G連通性

平 征

(寧德師范學院數(shù)理學院, 福建 寧德 352100)

連通性是一類重要的拓撲性質(zhì),在拓撲學、分析學、幾何學及相關(guān)的物理學、計算機科學等學科中發(fā)揮了積極的作用．作為連通性的拓展, Fedeli等[1]定義了拓撲空間的序列連通性; ?akalli等[2-3]引入并研究了滿足第一可數(shù)公理的Hausdorff拓撲群中G連通性, 并將序列連通性歸結(jié)為在通常收斂方法下的G連通性; Lin等[4]定義了一般集上的G方法及G收斂性, 建立了較之于拓撲空間中通常收斂性更為一般的收斂概念, 這為在一般集上闡述G連通性奠定了基礎(chǔ)．收斂性是拓撲學與分析學的重要研究內(nèi)容,除通常的序列收斂與統(tǒng)計收斂[5]外, 還有幾乎處處收斂、Cesro收斂[6]等作為序列收斂的拓展．Connor等[7]基于實分析中的幾類收斂性,引入了實數(shù)序列集線性空間上的G方法、G收斂性與G連續(xù)性; ?akalli[8]在第一可數(shù)的Hausdorff拓撲群中引入了G方法、G收斂性及G連續(xù)性; 劉麗[9]研究了由G開集等確定的特殊集的性質(zhì)．本文依照連通集最基本的思想, 擬引入G隔離集, 通過定義一般集上的G連通集, 討論G連通性的刻畫和基本性質(zhì), 以期為今后討論與連通性及收斂性相關(guān)的拓撲性質(zhì)和應用提供依據(jù)．

1 預備知識

設X是一個集, 記s(X)是X中所有序列組成的集,s(X)的元x={xn}n∈N, 設映射f:X→Y, 記f(x)={f(xn)}n∈N．若X是一個拓撲空間, 記c(X)是X中所有收斂序列所組成的集, 集X上的一種方法(簡稱為G方法)是一個函數(shù)G:cG(X)→X, 其中cG(X)?s(X)．若x∈cG(X)且G(x)=l, 則稱序列x∈s(X)為G收斂于l∈X; 若c(X)?cG(X)且對任何x∈c(X)有G(x)=limx, 拓撲空間X上的方法G:cG(X)→X稱為正則的[4]; 若x∈cG(X)且G(x)=l, 存在x的子序列x′∈c(X), 有l(wèi)imx′=l, 則拓撲空間X上的方法G:cG(X)→X稱為子序列的[4]．

定義1[10]設X是一個拓撲空間,A?X, 有: ① 若x∈s(A)∩c(X), 稱A為X的序列閉集, 則limx∈A; ② 若XA是序列閉集, 稱A為X的序列開集; ③ 若X的每一序列閉集是X的閉集, 則稱X是序列空間．

定理4[4]設X是一個拓撲空間,G是X上的一個方法, 有: ① 若G是一個正則方法, 則X的每一個G閉集是序列閉集; ② 若G是一個子序列方法, 則X的每一個序列閉集是G閉集．

本文未定義的術(shù)語和符號, 請參照文獻[11]．

2 G連通集

定義6設X是一個集,G是X上的一個方法, 若Y不能表示為X的一對非空G隔離集之并,則X的子集Y稱為G連通的．顯然,G連通集與集X上有無拓撲無關(guān)．

定理7設X是一個集,G是X上的一個方法,則下列條件等價: ①X是G連通的; ②X不能表示為一對不相交的非空G閉集之并; ③X不能表示為一對不相交的非空G開集之并; ④X中不存在非空的G開集且G閉集的真子集．

定理8設X為拓撲空間．①設X是序列連通空間, 若G是X的一個正則方法,則X是G連通的; ② 設X是G連通的, 若G是X的一個子序列方法, 則X是序列連通的．

證明 ① 假設X不是G連通的, 由定理7知,X可表示為兩個非空不交G閉集之并, 由定理4知,X可表示為兩個非空不交序列閉集之并,故X不是序列連通的, 矛盾．證畢．

② 假設X不是序列連通的, 由定義知,X可表示為兩個非空不交序列閉集之并, 由定理4知,X可表示為兩個非空不交G閉集之并, 故X不是G連通的, 矛盾．證畢．

定理9設X為拓撲空間．① 若X是一個連通的G序列空間, 則X是G連通的; ② 若X是G連通的,X的既開且閉集是G開集(或G閉集), 則X是連通的．

證明 ① 假設X不是G連通的．根據(jù)定理7,X可表示為兩個非空不交G閉集之并．因X是G序列空間,X可表示為兩個非空不交閉集之并, 故X不是連通的, 矛盾．證畢．

② 假設X不是連通的, 則X中存在非空既開且閉真子集．若X上既開且閉集是G開集(或G閉集), 則X可表示為兩個非空不相交G開集之并, 由定理7可知X不是G連通的, 矛盾．證畢．

推論10設X是序列空間, 若G是X的正則且子序列方法, 則X的G連通性、序列連通性和連通性三者是一致的．

下面通過3個例子說明3種連通性之間的一些不蘊涵關(guān)系．

例1文獻[12]中例3.5已證明實空間R的Stone-Cech緊化.βR是非序列連通的連通空間．若取G為R上通常的序列收斂方法, 則βR不是G連通的, 即存在不是G連通(序列連通)的連通空間．

例2集合X={a,b,c}賦予離散拓撲,顯然X不是連通空間, 故X也不是序列連通空間．在X上定義G:s(X)→X滿足G(x)=a, 則G是X上的一個方法, 易證X的子集A是G閉集為空集, 或a∈A, 故X中非空的G閉集均相交．由定理7知,X是G連通集,即存在不是連通的G連通集．

例3在R上賦予通常拓撲, 則R是序列連通空間．在R上定義G:s(X)→X滿足G(x)=x1, 其中x=(xn)n∈N∈s(R), 則G是R上的一個方法．由于R中每個子集都是G閉集[4], 故R不是G連通的, 即存在不是G連通的序列連通空間．

3 G連通子集的性質(zhì)

引理11設X是一個集, 如果A和B是X的一對G隔離集且Y?X, 則A∩Y和B∩Y也是X的一對G隔離集．

定理12設Y是集X的G連通子集, 若X中存在一對G隔離集A和B使得Y?A∪B, 則Y?A或Y?B．

推論13設Y是集X的一個G連通子集,若A是X的G開且G閉集,則Y?A或Y?XA．

定理15設{Eα}α∈Λ是集X的G連通子集族, 若任意α,β∈Λ, 存在α1,α2,…,αn∈Λ,使得α1=α,αn=β且每一Eαi∩Eαi+1≠?, 則∪α∈ΛEα是X的G連通子集．

證明 假設∪α∈ΛEα在X中不是G連通, 則存在X的非空G隔離集A和B, 使得∪α∈ΛEα=A∪B．對每個α∈Λ, 因Eα?A∪B, 由定理12知,Eα?A或Eα?B, 不妨設存在α0∈Λ使Eα0?A, 下證對每一β∈Λ有Eβ?A．因存在α1,α2,…,αn∈Λ使得α1=α0,αn=β且每一Eαi∩Eαi+1≠?, 由Eα1?A,Eα1∩Eα2≠?,A∩B=?, 得Eα2?A．同理每一Eαi?A, 從而Eβ?A, 由∪α∈ΛEα=A∪B, 得B=?, 矛盾．證畢．

推論16設{Eα}α∈Λ是集X的一族G連通子集, 若Y是X的G連通子集且每個Y∩Eα≠?, 則Y∪(∪α∈ΛEα)也是G連通的．

推論17設{Eα}α∈Λ是一族X的G連通子集, 若∩α∈ΛEα非空, 則∪α∈ΛEα是G連通的．

定義18[4]設G1,G2分別是集X,Y上的方法,f:X→Y是一個函數(shù), 且f是(G1,G2)連續(xù)的, 若F是Y中的G2閉集, 則f-1(F)是X中的G1閉集．

定理19設G1,G2分別是集X,Y上的方法, 若函數(shù)f:X→Y是(G1,G2)連續(xù)的, 且U是X的G1連通子集, 則f(U)是Y的G2連通子集．

本文的結(jié)果在拓撲空間的連通性與序列連通性, 或在滿足第一可數(shù)公理的Hausdorff拓撲群的G連通性中可找到, 但連通性是任意可積性,如何定義積集的G方法及積的G連通性, 有待進一步的研究．

致謝:本文是在林壽教授的悉心指導下完成的, 特此致謝!