超聲速彈丸立靶彈著點定位模型研究

王玉龍 李宏凱 盧小汐 劉艷紅

(中國華陰兵器試驗中心 華陰 714200)

0 引言

常規(guī)武器彈丸立靶彈著點坐標(biāo)是衡量火炮武器系統(tǒng)性能和評估武器射擊精度的重要參數(shù)，直接影響武器射表編擬及鑒定[1]。在直瞄類及高射火炮試驗中一般都需要進(jìn)行彈著點坐標(biāo)的測試，在工程應(yīng)用中的測試方法有光學(xué)測試法和聲學(xué)測試法[2-4]。光學(xué)測試法對于小、暗、弱、快目標(biāo)的測量效果不佳；聲學(xué)測試法設(shè)備結(jié)構(gòu)簡單，使用方便，成本低，能夠彌補(bǔ)光學(xué)測試法的不足。

聲學(xué)測試法利用超聲速彈丸在飛行過程中產(chǎn)生激波，激波前后壓力差變化觸發(fā)傳聲器，并產(chǎn)生時延來進(jìn)行定位。聲學(xué)靶能夠測試單發(fā)彈丸彈著點坐標(biāo)，也能測試連發(fā)彈著點坐標(biāo)，并且能夠識別彈序。國內(nèi)外對聲學(xué)靶進(jìn)行了大量研究[5-9]。目前，在工程應(yīng)用中廣泛使用的是直線聲學(xué)靶[10-12]，其缺點是在與直線垂直的方向上誤差較大，影響直線聲學(xué)靶的實際應(yīng)用。傳感器布陣對彈著點精度測試的影響較大，而文獻(xiàn)[13]提出的水平雙三角陣和帶水平傾角雙三角陣聲學(xué)靶在實際的工程應(yīng)用安裝中，要求每個傳感器位置都精確校準(zhǔn)，否則難以達(dá)到理論分析精度，導(dǎo)致其在實際測試應(yīng)用中存在一定的困難。為此，本文提出了雙圓環(huán)陣列，在每個圓環(huán)上排列若干傳聲器，其中有多個冗余傳感器用于提高定位精度，同時相應(yīng)的設(shè)備架設(shè)簡單，易于在靶場中應(yīng)用。每個圓環(huán)陣的孔徑相對靶幅較小，并根據(jù)激波傳播速度逐漸遞減的規(guī)律，對每個圓環(huán)陣上的傳聲器分別引入一個視速度，建立了雙視速度模型。仿真分析了雙視速度模型對彈著點坐標(biāo)測試精度的影響，帶來的模型誤差優(yōu)于3 mm，對于工程應(yīng)用而言可以忽略。試驗結(jié)果表明，雙視速度模型明顯優(yōu)于交會模型和基本模型。

1 聲學(xué)靶定位的交會模型與基本模型

對于采用雙圓環(huán)布陣的聲學(xué)靶，如圖1所示，在每個圓環(huán)上均勻布設(shè)若干個聲傳感器?？梢圆捎媒粫姆椒ㄟM(jìn)行定位。

交會模型的基本原理是：超聲速彈丸激波依次觸發(fā)傳感器，根據(jù)傳感器坐標(biāo)和傳感器測量的時延采用插值或擬合方法得到彈丸著靶點相對于每個圓環(huán)的角度，然后采用前方交會法計算著靶坐標(biāo)。交會計算公式如下：

其中，(xp,yp)是彈著點坐標(biāo)，(xA,yA)和(xB,yB)分別是兩個陣中心的坐標(biāo)，A和B分別是兩個測量的角度。

圖1 雙圓環(huán)形傳感器陣列Fig.1 A double-circular ring microphone array

聲學(xué)立靶定位的基本模型，是在靶平面內(nèi)觀察時，超聲速彈丸激波以著靶點為圓心，成圓環(huán)形向外傳播，如圖2所示。激波在靶平面內(nèi)傳播的速度稱為視速度。

圖2 激波在靶平面內(nèi)的傳播示意圖Fig.2 Schematic diagram of the propagation of shock waves in the target plane

聲學(xué)立靶定位的基本模型是假設(shè)視速度為勻速傳播，從而建立定位方程組如下[5]：

式(2)中：(xi,yi),i=1,2,···,n為傳感器坐標(biāo)；ti,i=1,2,···,n為激波到達(dá)各個傳感器的相對時間(即時延或時差)；vx為風(fēng)在x軸的分量；t0為激波傳播至首先觸發(fā)傳感器的時間；v0為視速度；(x,y)為著靶坐標(biāo)。

方程組(2)中的未知參量為x,y,v0,t0。當(dāng)n≥4時方程組(2)有解。當(dāng)n=4時，方程組(2)是非線性方程組；當(dāng)n＞4時，方程組(2)是超定非線性方程組(矛盾方程組)。求解方程組(2)即得x,y,v0,t0。

2 雙視速度模型

圖3給出了靶場實測不同口徑彈丸激波的視速度與傳播距離的關(guān)系。

由圖3可知，視速度隨著傳播距離的增加逐漸減小，并趨于定值。根據(jù)基本模型和傳聲器采用雙圓環(huán)布陣的特點，將兩個傳聲器陣等效為兩個“點”，從而對每個傳聲器陣分別引入視速度vl0,vr0，則得到定位方程組如下：

式(3)中：(xli,yli),i=1,2,···,12為左陣傳感器坐標(biāo)；tli,i=1,2,···,12為激波到達(dá)左陣各個傳感器的相對時間(即時延或時差)；(xri,yri),i=1,2,···,12為右陣傳感器坐標(biāo)；tri,i=1,2,···,12為激波到達(dá)右陣各個傳感器的相對時間(即時延或時差)；vx為風(fēng)在x方向的分量；tl0為激波傳播至左陣中首先觸發(fā)傳感器的時間；tr0為激波傳播至右陣中首先觸發(fā)傳感器的時間；vl0為激波相對于左陣的視速度；vr0為激波相對于右陣的視速度。

圖3 不同彈丸的視速度與距離的關(guān)系Fig.3 Relationship between apparent velocity and distance of different projectiles

本文將引入不同視速度的定位模型稱為雙視速度模型。方程組(3)中的未知參量為x,y,vl0,vr0,tl0,tr0。當(dāng)n≥6時方程組(3)有解。當(dāng)n=6時，方程組(3)是非線性方程組；當(dāng)n＞6時，方程組(3)是超定非線性方程組(矛盾方程組)。求解方程組(3)即得x,y,vl0,vr0,tl0,tr0。

交會模型主要是將激波波陣面近似看成平面波，由此在靶面內(nèi)的激波傳播近似成一條直線，然后根據(jù)波陣面掃過傳感器的時間差，進(jìn)行定向再定位。然而實際上彈丸的激波波陣面類似于圓錐，其在靶面內(nèi)傳播近似成圓形。那么只有當(dāng)聲源到傳感器陣列的距離與傳感器陣列的孔徑相比很大時，帶來的誤差才能足夠小。但是在立靶彈著點測試中，聲源點距離傳感器陣列的距離一般在10 m以內(nèi)，因此交會模型并不能符合實際。基本模型考慮了激波波陣面在靶面?zhèn)鞑閳A形的傳播特性，但基本模型中假設(shè)激波波陣面是勻速傳播的，這與實際測量的激波波陣面?zhèn)鞑ニ俣纫?guī)律不符。雙視速度模型既考慮了激波波陣面的圓形傳播規(guī)律，也考慮了傳播速度隨著傳播距離的增加逐漸減小的規(guī)律。

3 模型解算方法

采用最小二乘法對聲學(xué)靶定位的雙視速度模型進(jìn)行求解，下面推導(dǎo)具體的迭代公式。記

設(shè)f:S?R5→Rn,n=24，其中，f=(f1,f2,···,f12,g1,g2,···,g12)T。求解雙視速度模型(3)等價于求解如下非線性最小二乘問題：

式(7)中，

是Jacobi矩陣，

記b=-f(x0)，A=df(x0)T，X=x-x0，則：

進(jìn)而有，x1=x0+(ATA)-1ATb。

一般的，最小二乘迭代公式如下：

4 仿真分析

4.1 視速度傳播函數(shù)

下面以某型彈丸為例進(jìn)行分析。根據(jù)彈丸激波視速度傳播曲線進(jìn)行擬合，得到激波傳播距離關(guān)于視速度的函數(shù)如下：

進(jìn)而，可得激波傳播距離關(guān)于時間的函數(shù)如下：

根據(jù)式(11)，已知著靶點到傳感器的距離后即可得到對應(yīng)的時間。

下面，分別分析基本模型和雙視速度模型的精度，計算時取傳感器的坐標(biāo)精度為1 mm，時延精度為5 μs。

4.2 均勻分布著靶點時的誤差

如圖4所示，在10 m×10 m的靶幅內(nèi)均勻布置121個節(jié)點，在每個節(jié)點處計算1000次后計算均方根作為該節(jié)點的誤差。

基本模型和雙視速度模型的水平誤差曲面圖如圖5所示。

圖4 均勻分布彈著點Fig.4 Evenly distributed impact points

圖5 兩種模型的水平誤差曲面圖Fig.5 Horizontal error surface map of two models

基本模型和雙視速度模型的高低誤差曲面圖如圖6所示。

由圖5和圖6可知，基本模型的水平最大誤差為4.2 cm，高低最大誤差為1.9 cm；雙視速度模型的水平最大誤差為3.0 mm，高低最大誤差為0.3 mm。顯然基本模型引入的模型誤差太大，而對于工程應(yīng)用而言，雙視速度模型可以認(rèn)為沒有模型誤差。采用雙視速度模型明顯提高了邊界處的精度。

圖6 兩種模型的高低誤差曲面圖Fig.6 Height error surface maps of the two models

4.3 隨機(jī)分布著靶點時的誤差

如圖7所示，在10 m×10 m的靶幅內(nèi)隨機(jī)模擬產(chǎn)生1000個著靶點。

基本模型和雙視速度模型的誤差曲線如圖8所示，其中的誤差是指水平誤差絕對值與高低誤差絕對值的之和。

圖7 隨機(jī)分布彈著點Fig.7 Random distribution impact points

由圖8可知，基本模型的最大誤差為4.2 cm；雙視速度模型的最大誤差為1.5 mm。對于實際工程應(yīng)用需求，與均勻分布著靶點類似，基本模型引入的模型誤差太大，而雙視速度模型可以認(rèn)為沒有模型誤差。

圖8 兩種模型的誤差曲線Fig.8 Error curves for the two models

5 試驗結(jié)果與分析

通過試驗比較幾種模型的精度，分別進(jìn)行了單發(fā)彈丸和連發(fā)彈丸的立靶密集度試驗。試驗時采用木板靶測量結(jié)果作為真值，分別采用交會模型、基本模型和雙視速度模型進(jìn)行解算。靶面大小為10 m×10 m，彈丸隨機(jī)著靶，試驗現(xiàn)場溫度為15.6°～25.3°，風(fēng)速為2 m/s～6 m/s。

5.1 某型彈丸試驗

5.1.1 單發(fā)結(jié)果

共計17發(fā)彈丸，圖9和圖10是采用不同模型計算時的水平誤差曲線和高低誤差曲線。

由圖9和圖10可知，精度結(jié)果如下：雙視速度模型水平3.3 cm，高低1.2 cm；基本模型水平8.9 cm，高低2.0 cm；交會模型水平22.2 cm，高低3.1 cm?？梢钥闯觯粫Ｐ偷木茸畹?，基本模型的精度優(yōu)于交會模型，雙視速度模型的精度最高。

圖9 某型航彈單發(fā)不同模型的水平誤差曲線Fig.9 Horizontal error curve of different model of a certain type of missile in a single shot

圖10 某型航彈單發(fā)不同模型的高低誤差曲線Fig.10 Height error curve of different model of a certain type of missile in a single shot

5.1.2 連發(fā)結(jié)果

共計44發(fā)，圖11和圖12是采用不同模型計算時的水平誤差曲線和高低誤差曲線。

圖11 某型航彈連發(fā)不同模型的水平誤差曲線Fig.11 Horizontal error curve of different model of a certain type of missile in continues shot

由圖11和圖12可知，精度結(jié)果如下：雙視速度模型水平4.9 cm，高低3.9 cm；基本模型水平9.0 cm，高低3.9 cm；交會模型水平22.5 cm，高低6.3 cm。同樣可以看出，交會模型的精度最低，基本模型的精度優(yōu)于交會模型，雙視速度模型的精度最高。

圖12 某型航彈連發(fā)不同模型的高低誤差曲線Fig.12 Height error curve of different model of a certain type of missile in continues shot

5.2 某型殺爆彈試驗

對某型殺爆彈射擊試驗，下面給出采用雙視速度模型的計算結(jié)果。圖13和圖14是水平誤差曲線和高低誤差曲線。

由圖13和圖14可知，精度結(jié)果如下：水平3.8 cm，高低4.2 cm，滿足工程應(yīng)用測試要求。

圖13 某型殺爆彈水平誤差曲線Fig.13 Horizontal error curve of a certain type of bomb

圖14 某型殺爆彈高低誤差曲線Fig.14 Hight error curve of a certain type of bomb

5.3 仿真分析與實測結(jié)果分析

通過仿真分析與實際實驗結(jié)果可知，實際測量的誤差比仿真分析的誤差大。這主要因為在實際的靶場試驗應(yīng)用中，測試環(huán)境惡劣，彈丸難以確保垂直入射至靶面，以及彈丸的著靶姿態(tài)存在隨機(jī)性等，所以導(dǎo)致實際測量的著靶坐標(biāo)精度低于仿真計算值。

6 結(jié)論

本文針對超聲速彈丸立靶彈著點測試問題，根據(jù)彈丸的超聲速飛行中激波傳播速度變化規(guī)律，建立了傳聲器采用雙圓環(huán)布陣方案，進(jìn)而建立了雙視速度模型，并用最小二乘法求解該模型確定彈丸著靶坐標(biāo)。仿真和試驗結(jié)果表明，雙視速度模型明顯優(yōu)于交會模型與基本模型，得到的精度滿足工程應(yīng)用要求。