)處理后，以激勵(lì)波形和輸出波形作為系統(tǒng)的輸入和輸出，采用ARX模型進(jìn)行系統(tǒng)辨識(shí)。模型定階是ARX模型估計(jì)過程中重要的一環(huán)，階數(shù)的超定和欠定都會(huì)很大程度地影響模型的準(zhǔn)確性。最小信息準(zhǔn)則(Akaike information criterion,AIC)法是ARX模型定階方法中相對成熟的信息量準(zhǔn)則法，假設(shè)考慮某個(gè)含k(k≤p)個(gè)參數(shù)的參數(shù)模型，其密度函數(shù)記為g(y|θk)，對應(yīng)的似然函數(shù)最大值記為g(?θk|y)，這里θk為未知參數(shù)，而?θk為其極大似然估計(jì)，則AIC準(zhǔn)則定義為AIC=-2lng(?θk|y)+2k。式中第一項(xiàng)反映模型擬合的優(yōu)良性，第二項(xiàng)表示對模型采用較多變量個(gè)數(shù)的一種“懲罰”，最終階數(shù)的確定是權(quán)衡模型擬合效果與變量個(gè)數(shù)的結(jié)果。

對實(shí)測數(shù)據(jù)采用AIC準(zhǔn)則法定階，確定ARX模型的最佳階次分別為na=10、nb=3，na、nb分別為ARX模型中多項(xiàng)式A(q-1)、B(q-1)的階次。以式(14)所示單周期正弦脈沖為系統(tǒng)輸入，(20%～70%)Fm荷載狀態(tài)下實(shí)測數(shù)據(jù)為系統(tǒng)輸出，建立ARX系統(tǒng)辨識(shí)模型參數(shù)如表2所示。

表2 不同張拉力下系統(tǒng)辨識(shí)模型參數(shù)Table2 Identification model parameters in different tension force

隨鋼絞線張拉力增大，系統(tǒng)模型參數(shù)發(fā)生了明顯變化?？傮w而言，[a1,a2,···,a10]中各參數(shù)均呈規(guī)律性的單調(diào)變化，其中部分在增大，部分在減小，僅從參數(shù)的變化趨勢無法判別鋼絞線應(yīng)力值。

為驗(yàn)證系統(tǒng)辨識(shí)模型的準(zhǔn)確性，真實(shí)值與模型計(jì)算值的擬合度按式(15)計(jì)算：

其中：殘差平方和

y為真實(shí)的輸出值，y?為根據(jù)系統(tǒng)模型計(jì)算的輸出值。

以圖4(a)所示波形作為系統(tǒng)輸入，以70%Fm對應(yīng)的[a1,a2,···,a10]作為模型參數(shù)，預(yù)測波形與真實(shí)波形如圖5(a)所示，真實(shí)值與預(yù)測值之間的殘差如圖5(b)所示。圖5(b)中所示殘差分布比較均勻，絕對值不超過0.03，相對值約為3%，按式(15)計(jì)算擬合度fit=97.32%，說明模型定階合理，擬合度較高，辨識(shí)結(jié)果可靠。

圖5 辨識(shí)模型的擬合度Fig.5 The fit degree of identification model

4.2 鋼絞線張拉力識(shí)別指標(biāo)

實(shí)驗(yàn)過程共獨(dú)立開展了6根鋼絞線逐級加卸載實(shí)驗(yàn)，采用相同的模型階數(shù)計(jì)算模型參數(shù)[a1,a2,···,a10]，取6根鋼絞線70%Fm狀態(tài)下的平均值[ˉa1,ˉa2,···,ˉa10]作為基準(zhǔn)值，按式(13)計(jì)算張拉力指標(biāo)Istf，結(jié)果如圖6所示。

基于6組獨(dú)立的鋼絞線逐級加載數(shù)據(jù)構(gòu)建的張拉力識(shí)別指標(biāo)Istf隨張拉力增大呈現(xiàn)出明顯的單調(diào)變化規(guī)律。由于指標(biāo)值Istf是以70%Fm作為基準(zhǔn)值，荷載越小將產(chǎn)生更大的模型參數(shù)差異，從而識(shí)別指標(biāo)值也將更大，所以關(guān)系曲線表現(xiàn)為負(fù)斜率。考慮到運(yùn)營期結(jié)構(gòu)的實(shí)際受力狀態(tài)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)沒有考慮20%Fm以下的受力狀態(tài)。

圖6 識(shí)別指標(biāo)隨張拉力變化曲線Fig.6 The relationship curves between identi fication index and stress level

以識(shí)別指標(biāo)值Istf為自變量，以鋼絞線張拉力為因變量，建立鋼絞線張拉力F隨實(shí)測指標(biāo)值Istf之間函數(shù)關(guān)系如下：

4.3 傳感器布置位置影響

對單根高強(qiáng)鋼絲而言，傳感器布置在端面及側(cè)面位置，實(shí)測波形中包含的縱波和彎曲波成分不同。鋼絞線尚無導(dǎo)波傳播的解析解，端面和側(cè)面?zhèn)鞲衅鲗?shí)測波形成分不得而知，實(shí)驗(yàn)中分別在端面和側(cè)面布置傳感器分析傳感器布置位置對應(yīng)力識(shí)別結(jié)果的影響。相同荷載工況、相同激勵(lì)源輸入條件下，端面、側(cè)面實(shí)測輸出波形的識(shí)別指標(biāo)Istf計(jì)算結(jié)果如圖7所示。

由圖7知，無論傳感器布置在端面還是側(cè)面，實(shí)測數(shù)據(jù)計(jì)算的識(shí)別指標(biāo)Istf曲線表現(xiàn)出相同的單調(diào)變化規(guī)律。傳感器布置在端面時(shí)，最小二乘法直線擬合k=-5.93，確定系數(shù)R2=0.984，傳感器布置在側(cè)面時(shí)k=-5.46，確定系數(shù)R2=0.933。相比較于側(cè)面布置傳感器，傳感器布置在端面時(shí)，擬合直線斜率k值絕對值增大了8.6%，確定系數(shù)增大了5.5%。k值減小將使得在同樣的應(yīng)力變化條件下，識(shí)別指標(biāo)值的變化更為明顯。

圖7 不同位置布置傳感器時(shí)識(shí)別指標(biāo)曲線Fig.7 Identification index curve at different sensors position

總體而言，傳感器無論布置在側(cè)面還是端面，采用基于ARX系統(tǒng)辨識(shí)模型參數(shù)的張拉力識(shí)別指標(biāo)均能夠反映鋼絞線張拉力狀態(tài)，且均具有較好的線性變化規(guī)律，當(dāng)采用端面布置傳感器將更能提高識(shí)別指標(biāo)的敏感性和擬合度。

4.4 應(yīng)力加載路徑的影響

預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)承載能力檢算只考慮鋼絞線的狀態(tài)應(yīng)力，與鋼絞線的加載路徑無關(guān)，因此，張拉力指標(biāo)值應(yīng)盡量避免應(yīng)力加載路徑的影響。鋼絞線逐級加卸載兩個(gè)循環(huán)，激發(fā)同樣的寬頻單周期正弦脈沖，端面布置傳感器，計(jì)算張拉力指標(biāo)值Istf隨加載等級變化如圖8所示，直線擬合參數(shù)如表3所示。

圖8 加卸載時(shí)識(shí)別指標(biāo)曲線Fig.8 Identification index curve for loading and unloading process

由圖8可知，鋼絞線逐級加卸載兩個(gè)循環(huán)，加載與卸載過程中識(shí)別指標(biāo)Istf均呈單調(diào)的近線性變化規(guī)律，鋼絞線的加載路徑?jīng)]有影響識(shí)別指標(biāo)的規(guī)律性。比較兩次加卸載循環(huán)k值變化，第1次加載與第2次加載、第1次卸載與第2次卸載之間k值變化均較小，分別下降了1.3%和0.9%。相對而言，兩次循環(huán)各自的加卸載之間k值變化略大，分別下降了9.9%和9.6%，主要是受加卸載時(shí)液壓滯后導(dǎo)致的讀數(shù)差異所致?？傮w而言，重復(fù)加載時(shí)識(shí)別指標(biāo)能夠保持穩(wěn)定，受加載過程的影響較小。

表3 直線擬合參數(shù)表Table3 Parameters of linear fitting

5 結(jié)論

(1)采用系統(tǒng)辨識(shí)方法能夠有效識(shí)別鋼絞線張拉力引起的系統(tǒng)導(dǎo)波傳播特性變化，以ARX系統(tǒng)辨識(shí)模型參數(shù)作為特征向量，構(gòu)建預(yù)應(yīng)力鋼絞線張拉力識(shí)別指標(biāo)Istf，隨鋼絞線張拉力增大，指標(biāo)值表現(xiàn)為明顯的單調(diào)線性規(guī)律，按最小二乘線性擬合效果良好。

(2)基于端側(cè)面實(shí)測導(dǎo)波數(shù)據(jù)的張拉力識(shí)別指標(biāo)Istf隨張拉力的增大均呈現(xiàn)出明顯的單調(diào)線形變化規(guī)律，相對而言，端面布置傳感器線性擬合k增大8.6%，確定系數(shù)增大5.5%，指標(biāo)值的敏感性和擬合度更優(yōu)。

(3)重復(fù)加卸載過程中識(shí)別指標(biāo)具有良好的一致性，兩次加卸載循環(huán)在加載階段和卸載階段直線k值分別下降了1.3%和0.9%，識(shí)別指標(biāo)受加載路徑的影響較小。